不定积分练习题

1、不定积分练习题不定积分练习题一、选择题、填空题：1J 仃 _ sin2 )x -2、若K是/*(x)的原函数，贝=3、J sin(lii x)dx =4、5、己知exf(x)的一个原函数，则J/(tanx)sec2xdx =,过(1,1)点的积分曲线是y = _在积分曲线族6、7、8、F x) = f(x),则” + b)dx =设 J f(x)dx =右 + c,贝叮号。dx = _ 设 J xf (x)dx = arcsin x + c,贝 ij J 了门 dx =9、广(In x) = 1 + x,贝ij/(x) =;10、若/(x)在(a,b)内连续，则在,b)内/(x)；(A)必有导

2、函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限11、若 J xf(x)dx = x sin x - J sin xdx,(x) =；12、若F (x) = f(x)9jcx) = /(x),则jf(x)dx =(A)F(x) (B)0(x) (C)久 x) + c (D)F(x) +仅j) + c13、下列各式中正确的是:(A)(C)dfx)dx = fx)()f(x)dx = f(x)dx14、设f(兀)=Q，贝忖于血X)dx =J x(A) + c (B) liix + c (C) 一丄+ c() -liix + cXx1/1不定积分练习题15J .dx =J yx(l-X)(A) -ar

3、csm/x + c (B) arcsm/x4-c (C) 2arcsin(2x-l) + c(D) arcsm(2x 一 1) + c16、若/*(x)在力上的某原函数为零，则在S，切上必有(A)/(x)的原函数恒等于零；(3”(x)的不定积分恒等于零；(C)/(x)恒等于零；(D)/(x)不恒等于零，但导函数厂(对恒为零。 二、计算题：J黠严丿辟：用皿(4)f 匸 cosRl + sin x山(5)J 2% 严X X z(6)J4SU12% 4 dxJ COS X-Slll X(7)r严+匕 J x3(lnx)2(8)J dx cos-xv tan x(9)严沁力X fcosx-sinxJx

4、J 1 + Sill* X(11)( smx cosjc dx (12)(* Ex dxsin x + cos x1 + cos x(1钏丄KJ (1-x)2(15)严空仇 y/l X(17)|竺畀亚旅Jl + Xrl + silix + cosx , (18)JdxJ 1 + sm x2(19) - arctail xdx J1 +jt(20)J h】(l+：2) dx(21) J tan3 xdx1 1 X对右戯(23)J(2研吕严旅(25)疋伽“1)也(26)J省笔心(27)(书些dx (28)莎(sm2 x) = ，求：(fSU1X J y/l-X(29)已知/(兀)的一个原函数为In

5、? %,求寸对x)dx1/1不定积分练习题答案：一、选择题、填空题1)(X4-sinx) + c 2) 丄 X + c二 15)-2% 2 +3 6)F(ax + b) + caX3) - sin(ln x) 一 cos(lii x) + c 4)etanx + c1 l)-e2x+c 8)-(1-x2)2+c 9)ex + x+c10)5 11)C 12)C 13)D 14)C 15)D 16)C二、计算题：l)#ln卜卜扌ln|x_2|_ 2(二2)3)2(yx sin yfx 4- cos yfx) + c 4)-lii|/2 secx +5/2 6)-lii|2sin2 x- + c

6、7) + c 8)(tanx) + c211.v lii x3sec2 x-1 +c 5)21n|x+l| + 31n|x - 2| + c9)-丄 aicsinx + liix、/ -、11 /V+COSX、+ c 10) aictan(sin x) + 尸 ln( ) + c2y2COSX11) * (sin x - cos x) 一 In sec(x 一彳)+ tan(x 一 彳)| + c12) * (x* sin 2x)-扌 sin3 x+c 13)i tan x+= arctan(V2 tan x) + c14) -liix+lii|l-x)4-cl 15)2(7171-x16)

