3空间向量与立体几何

1、更多免费学习资料，欢迎关注微信公众号：考试笔记空间向量与立体几何命题角度1空间位置关系证明与线面角求解咼考真题体验对方向1. (2018 全国 I 18)如图，四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把ADFC折起,使点C 到达点P的位置，且PF丄BF.(1)证明：平面PEF丄平面ABFD ;求DP与平面ABFD所成角的正弦值.(1)|证明|由已知可得,BF丄PF,BF丄EF,所以BF丄平面PEF. 又BF?平面ABFD , 所以平面解作PH丄EF,垂足为H.由得,PH丄平面ABFD.以H为坐标原点， 的方向为y轴正方向,|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 H-

2、xyz.由(1)可得,DE 丄 PE.又 DP= 2,DE= 1,所以 PE=又 PF= 1,EF=2故 PE丄 PF.可得 PH= ,EH=_.则 H(0,0,0),P-,D -为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为0,则 sin 0=所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 一2. (2018 全国 II 20)如图，在三棱锥 P-ABC 中,AB=BC= 2 一,PA=PB=PC=AC= 4,0 为 AC 的中点.(1)证明:P0丄平面ABC;若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30 ,求PC与平面PAM所成角的正弦值(1)|证明|因为AP=CP=AC= 4,0为AC的中

3、点，所以OP丄AC,且OP= 2 _.连接OB,因为AB=BC= AC,所以ABC为等腰直角三角形，且0B丄AC,OB=-AC=2.由 OP2+OB2=PB2 知 PO 丄 OB.由OP丄OB,OP丄AC知PO丄平面 ABC.解如图，以 O为坐标原点， 的方向为X轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.由已知得 O(O,O,O),B(2,O,O),A(O,-2,O),C(O,2,O),P(O,O,2 _),=(0,2,2 _).取平面 PAC 的法向量=(2,0,0),设 M(a,2-a,0)(0a 2),则 =(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n =(x,y,z).由n= 0,n =

4、0 得可取 n = (a-4),a,-a),所以 cos=由已知可得|cos|=.所以一-,解得a=-4(舍去),a=.所以n=-又=(0,2,-2),所以 cos= .所以PC与平面PAM所成角的正弦值为 一.3. (2016全国 川19)如图，四棱锥 P-ABCD中,PA丄底面 ABCD ,AD /BC,AB=AD=AC= 3,PA=BC= 4,M 为线段 AD 上一点,AM= 2MD ,N 为 PC 的中点.(1) 证明MN /平面PAB;(2) 求直线AN与平面PMN所成角的正弦值(1)证明由已知得 AM= -AD= 2取BP的中点T连接AT,TN,由N为PC中点知TN /BC,TN=

5、BC=2.又AD / BC,故TN AM，四边形AMNT为平行四边形,于是MN / AT.因为AT?平面PAB,MN?平面 PAB, 所以MN /平面PAB.解取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AE丄BC,从而AE丄AD,且AE=以A为坐标原点，的方向为x轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.=(0,2,-4),由题意知，P(0,0,4),M(0,2,0),C( -,2,0),N 设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量，则即 一可取 n= (0,2,1).于是 |cos|= 4.(2015全国I 18)如图，四边形ABCD为菱形，/ABC= 120 ,E,F是平面ABCD

6、同一侧的两 点,BE丄平面 ABCD,DF 丄平面 ABCD,BE=2DF ,AE丄 EC.(1)证明：平面AEC丄平面 AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.(1)|证明连接 BD,设 BD AAC=G ,连接 EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由/ ABC=120 ，可得 AG=GC= 一 由 BE丄平面 ABCD,AB=BC ,可知 AE=EC. 又 AE丄 EC,所以 EG= ，且 EG 丄 AC.在 Rt AEBG 中可得 BE= 一,故 DF= .在Rt AFDG中，可得FG=.在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2,BE= ：DF= ，可得 EF=一

7、.从而 EG2+FG 2=EF 2,所以 EG 丄FG.又ACAFG=G，可得EG丄平面AFC.因为EG?平面AEC,所以平面 AEC丄平面AFC.(2)解如图，以G为坐标原点，分别以的方向为x轴、轴正方向,|为单位长，建立空间直角坐标系 G-xyz由可得 A(0,- _,0),E(1,0, _),F - ,C(0, 一,0),所以=(1 ),- - 一 一 故 COS= -所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为 一新题演练提能 刷高分1.B(2018 山东潍坊二模)如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=A1D,AB=BC ,/ ABC=120 (1) 证明:AD 丄 A

