2019高数试题及答案

1、第二学期期末考试试卷一、 填空题（每空 3 分，共 15 分）1. 已知向量 ar为边的平行四边形的面积等于 .2. 曲面 z sin xcosy 在点 , ,1 处442的切平面方程是 .223. 交换积分次序 0 dx x f x,y dy .14. 对于级数1n （a0），当 a满足条件时收敛 .nn 1 a15. 函数 y 1 展开成 x 的幂级数为.2x二、单项选择题 （ 每小题 3 分, 共 15 分）1. 平面 x 2z 0 的位置是（ ）（A）通过 y 轴（B）通过 x 轴（C）垂直于 y轴（D）平行于 xoz 平面2. 函数 z f x,y 在点 x0,y0 处具有偏导数fx

2、 x0,y0 ， fy x0,y0 , 是 函 数 在 该 点 可 微 分 的（）（ A）充要条件（ B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件（D）既非充分又非必要条件3. 设 z ex cosy xsin y ，则 dz x 1 （ ）A)ey0B) e(dx dy)C) e 1(dx dy)D) ex (dx dy)4. 若级数 an x 1 n 在 x n11处收敛，则此级数在 x 2 处（B）发散A）敛散性不确定C）条件收敛D）绝对收敛5. 微分方程 y xyx 的通解是（12xA) y e2112xB) y e 212xC) y Ce 21xD) y Ce2三、 （ 本题满分8分)

3、设平面通过点3,1, 2，而且通过直线 x4 y 3 z ，5 2 1 ，求该平面方程四、 （ 本题满分8分)具有二阶连续偏导数，设 z f xy,x y ，其中 f u,v z2z试求 z 和 z x x y五、( 本题满分 8 分 )计算三重积分 yzdxdydz ， 其中 x,y,z 0 x 1, 1 y 1,1 z 2 六、（ 本题满分 8 分 ）22计算对弧长的曲线积分 L e x2 y2ds，其中 L 是圆周 x2 y2 R2在第一象限的部分七、（ 本题满分 9 分 ）计算曲面积分 xdydz zdzdx 3dxdy ，其中 是柱面 x2 y2 1与平面 z 0和 z 1所围成的边

4、界曲面外侧八、（ 本题满分 9 分 ）求幂级数 nxn 1 的收敛域及和函数n1九、（ 本题满分 9 分 ）求微分方程 y 4y ex 的通解十、 （本题满分 11 分）设 L 是上半平面 y 0 内的有向分段光滑曲线，其起点为 1,2 ，终点为 2,3 ，记 I L xy2 1 dx x2 y x2 dyL y y21证明曲线积分 I 与路径 L 无关；2求 I 的值第二学期期 末考试试卷及答案一、 填空题（每空 3 分，共 15 分）1. 已知向量 ar为边的平行四边形的面积等于 4492. 曲面 z1sin xcosy 在点 , , 处442的切平面方程是 x y 2z 1 0223.

5、交换积分次序 0 dx x f x,y dy2ydy f x,y dx0014. 对于级数1n（ a 0），当 a 满足条件 a 1 时收敛 .nn 1 a5. 函数 y 1 展开成 x 的幂级数nxn1n 0 22x22x单项选择题 （ 每小题 3 分, 共 15分）B）通过 x 轴1. 平面 x 2z 0 的位置是 （ A ）A）通过 y 轴C）垂直于 y 轴D）平行于 xoz 平面2. 函数 z f x,y 在点 x0,y0 处具有偏导数fx x0,y0 ， fy x0,y0 , 是 函 数 在 该 点 可 微 分 的（ C ）（ A）充要条件（ B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条

6、件（D）既非充分又非必要条件3. 设 z ex cosy xsin y ，则 dz x 1 y0A)eC)e 1(dx dy)B) e(dx dy) (D) ex (dx dy)4. 若级数 an x 1 n 在 x 1处收敛， n1则此级数在 x 2 处（ D ）B）发散A）敛散性不确定D）绝对收敛（C）条件收敛5. 微分方程 y xy x 的通解是（ D ）1 x21x2（ A） y e2 1（ B） y e 2 11 x21x2（C） y Ce 2（D） y Ce2 1三、（ 本题满分 8 分 ）设平面通过点 3,1, 2 ，而且通过直线x 4 y 3 z ，求该平面方程5 2 1解 :

7、 由于平面通过点 A 3,1, 2 及直线上的点 B 4, 3,0 ，因而向量 AB 1, 4,2 平行于该平面。该平面的法向量为rn (5,2,1) (1,4,2)(8,9,22).则平面方程为 :8(x4)9(y3)22(z0) 0或：8(x3)9(y1)22(z2) 0即：8x9y22z59 0.解:四、（ 本题满分 8 分 ）设zf xy,x y ，其中 f u,v 具有二阶连续偏导数，试求2z 和 z x x yz f1y f 2,2zx y y f1y f211x f12y f1f 21x f22xyf11 x12 122五、（ 本题满分 8 分 ）计算三重积分zdxdydz ，其

8、中 x,y,z解 :zdxdydz1dx0六、（ 本题满分 8 分 ）计算对弧长的曲线积分其中 L 是圆周 x2 y222L e x2 y2ds解法R R R0 R222解法二 : L e x2 y2ds1,1dyx21y2zdz11,1 z 2 2 z 1g2g222L e x2 y2ds， R2在第一象限的部分Rxdx Re arcsinRRReR02eRds eRgL （ L的弧长）ReRL2解法三 : 令 x Rcos ， y Rsin ， 022L e x2 y2ds02 eRRd 2 ReR七、（ 本题满分 9 分 ）计算曲面积分 xdydz zdzdx 3dxdy ，其中 是柱面

9、x2 y2 1与平面 z 0和 z 1所围成的边界曲面外侧解: P x , Qz, R 3,由高斯公式：xdydz zdzdx3dxdyPQxyRdvzdv八、 （本题满分9分）求幂级数nx nn1的收敛域及和函数解 : 收敛半径：limnanan 1易判断当1时，原级数发散。于是收敛域为1,1s x nx n n1xn1x1x九、 （本题满分 9 分）求微分方程 y 4yex的通解解: 特征方程为： r2 4 0特征根为： r 2, r 2 y 4y 0的通解为： Y C1e2x C2e 2x设原方程的一个特解为：y Aex ,A 4 A ex e x3 A 1A13原方程的一个特解为：1x y13 ex故原方程的一个通解为：y Y y C1e2 xC e 2x 1 exC 2 e e 23十、 （本题满分 11 分）设 L 是上半平面 y 0 内的有向分段光滑曲线，其起点为 1,2 ，终点为 2,3 ，记IL xy21 dxx2 y yx2 dyy21证明曲线积分 I 与路径 L 无关；2求 I 的值证明 1: 因为上半平面 G是单连通域，在 G内：21xyP x, y xy， Q x,yy有连续偏导数，且：P1Q1P2 xy 2 ， 2xy 2 ，yy2xy2