7、arctan -一liix+-lii(e2r + 4) + c 17)2 Jl + x arctan 長-21n /x + yf+x) + c7t4141屜arcsin *jx - y/x + c18) arctan(V2 tan x) + arctan(sin x) + hiCOS X-5/2cosx+/219)x arctan 兀一* 4(1 + 妒)一 (arctan )2 + c 20) * In，(1 + )+ c 21) tan2 x+lii|cos x| + c22)ln Jl + e2x -ex+ c 23) -xcotx+ln |sin x + lii |csc x - co

8、t x+c1qq124)(x- IT(x-1)-97 (x-1)-98 _ _ (x-1)79 + c 25)e2v tan x+c9697989arctan x 1 .1. x226) (aictan x) +In + cx 221 + x-27) -e2x aictan x-ex- arctan ex + c2 2 228) - 2 arcsin Jx - Jl_x + 2x + c29) 2 In x-lii2 x+c高等数学测试题（三）中值定理、导数应用部分1/1不定积分练习题一、选择题(每小题4分，共20分)1、下列函数在一1,1上满足罗尔定理条件的是(C)A y = ex B y

9、= ln|x|C y = l-x2 D yl-x22、曲线y = (x-l)3的拐点是(B)A (-1,8) B (1,0) C (0,-1) D (2,1)3、已知函数 f(x) = (x-l)(x-2)(x-3)(x-4),则 fx) = 0 有(C)实根A 一个 B 两个 C三个 D 四个4、设函数y(x)在(a,b)内可导，则在(a,b)内fx) 0是函数T(x)在(a,b)内单调增的(B)A必要非充分条件B 充分非必要条件C充要条件D无关条件5、如果广(兀)=0,厂(兀)0,则(B)A /(x0)是函数/(x)的极大值 B /(兀)是函数/(兀)的极小值C /(x0)不是函数/(x)

10、的极值 D不能判定f(Xo)是否为函数/(X)的极值二、填空题(每小题4分，共20分)1、函数y = 111(x4-1)在0,1上满足拉格朗日定理的g二 1函数f(x) = -xz-3x2 + 9x在闭区间0,4 的最大值点为x =4函数y = x+-的单调减少区间是(一2,0)2(0,2)若函数/(x)在x = a二阶可导，则X曲线y =的铅直渐近线为x=-2三、解答题1、(7分)计算)ex-lpx xex 1ex1解：原式二lim = lim= lim=-go X（ex 一 1） go e + xex 一 1 go +ex + Xex 2不定积分练习题2、(7 分)计算 lim&lnx丄解

11、：原式二 lim 芈上=liin 吕一 =lim (2 J7) = 0.v-0* 1乂 TO*1xTO*解：令zsinx- y =()x x,sinxI11lim lii y = lim = liinxtox-m) x7 sin %X XC0SX-SH1Xxcosx-sinx=lim；7Y=0所以13、(7 分)计算 lmi();.VTO1, sinx In y = - Inx xe = l4、（7分）计算Um（n土尸XTO3n(ax + b + c) - In 3x,，-n(a +b +c )-1113 a na + b nb + c nc , ，ri ”liin In y = lim =

12、lim= m Jabc 所以 原式XTOXTOX-V-0ax + b，+ cx5、(10分)设函数y*(x),g(x)在Q,b上连续，在(a,b)内可导，且/(a) = /(/?) = 0,证明：存在?G(a,b)，使得/*()+/Wg() = 0证明：设F(x) = f (x)es(x),由f(x),g(x)的连续性知：F(兀)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且F(a) = F(b) = 0 ,由罗尔定理知 存在gw(a,b),使得F) = 0即广伽叫(严=0,所以广)+/)g)= 0证毕。7Y*6、(10 分)证明：当 x0时，X- ln(l + x) x不定积分练习题IY证明：令 /

