4完全平方数及应用一教师版

1、实用标准文档文案大全目tM怔 教学目标1. 学习完全平方数的性质；2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用。目tMl归、完全平方数常用性质1. 主要性质1. 完全平方数的尾数只能是0, 1, 4，5, 6，9。不可能是2，3，7, &2. 在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3. 完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4. 若质数p整除完全平方数a2，则p能被a整除。2. 性质性质1:完全平方数的末位数字只可能是0，1, 4，5，6，9.性质2 :完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数.性质3:自然数N为完全

2、平方数自然数N勺数的个数为奇数因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且 p2n|N，则2np |N .性质4:完全平方数的个位是 6=它的十位是奇数.性质5 :如果一个完全平方数的个位是0,则它后面连续的0的个数一定是偶数如果一个完全平方数的个位是5，则其十位-性质6:如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数.3. 一些重要的推论1. 任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被 4 （或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。2. 一个完全平方数被 3除的余数是0或1.即被3除余2的数一

3、定不是完全平方数。3. 自然数的平方末两位只有：00, 01, 21, 41 , 61, 81, 04, 24, 44, 64, 84, 25, 09, 29, 49,69, 89, 16, 36, 56, 76, 96。4. 完全平方数个位数字是奇数（1 , 5, 9）时，其十位上的数字必为偶数。5. 完全平方数个位数字是偶数（0, 4）时，其十位上的数字必为偶数。6. 完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。7. 凡个位数字是5但末两位数字不是 25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1, 4, 9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3

4、.重点公式回顾：平方差公式:2 2a -b =(a b)(a _b)目tM怔 例题精讲模块一、完全平方数计算及判断实用标准文档【例1】 已知：1234567654321 X 49是一个完全平方数，求它是谁的平方？【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】解答【解析】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推（找规律）的方法来求解：121= 112 ；2 2 212321 = 111 ； 1234321 = 1111，于是，我们归纳为1234门4321=（叫山J），所以，n个11234567654321 : 11111112 ;则,1234567654321 X 49=11

5、111112 X 72=77777772 .所以，题中原式乘 积为7777777的平方.【答案】7777777【例 2 】1234567654321 （1 23 4 56 76 5 4 32 1）是的平方.【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】填空【关键词】祖冲之杯2 2【解析】1234567654321 =1111111 , 123-45 6 76 -5 43 2 7 ,原式 =（1111111 7） 77777772 .【答案】7777777【例3】 已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则 n的最小值是。【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】填空【关键词】

6、学而思杯，6年级，第9题【解析】（法1）先将12 !分解质因数：12! =210 35 52 7 11，由于12!除以n得到一个完全平方数，那么 这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为210 34 52 ,所以n最小为 12!-： 210 34 52 =3 7 11 =231。（法2） 12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的幕次是奇数，所以 n的 最小值是3X7 01=231。【答案】231【例4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0,试求满足上述条件的最小的正整数.【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【解析】平方数的末尾只能是

7、 0, 1, 4, 5, 6, 9，因为111 , 444, 555, 666, 999都不是完全平方数，所以 所求的数最小是 4位数考察1111 , 1444可以知道1444 = 38X38，所以满足条件的最小正整数 是1444.【答案】1444【例5】A是由2002个“ 4”组成的多位数，即 444, 4 , A是不是某个自然数 B的平方？如果是，写出B;2002 个 4如果不是，请说明理由.【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】A =444 4 =22 111川1 .如果A是某个自然数的平方，则也应是某个自然数的平方，2002个 42002 个 12002

8、 个 1并且是某个奇数的平方由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而111,山1-1 =口1申10不是4的倍数，矛盾，所以 A不是某个自然数的平方.2002个 12001 个 1【巩固】A是由2008个“ 4”组成的多位数，即 44 4 , A是不是某个自然数 B的平方？如果是，写出 B ;2008个4如果不是，请说明理由.【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】不是.A =44 4 =22 11川1假设A是某个自然数的平方，则 11111也应是某个自然数的平方，并且2008个 42008个 12008个 1是某个奇数的平方由奇数的平方除以4

9、的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而实用标准文档11川1 _1 =11山10不是4的倍数，与假设矛盾所以A不是某个自然数的平方.计算-2222 =AX A,求 A1002 个 22008个 12007个 1【例6】【考点】完全平方数计算及判断【难度】4星【题型】解答【解析】此题的显著特征是式子都含有 111山1，从而找出突破口n个1111屮-222 2 =1112 000 0 -111凹2004 个 11002 个 21002 个 11002 个 01002 个 1111 X( 10000-1 )1002 个 11002 个 0111川1 X( 9999 )1002个 11002 个

10、9111川1 X( 1112 X 3X 3) = A21002 个 11002 个 1所以，A= 遛出3.1002 个 3【答案】333 31002个 3【例7】444护888卿9二A2，求A为多少？2004 个 42003 个 8 求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005?（找规律）的方法来求解:【考点】完全平方数计算及判断【难度】4星【题型】解答 【解析】 本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推注意到有444 4888 89可以看成444 4888 89，其中n= 2004；2004 个 4 2003 个 8n个 4 n-1 个 8寻找规律：当n=1时，有49