8、1B;(2) 若平面ADD1A1丄平面ABCD,且Aq=AB ,求直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值(1)|证明取AD中点0,连接0B,0Ai,BD,T AAi=AiD, AD 丄 0A1.又 / ABC= 120 ,AD=AB , ABD 是等边三角形, AD 丄 OB, AD丄平面AiOB.TAiB?平面 AiOB, AD 丄 Ai B.解平面ADD iAi丄平面ABCD,平面ADD iAi门平面ABCD=AD ,又AiO丄AD,AiO丄平面ABCD, OA,OAi,OB两两垂直,以O为坐标原点，分别以OA,OB,OAi所在射线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系O-xyz,设 A

9、B=AD=A iD=2,则 A(I,O,O),Ai(O,O, 一),B(0, 一,O),D(-I,O,O).贝y =(i,0, _),=(-I, 一,0),=(0,- 一 _),设平面 AiBiCD 的法向量 n =(x,y,z),则-令 x=，则 y=i,z=-i,可取 n=( ,i,-i),设直线BAi与平面AiBiCD所成角为0,贝U sin 0=| cos|=2.(2018辽宁抚顺一模)如图，在四棱锥P-ABCD中,PD丄平面ABCD,底面ABCD为梯形,AB / CD, / BAD= 60 ,PD=AD=AB= 2,CD= 4,E 为 PC 的中点.(1)证明:BE /平面PAD;求

10、直线PB与平面BDE所成角的正弦值(1)证明设F为PD的中点，连接EF,FA.因为EF为APDC的中位线，所以EF / CD,且EF= CD= 2.又AB/ CD,AB=2所以AB EF,故四边形ABEF为平行四边形，所以BE / AF.又AF?平面PAD,BE?平面PAD,所以BE /平面PAD.解设G为AB的中点，因为AD=AB，/ BAD= 60 ,所以AABD为等边三角形，故 DG丄AB; 因为AB / CD,所以DG丄DC.又PD丄平面ABCD,所以PD,DG,CD两两垂直.以D为坐标原点， 为x轴、 为y轴、为z轴建立空间直角坐标系 D-xyz,则P(0,0,2),B( ,0),E

11、(0,2,1),=(0,2,1),=( 一,1,0),设n=(x,y,z)为平面BDE的一个法向量，令 y=1,则 n= -_ -.又=(_,1,-2),所以 |cos|= ,即直线PB与平面BDE所成角的正弦值为 一3. (2018福建福州3月质检)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,MBC为正三角形，点D在棱BC上, 且CD= 3BD,点E,F分别为棱 AB,BB1的中点.(1)证明 AC /平面DEF;若A1C丄EF,求直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值.(1)|证明如图，连接AB1,A1B,交于点H,A1B交EF于点K,连接DK,因为ABB1A1为矩形，所以H为线段A1B的中点，因

12、为点E,F分别为棱AB,BB1的中点，所以 点K为线段BH的中点，所以A1K=3BK,又因为CD= 3BD,所以A1C/ DK,又A1C?平面DEF,DK?平面DEF ,所以A1C /平面DEF.C1A显ASb ACiZ At(2)解由 (1)知,EH / AA1,因为 AA1 丄平面 ABC, 所以EH丄平面ABC,因为AABC为正三角形 且点E为棱AB的中点，所以CE丄AB,故以点E为坐标原点，分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 E-xyz,设 AB=4,AAi=t(t0),则 Ai(2,t,0),C(0,0,2 _),E(0,0,0),F -2-,0 ,

13、D(-,。,匚,所以 =(-2,-t,2 _),=1-2,0),因为AiC丄EF,所以=0,所以(-2) X(-2)-t X+2 _X0=0,解得t= 2 一.所以=(-2, _,0),= -,0, ,设平面DEF的法向量为 n= (x,y,z),则所以-取 x=1,则 n=(1, 一 _),又因为=(-2,0,2 _),设直线AiCi与平面DEF所成的角为Q所以sin 9=|cos|= =一所以直线 AiCi与平面DEF所成的角的正弦值为一.4. (20i8东北三省三校二模)如图，四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面为菱形，/ BAD= i20 ,AB=2,E,F 为 CD,AAi 的中点