13、(x) = 111(1+ x)-x, fx) =1 =0)1 + x1 + x因此f(x)在(0,+oo)内单调减，所以f(x) f(0) = 0,即ln(l +兀)0 (x0)2l + x1 + xy因此g(x)在(0,KX5)内单调增，所以g(x)g(0) = 0,即111(1 + X)X-，总之当x0时，111(1 +x) 0八Of牛翌XTO X-0ln(l + x+2M)=0,由 hm =3z x111(1 +x+ZW)InnTTOXI /(X)=lim =lim(l + ) = 3,所以x-M) xx-0牙.v-0 f即 liiii = 2so 2x由此得 厂(0) = lim心1

14、= 4XTO X-0/(OIn型) f(x - lim(2)血(1 + )=严*“TOX8、（10分）设函数/*（x）在开区间（a,b）内连续，a xL x2 o,r2 o)证明：因为/*(x)在(a,b)内连续，a xk x2 b ,所以/(x)在xl9x2上连续，由连续 函数的最大值、最小值定理知，/(x)在x,x2上存在最大值M和最小值m,即在比，兀上， m f(x) M ,所以+ t2)m + r/(x2) 0，所以加o,r2 0) 证毕.21.选择题(1 )设函数/(x)在(0,+oo)内连续，且 / = if(t + )dx(s o,r 0),则/的值(C. )A.依赖于s,t,x

15、3.依赖于C.依赖于f,不依赖于sD依赖于s,不依赖于f(2)设在a9b上 /(x) 0,/Xx) 0,令巧=/(切弘，s,=f(b)(b-a),片=；/(a) + /(b)(b-a)，则(B. )oJa_2A. sts2 S3B. s2 sL S3C. 53 5, s2D. s2 s SL(3) F(x) = J，爲血 sin/df,则 F(x)为(A ).A正常数 3.负常数 C.恒为零 D.不为常数提示：Fx) = 0,F(0)=严 smtdf = j=m/ smtdt+ f e=inf sintdt,而(* ”幺皿 sin/df = Vezaxx sinxdt.JJ 龙Jo(4) 下列

16、反常积分发散的是(D. )A. f / 1 dxB. 厂 xex dxC.2of XJ2 xln- x 计算题D.不定积分练习题t sinx(1)求 lim 丄(/ 1+ X V/r +1 J沪+42 +宀)y/n +n12+(2)设函数可导，且/(0) = 0, F(x) = j求蟀解:令 u = x - tn,则 F(x)=丄, nJo1 /Un)丄几*)曲宀所以 lim丄=lim-= liinso x-n v-m) 2nxio 2n x1丿（丹）一/（）=丄广（0）2nlirnio 2n xn - 02ax(5)已知 lim(= (ate2,dt，求 a 的值。 f x-a2a 解：由条

17、件有 lini(l +) 2fl xax %x-a即 e2a = -te21 - -e21 = -ae2a - -e2a2424所以a = 。2$ cosx(6)设连续非负函数满足 f(x)f(-x) = 1 (-ooxO,t 0时f(x)满足方程Ju)du = f(u)du + xf(i()du且T(x)在0,+8)有连续一阶导数，又/(I) = 3,求f(x).解：两边对 t 求导，得 xfxt) = f(u)du + xf t),令 t = 1 ,得 xf(x) = f(u)du + xf(l),3对 x 求导，得 f(x) + xfx) = /(x) + /(l),即广(x) = ,X

18、所以/(x) = 31nx+c,又由了(1) = 3知C = 3,故 /(x) = 3111X + 3.4设/W , g(x)在区间a,o(a0)上连续，g(x)为偶函数，且/(x)满足条件/(x) + /(-x) = A(4 为常数)，(1)证明：J f(x)g(x)dx= Aj q g(x)dx(2)利用(1)结论计算定积分J -n |siii.v|aictanevJx证明：(1) Ja /(x)g(x/x = J f(x)g(x)dx+r f(x)g(x)dx,J aJ aJ 0令 “ =,匸 f(x)g(x)dx = 一匚 f(-u)g(-u)du = J： f(-x)g(x)dx 所以 -a /(Qg(x加=J? f(x)g(x)dx+J ； f(x)g(x)dx=j : Lf(F +