11、 =72 ；当 n=2 时，有 4489 = 672 ;于是，类推有当 n=3 时，有 444889 =66724444888 89 = 666672004 个 4 2003 个 82003个 6方法二：下面给出严格计算:4444888,4)89 = 44勺 114000 ) 110 +888.匝 +1 :2004 个 4 2003 个 82004 个 4 2004 个 0200；个 8444, 4000 0 + 888. 82004 个 42004 个 02004 个 8+ 1 = 111 冲 X2004 个 1(4X 100Q0+8) +12004 个 0=111 加 X2004 个 14

12、X( 999川9 +1)+8 +12004 个 9=11出1 X 4X( 99糾9 ) +12 +12004 个 12004 个 9=(111 肿)2 X 36+12X 11JM +12004 个 12004 个 1=(111 叶)2 X 36+2X( 6X 111 肿)+12004 个 12004 个 1=(666 66 1)2 二阪 67)22004 个 62003 个 6由知 444 4888. 89 = 666 673，于是数字和为(4 n+8n-8+9)=12 n+1 ;令 12n+ 仁2005 n 个 4n-1 个 8n_1 个 6解得n=167，所以所以存在这样的数，是44|48

13、8|89167 个 4 166 个 8166个 6167 个 4166 个 8【答案】(1) 666 672 , (2) 444 4888 89=666 詁2003个6167 个 4 166 个 8166个 6实用标准文档模块二、平方数特征(1) 平方数的尾数特征【例8】下面是一个算式：11 21 2 31 2 341 234 51 23456 ,这个算式的得数 能否是某个数的平方？【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少平方数的个位数只能是0, 1 , 4,5, 6, 9,而2, 3, 7,

14、8不可能是平方数的个位数.这个算式的前二项之和为 3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子 2和5，个位数一定是 0,因此，这个0算式得数的个位数 是3,不可能是某个数的平方.【答案】不是【例9】一个数与它自身的乘积称为这个数的平方各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有个.【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第10题【解析】49 =1 4 9 25, 1,2,3,5全排列共有24个。【答案】24【例10】用19这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数那么，其中的四位完全平方数

15、最小是 .【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】5星 【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，复试， 11题【解析】四位完全平方数1234352= 1225，所以至少是362= 1296.当四位完全平方数是1296时，另两个平方数的个位只能分别为4,5 ,个位为5的平方数的十位只能是 2，但数字2在1296中已经使用.当四位完全平方数是 齐 1369时，另两个平方数的个位只能分别为4,5 ,个位为5的平方数的十位一样只能是2,还剩下7,8，而784恰好为282所以，其中的四位完全平方数最小是1369.【答案】1369【例11】称能表示成1+2+3+K的形式的自然数为三角数，有一个四位数N,

16、它既是三角数，又是完全平方数，N=。【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】5星 【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级，第14题【解析】N=kx (1+k)/2=mA2 , 4 位数的话 2000=k x (k+1)20000, 45=k=140, k=2n n*(2n+1)=N。n 与 2n+1 互质，所以要均为平方数。平方数末尾149650。满足要求的是4950。23=n n4，使得ng +2002 =m2(i, j =1,2,3,4, i式j).又2002被4除余2,故ng被4除余2或3.若厲、n2、n3、n4中有两个偶数，如厲、n2是偶数，那么门小2是4的倍数，qnj 200

17、2被4除余2,所以不可能是完全平方数；因此n1住、n3、帀中至多只有一个偶数，至少有三个奇数.设厲、n?、为奇数，血为偶数，那么n1 n2、n3被4除余1或3,所以厲、n?、匕中至少有两个数余数相同.如 厲、被4除余数相同，同 为1或3，那么门小2被4除余1,所以韭2002被4除余3,不是完全平方数； 综上，n nj +2002不可能全是完全平方数.实用标准文档【例27】1 x3x：5疋川灯991的末三位数是多少？【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】5星【题型】解答【解析】首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于1 3 5 . 991的平方再乘以993 995 997 999的末三位而

18、 993 995 997 999 =993 999 995 997= 993000 -993 995000 -995 3 = 993000 -993995000 -2985 ,2其末三位为7x15 = 105;然后来看前者它是一个奇数的平方，设其为(5k) ( k为奇数)，由于2 2 2 2 2(5k 2 = 25k =25+25(k _1),而奇数的平方除以 8余1，所以k -1是8的倍数，则25(k -1 )是2002 2 2的倍数，设 25(k_1 )=200m ,贝U (5k j = 25+ 2(5k _)1=25 2r00 所以它与 105 的乘积25k 105 = 25 200m 105 =21000m - 2625，所以不论 m的值是多少，所求的末三位都是625.【答案】625【例28】求所有的质数P,使得4p21与6p2 1也是质数.【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】5星【题型】解答【解析】如果p=5，则4p2 1=101 ,6p21=151都是质数，所以5符合题意如果P不等于5,那么P除以5的余数为1、2、3或者4, p2除以5的余数即等于12、22、32或者42除以5的余数，即1、