14、.(i)求证:DF /平面 BiAE;若AAi丄底面ABCD，且直线ADi与平面BiAE所成线面角的正弦值为 -,求AAi的长.(i)证明设G为ABi的中点 旌接EG,GF,BE因为 FG -AiBi,又 DE -AiBi,所以FG DE,所以四边形 DEGF是平行四边形所以DF / EG,又DF?平面BiAE,EG?平面BiAE,所以DF /平面BiAE.解因为ABCD是菱形，且/ ABC= 60 ,所以ABC是等边三角形取BC中点M,则AM丄AD,因为AA1平面ABCD ,所以AA1 AM ,AA1丄AD,建立如图的空间直角坐标系A-xyz,令 AAi=t(t0),-1,t),Di(0,2

15、,t),则 A(0,0,0),E,Bi(=一 -,0 ,=( ,-i,t),(x+y)=0 且 n = (0,2,t),设平面BiAE的一个法向量为 n = (x,y,z),_x-y+tz= 0,取 n=(- _t,t,4),设直线 ADi与平面 BiAE所成角为Q则sin 0= -,解得t=2,故线段AAi的长为2.5. (20i8湖南长沙一模,18)如图，在多面体 ABCDEF中,四边形ABCD为梯形ADE,ABCF均为 等边三角形,EF / AB,EF=AD= -AB.(1)过BD作截面与线段FC交于点N,使得AF /平面BDN,试确定点N的位置,并予以证明 在(1)的条件下，求直线BN

16、与平面ABF所成角的正弦值.解(1)当N为线段FC的中点时，使得AF /平面BDN.证法如下：连接 AC,BD,设 AC ABD=O ,T四边形ABCD为矩形， O为AC的中点，又 N为FC的中点，ON为AACF的中位线， AF / ON. TAF?平面 BDN ,ON?平面 BDN, AF /平面BDN，故 N为FC的中点时，使得AF /平面BDN.(2)过点0作PQ / AB分别与AD,BC交于点P,Q,因为0为AC的中点，所以P,Q分别为 AD,BC的中点,/ ADE与ABCF均为等边三角形，且AD=BC ,ADE BABCF,连接 EP,FQ，则得 EP=FQ ,/ EF / AB,A

17、B PQ,EF=-AB, EF / PQ,EF=-PQ,四边形EPQF为等腰梯形.取EF的中点M,连接MO,则MO丄PQ,又/ AD 丄 EP,AD 丄 PQ,EP APQ=P , AD丄平面EPQF,过点O作OG丄AB于点G,则OG / AD, OG 丄 OM,OG 丄 OQ.分别以的方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,不妨设AB= 4,则由条件可得 O(O,O,O),A(1,-2,O),B(1,2,O),F(O,1, _),D(-1,-2,0),N.设n=(x,y,z)是平面ABF的法向量，贝U即一所以可取n =( _,0,1),由-一 -_,可得 |cos|=直线B

18、N与平面ABF所成角的正弦值为 一.命题角度2空间位置关系证明与二面角求解咼考真题体验对方向1.(2018全国川19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1) 证明：平面AMD丄平面 BMC;(2) 当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.(1)|证明由题设知，平面CMD丄平面ABCD,交线为CD因为BC丄CD,BC?平面ABCD,所以BC丄平面CMD，故BC丄DM.因为M为 上异于 C,D的点，且DC为直径，所以DM丄CM.又BCACM=C，所以DM丄平面BMC.而DM?平面AMD ,故平面 AMD丄平面BMC.

19、解以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥M-ABC体积最大时，M为 的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0), C(0,2,0), M(0,1,1),= (-2,1,1),=(0,2,0),= (2,0,0).设n = (X1,y,z)是平面MAB的法向量，贝U即-可取 n= (1,0,2),是平面MCD的法向量，因此cos= ,sin=.所共面 MAB与面MCD所成二面角的正弦值是2.（2017 全国 I 18）如图，在四棱锥 P-ABCD 中,AB/ CD,且/ BAP= / CDP= 90 (1)证明：平面PAB丄

20、平面 PAD;若 PA=PD=AB=DC , / APD= 90。，求二面角 A-PB-C 的余弦值.(1)|证明 |由已知 / BAP= / CDP= 90，得 AB 丄 AP,CD 丄 PD. 由于AB / CD,故AB丄PD,从而AB丄平面PAD.又AB?平面PAB,所以平面 PAB丄平面PAD.解在平面PAD内作PF丄AD,垂足为F.由可知,AB丄平面PAD,故AB丄PF,可得PF丄平面 ABCD.以F为坐标原点，的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.由及已知可得 A ,P 一，B ,C -所以=(一,0,0),= (0,1,0).设n=(x,y,z)

21、是平面PCB的法向量，则即-_可取 n= (0,-1,-).设m =(x,y,z)是平面PAB的法向量,则即-一可取 m=(1,0,1).贝U cos=所以二面角A-PB-C的余弦值为-.3.(2017全国II 19)如图，四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD, / BAD= / ABC= 90 ,E 是 PD 的中点.(1)证明：直线CE /平面PAB;点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45 ,求二面角M-AB-D的余弦值.(1)|证明取PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点，所以EF / AD,EF= -AD.由 /

22、BAD= / ABC= 90 得 BC / AD,又BC=-AD,所以EF BC,四边形BCEF是平行四边形,CE/ BF,又BF?平面PAB,CE?平面PAB,故CE /平面PAB.解由已知得BA丄AD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,| |为单位长,建立如图所 示的空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1, 一)， =(1,0,- 一)， =(1,0,0).设 M(x,y,z)(0x 1)，则=(x-1,y,z),=(x,y-1,z- _).因为BM与底面ABCD所成的角为45 ,而n = (0,0,1)是底面ABCD的法向量，所

23、以 |cos|= sin 452 2 2一,即(x-1) +y -z =0.又M在棱PC上，设=入，则x= Ay= 1,z=入由解得所以M -_(舍去)，从而设m =(x,y0,z0)是平面ABM的法向量，则所以可取 m =(0,- 一,2).于是 cos=因此二面角M-AB-D的余弦值为4.(2017全国川19)如图，四面体ABCD中,ABC是正三角形MCD是直角三角形，/ABD= /CBD,AB=BD.(1) 证明：平面ACD丄平面 ABC;(2) 过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角 D-AE-C的余弦值.(1)I证明I由题设可得,MBD

24、ACBD,从而AD=DC.又AACD是直角三角形，所以/ ADC= 90 . 取AC的中点 O,连接DO,BO贝U DO丄AC,DO=AO.又由于 AABC是正三角形，故B0丄AC.所以/ DOB为二面角D-AC-B的平面角.在 Rt AAOB 中,BO2+AO2=AB2,又 AB=BD ,所以 BO2+DO 2=BO2+AO2=AB2=BD2，故/ DOB= 90 .所以平面 ACD 丄平面 ABC.解由题设及 知,OA,OB,OD两两垂直，以 O为坐标原点，的方向为x轴正方向|为单 位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.贝V A(1,0,0),B(0, ,0),C(-1,0,0),

25、D(0,0,1).由题设知，四面体ABCE的体积为四面体 ABCD的体积的-，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的-,即 E 为 DB 的中点，得 E .故=(-1,0,1), =(-2,0,0),- - .设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量，贝U即一可取n=设m是平面AEC的法向量，则同理可取 m =(0,-1, _).贝U cos= .所以二面角D-AE-C的余弦值为一.5.4(2016全国I 18)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD,/AFD= 90，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60 .(1) 证

26、明：平面ABEF丄平面EFDC;(2) 求二面角E-BC-A的余弦值.(1)证明I由已知可得 AF丄DF,AF丄FE,所以AF丄平面EFDC.又AF?平面ABEF ,故平面 ABEF丄平面EFDC.解过D作DG丄EF,垂足为G,由知DG丄平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向,|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.由(1)知/ DFE为二面角D-AF-E的平面角,故/ DFE= 60，则 |DF|= 2,|DG|=:可得 A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, ).由已知,AB / EF,所以AB /平面EFDC.又平面 ABCD门平面E

27、FDC=CD ,故 AB/ CD,CD / EF.由BE/ AF,可得BE丄平面EFDC,所以/ CEF为二面角C-BE-F的平面角，/CEF= 60。从而可得C(-2,0,).所以 =(1,0, _),=(0,4,0),=(-3,-4, _),=(-4,0,0),设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量，所以可取n =(3,0,- J.设m是平面ABCD的法向量,同理可取m =(0, _,4),贝U cos=故二面角E-BC-A的余弦值为新题演练提能刷高分1.(2018重庆二诊)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,C!C丄平面ABC，侧面ABB1A1是正方形点E为棱AB的中点,

28、点M,N分别在棱 A1B1 ,AA1上，且A1M=-A1B1,AN=-AA1.(1)证明：平面CMN丄平面CEN;若AC丄BC,求二面角 M-CN-A 1的余弦值.(1)证明股 AB= 8贝U A1M= 3,AN=2,A1N=6,tan/ NEA=-,tan/ MNA1=-,/ NEA= / MNA1,又/ NEA=-/ ENA,所以 / MNAi = -/ ENA,所以 MN丄 EN.因为BC=AC ,E为AB中点，所以CE丄AB.因为ABC-AiBiCi为直三棱柱， 所以CE丄平面AAiBiB,所以MN丄CE,因为CE ANE=N ,所以MN丄平面CEN,因为MN?平面CMN,所以平面CM

29、N丄平面CEN.解由AC丄BC,以C为原点,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，M,8,N(0,4 一,2),2.设平面CMN的法向量为 n 1= (x,y,z), 平面CNAi的法向量n2= (1,0,0), 设所求二面角平面角为Qcos 9= 解得 6=（9 一 _,-4）.(2018河北石家庄一模)四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB/ CD,AB丄BC,AB= 2BC= 2CD= 2,SAD 为正三角形.(1)点M为棱AB上一点若BC/平面SDM,=入，求实数 入的值;若BC丄SD,求二面角 A-SB-C的余弦值.解(1)因为BC /平面sdm,bc?平面abcd,平面

30、SDM n平面 ABCD=DM ,所以 BC / DM.因为AB / DC,所以四边形BCDM为平行四边形，又 AB=2CD所以M为AB的中点.因为 =入，二/=-.因为 BC丄 SD,BC丄 CD,SDnCD=D,所以bc丄平面SCD,又因为bc?平面abcd,所以平面 scd丄平面abcd,平面SCDn平面abcd=cd，在平面SCD内过点S作SE丄直线CD于点E,则SE丄平面 ABCD,在RtSEA和RtSED中，因为SA=SD,所以AE=DE ,又由题知/ EDA= 45，所以AE丄ED,所以 AE=ED=SE= 1,以下建系求解:以点E为坐标原点,EA方向为x轴,EC方向为y轴,ES

31、方向为z轴建立如图所示空间坐标系,则 E(0,0,0),S(0,0,1),A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),=(1,0,-1), =(0,2,0), =(0,2,-1), =(1,0,0),设平面SAB的法向量ni = (x,y,z),所以-令x=1得n 1=(1,0,1)为平面SAB的一个法向量 同理得n2= (0,1,2)为平面SBC的一个法向 量，cos= ,因为二面角A-SB-C为钝角， 所以二面角A-SB-C余弦值为-3.(2018海南期末)如图，是一个半圆柱与多面体 ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的 下底面共面，且 AC丄BC,P为弧上(不与A1

32、,B1重合)的动点.(1)证明：PA1丄平面PBB1；若四边形ABB1A1为正方形，且 AC=BC , / PB1A1,求二面角P-A1B1-C的余弦值.解(1)在半圆柱中，BB1丄平面PA1B1,所以BB1丄PA1.因为A1B1是上底面对应圆的直径 所以PA1 丄 PB1.因为 PB1QBB1=B1,PB1?平面 PBB1,BB1?平面 PBB1,所以 PA1 丄平面 PBB1.(2)以点C为坐标原点，以CA,CB为x,y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立 空间直角坐标系C-xyz.如图所示,设 CB=1,则 B(1,0,0),A(0,1,0),Ai(0,l, _),Bi(1,0

33、, _),P(1,1, _). 所以 =(0,1, ),=(1,0, _).平面PAiBi的一个法向量n 1= (0,0,1).设平面CA1B1的一个法向量 n2 = (x,y,z),令z=1,则所以可取 n2=(- _,- _,1), 所以 cos=由图可知二面角 P-A1B1-C为钝角，所以所求二面角的余弦值为一.4. (2018江西南昌一模)如图，在四棱锥P-ABCD中,PA丄底面ABCD ABCD为直角梯形,AD /BC,AD丄AB,AB=BC=AP= -AD= 3,ACQBD=0 ,过O点作平面 a平行于平面 PAB,平面a与棱BC,AD,PD,PC 分别相交于点 E,F,G,H.(

34、1) 求GH的长度;(2) 求二面角B-FH-E的余弦值.解(1)因为a/平面PAB,平面aQ平面 ABCD=EF ,O EF ,平面PAB D平面 ABCD=AB，所以EF / AB,同理 EH / BP,FG / AP,因为 BC / AD,AD=6,BC=3,所以 ABOC sDOA,且一所以一 一,CE=CB= 1,BE=AF= 2,同理-,连接HO,则有HO/ PA,所以 HO 丄 E0,H0=1,所以 EH=PB=同理,FG= -PA=2,过点H作HN / EF交FG于N,贝y gh=一建立如图所示空间直角坐标系，则B(3,0,0),F(0,2,0),E(3,2,0),H(2,2,

35、1),= (-1,2,1),=(2,0,1),设平面 BFH 的法向量为 n=(x,y,z),令 z=-2,得 n=5因为平面EFGH 所以平面EFGH/平面PAB,的法向量 m =(0,1,0).cos=，故二面角B-FH-E的余弦值为5. (2018 山东淄博二模,18)如图，在三棱柱 ABC-AiBiCi 中,CA=CB=CC i=2,Z ACCi = / CCiBi, 直线AC与直线BBi所成的角为60 .(1)求证:ABi 丄 CCi;若ABi= 一,M是ABi上的点，当平面MCCi与平面ABQ所成二面角的余弦值为 -时,求的值.(1)|证明在三棱柱ABC-AiBiCi中，各侧面均为

36、平行四边形，所以BBi / CCi,则/ ACCi即为AC 与BBi所成的角，所以/ ACCi= / CCiBi = 60 .连接ACi和BiC,因为 CA=CB=CC i = 2,所以ZACiC和厶BiCCi均为等边三角形取CCi的中点0,连AO和BiO,则 A0丄CCi,BiO丄CCi.又 AO ABiO=O ,所以CCi丄平面AOBi.ABi?平面AOBi,所以ABi丄CCi.解由知AO=B iO= _,因为ABi= 一，则 AO2+BiO2=A ,所以AO丄BiO,又AO丄CCi,所以AO丄平面BCCiBi.以OBi所在直线为x轴,OCi所在直线为y轴,OA所在直线为z轴，如图建立空间

37、直角坐标系，则A(0,0, 一)，C(O,-i,O),Ci(O,i,O),Bi( 一,0,0), =(0,-i,- ),=( ,0,- ),=(0,2,0),设=t _ ,M(x,y,z),则(x,y,z- _)=t( -x,-y,-z),所以 X=,y= 0,z=,M ,所以.设平面ACBi的法向量为ni = (xi,yi,zi),平面MCCi的法向量为n2= (x2,y2,z2),所以-_-_解得 ni = (i,- _,i).解得 n2=(i,0,-t).所以 cos 0= -.解得t=-或t=2，即-或=2.6. (20i8湖北 荆、荆、襄、宜”四地七校联考)如图，在几何体ABCDEF

38、中，平面ADE丄平面ABCD, 四边形 ABCD 为菱形，且/ DAB= 60 ,EA=ED=AB= 2EF ,EF / AB,M 为 BC 中点.(i)求证:FM /平面 BDE;(2)求二面角D-BF-C的平面角的正弦值.(1)|证明取CD中点N,连接MN,FN,因为N,M分别为CD,BC中点，所以MN / BD.又BD?平面BDE,且MN?平面BDE,所以MN /平面BDE,因为EF / AB,AB=2EF,所以EF / CD,EF=DN.所以四边形 EFND为平行四边形所以FN / ED.又ED?平面BDE 且FN?平面BDE,所以 FN / 平面 BDE，又 FN AMN=N ,所以

39、平面 MFN /平面BDE.又FM ?平面 MFN，所以FM /平面BDE.解取AD中点0,连接EO,BO因为EA=ED ,所以E0丄AD.因为平面 ADE丄平面 ABCD,所以E0丄平面 ABCD,EO丄B0.因为 AD=AB , Z DAB= 60 ,所以ADB为等边三角形因为0为AD中点，所以AD丄B0.因为E0,B0,A0两两垂直，设AB=4,以0为原点，0A,0B,0E为x,y,z轴，如图建立空间直角坐标系0-xyz由题意得 A(2,0,0),B(0,2 一,0)，5-4,2 _,0),D(-2,0,0),E(0,0,2 _),F(-1, 一,2 一).= (2,2 _,0),=(1

40、, _,2 _),=(3,- ,2 ),=(4,0,0).设平面BDF的法向量为 n= (x,y,z),贝U即_令 x=1,则 y=-,z=O,所以 n= 1,0.设平面BCF的法向量为 m =(x,y,z), 则即 _令 z=1,则 y=2,x=0,所以 m = (0,2,1). /. cos=-1 1二面角D-BF-C平面角的正弦值为.7. (2018辽宁大连一模)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA丄平面ABCD,E,F 分别是线段 AD,PB的中点,PA=AB= 1.(1) 求证:EF /平面DCP;(2) 求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值 解(1)(方法一)

41、取PC中点M,连接DM,MF.T M,F 分别是 PC,PB 中点，二 MF / CB,MF=-CB,T E 为 DA 中点,ABCD 为正方形，二 DE / CB,DE= -CB,MF / DE,MF=DE , 四边形DEFM为平行四边形 EF / DM,T EF?平面 PDC,DM?平面 PDC, EF / 平面 PDC.（方法二）取PA中点N,连接NE,NF. T E是AD中点,N是PA中点, NE / DP, 又T F是PB中点,N是PA中点, NE / AB,TAB/ CD,.NF / CD,又 T NEANF=N ,NE?平面 NEF,NF?平面 NEF,DP?平面 PCD,CD?

42、平面 PCD,平面NEF /平面PCD.TEF?平面 NEF,.EF /平面 PCD.(方法三)取BC中点G,连接EG,FG, 在正方形 ABCD中,E是AD中点,G是BC中点, GE/ CD,又T F是PB中点,G是BC中点，二GF / PC,又PC QCD=C ,GE?平面GEF,GF?平面 GEF,PC?平面 PCD,CD?平面 PCD,平面GEF /平面PCD./ EF?平面 GEF, EF / 平面 PCD.(2) T PA丄平面ABC,且四边形 ABCD是正方形，二AD,AB,AP两两垂直，以A为原 点,AP,AB,AD所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系 A-xyz,则 P

43、(1,0,0),D(0,0,1),C(0,1,1),E( 0,0,-)，F( - J .设平面EFC的法向量为ni = (xi,yi,zi),取 ni=(3,-1,2),则设平面 PDC 的法向量为 n2= (x2,y2,Z2),= (-1,0,1),=(-1,1,1),则取 n2=(1,0,1),cos=平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值为命题角度3折叠问题、点到平面的距离咼考真题体验 对方向1. (2016全国n 19)如图，菱形ABCD的对角线 AC与BD交于点O,AB= 5,AC= 6,点E,F分别在AD,CD 上,AE=CF= -,EF 交 BD 于点 H.将 ADEF 沿

44、EF 折到 ADEF 的位置，OD=(1) 证明:DH丄平面 ABCD;求二面角B-DA-C的正弦值.(1)|证明由已知得 AC丄BD,AD=CD.又由AE=CF得一故 AC / EF.因此EF丄HD,从而EF丄DH.由 AB= 5,AC= 6 得 DO=BO=4由 EF / AC 得所以 0H=1,DH=DH= 3.于是 DH 2+0H 2=32+ 12= 10=DO 2,故DH丄0H.又 DH 丄 EF,而 OH AEF=H ,所以DH丄平面ABCD.(2)解如图，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系 H-xyz.则 H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,

45、0),C(3,-1,0),D(0,0,3),=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).设m =(X!,y!,z1)是平面ABD的法向量,所以可取m =(4,3,-5).设n = (X2,y2,Z2)是平面 ACD的法向量,则即所以可取n =(0,-3,1).于是 cos= =-.sin=因此二面角B-DA-C的正弦值是2. (2015 陕西 18)如图，在直角梯形 ABCD 中,AD / BC,Z BAD=-,AB=BC= 1,AD= 2,E是 AD 的 中点,O是AC与BE的交点，将 ABE沿BE折起到AAE的位置，如图.圏晦(1)证明：CD丄平面AiOC;(2)若平面AiBE

46、丄平面BCDE,求平面AiBC与平面AiCD夹角的余弦值 (1)证明在题图中，因为AB=BC= 1,AD=2,E是AD的中点，/ BAD= -，所以BE丄AC,即在题图 中,BE丄OAi,BE丄OC, 从而BE丄平面AiOC,又CD / BE,所以CD丄平面AiOC.解由已知，平面AiBE丄平面BCDE, 又由知,平面AiBE丄平面BCDE, 又由(i)知,BE丄OAi,BE丄OC, 所以/ AiOC为二面角Ai-BE-C的平面角所以 / AiOC=.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系因为 AiB=AiE=BC=ED= i,BC/ ED,所以 B ,E - 一,Ai一 ,C ，得-一 =(-

47、,0,0).设平面AiBC的法向量ni= (xi,yi,zi),平面AiCD的法向量n2=(X2,y2,z2),平面AiBC与平面AiCD夹角为0,贝V得-取 ni=(i,i,i);得取 n2= (0,i,i),从而 cos 0=| cos|=_=一,即平面AiBC与平面AiCD夹角的余弦值为 一.新题演练提能 刷高分1. (20i8河南4月适应性考试)如图，在边长为2 的菱形ABCD中，/ DAB= 60 .点E,F分别 在边CD,CB上，点E与点C,D不重合,EF丄AC,EF HAC=O.沿EF将CEF翻折到APEF的位 置,使平面PEF丄平面 ABFED.(1) 求证:PO丄平面ABD;

48、(2) 当PB与平面ABD所成的角为45时,求平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值|证明EF丄AC, A PO丄EF. V平面PEF丄平面 ABFED,平面PEF门平面 ABFED=EF ,且PO?平面PEF, APO丄平面 ABD.解如图，以O为原点，建立空间直角坐标系 O-xyz,连接BO, TPO丄平面ABD, / PBO 为 PB 与平面 ABD 所成的角,即 / PBO= 45，二 PO=BO. 设 AO ABD=H ,V / DAB= 60 , ABDA为等边三角形， BD= 2 _,HB= 一,HC= 3.设 PO=x 则 OH=3-x,由 PO2=OH 2+HB 2,得

49、x=2,即 PO=2,OH= 1. P(0,0,2),A(4,0,0),B(1, -,0),D(1,- 一,0) PO丄 OB,0, ,0.设平面PAD,平面PBF的法向量分别为 m =(a,b,c), n = (x,y,z),由 取 a=1,得 m =(1,- _,2).同理，得 n= (-1, _,1),二 cos=平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为2. (2018广东揭阳学业水平考试 )如图所示，平面多边形 ABCDE中,AE=ED ,AB=BD，且 AB= ：AD=2,AE= _,CD= 1,AD丄CD,现沿直线 AD,将AADE折起，得到四棱锥 P-ABCD.(1)求证:P

50、B丄AD;若PB= 一,求PD与平面PAB所成角的正弦值(1) 证明取 AD 的中点 O,连接 OB,OP,T BA=BD ,EA=ED ,即卩 PA=PD , OB 丄 AD 且 OP 丄AD,又 OB AOP=O , AD丄平面BOP,而 PB?平面 BOP,. PB丄 AD.I222(2) 解 T OP= 1,OB= 2,OP +OB =5=PB , OP,OB,OD两两互相垂直，以0为坐标原点，OB,OD,OP所在的直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系 O-xyz,则 A(0,-1,0),B(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),=(0,-1,1),=(0,1,1)

51、,=(-2,0,1),设m =(a,b,c)为平面PAB的一个法向量，则由令 a=1,则得 c=2,b=-2,.m =(1,-2,2),设PD与平面PAB所成角为Q，即 PD与平面PAB所成角的正弦值为贝U sin 9=3. (2018东北三省三校三模)已知等腰直角 ASAB,SA=AB=4,SA丄AB,C,D分别为SB,SA的中 点，将SCD沿CD折到SCD的位置,SA=2 一,取线段SB的中点为E.(1) 求证:CE /平面SAD;(2) 求二面角A-EC-B的余弦值.(1)|证明取SA中点F,连接DF,EF,T SE=EB,SF=FA ,AEF AB.又T CD -AB,. CD EF,

52、四边形CDFE为平行四边形， CE / FD,TCE?平面 SAD,FD?平面 SAD, CE / 平面 SAD.(2)解T SD=AD= 2,SA=2 _,2 2 2二 SD +AD =SA .SD丄AD.T SD丄 CD,SD?平面 SCD, SD丄平面ABCD,T AD,CD?平面 ABCD,A SD丄 AD,SD丄 CD, 又T AD丄DC,. DA,DC,DS两两互相垂直，如图所示，分别以DA,DC,DS为x,y,z轴建立空间直角坐标系 D-xyz,则 A(2,0,0),C(0,2,0),S(0,0,2),B(2,4,0),E(1,2,1),=(1,0,1),=(2,-2,0),=(2,2,0),设平面ECA,平面ECB的法向量分别为 m = (x1 ,yi,zi),n = (x2,y2,z2),取 m =(1,1,-1),取 n=(1,-1,-1).二 cos=面角A-EC-B的平面角的余弦值为 一.4. (2018山东济南一模)如图1,在高为6的等腰梯形 ABCD中AB / CD,且CD=6,AB=12，将它 沿对称轴0。1折起，使平面ADOQ丄平面BCOQ如图2,点P为BC中点,点E在线段AB上(不