5曲面上切向量的局部平移

1、作者：王幼宁第六章 曲面的内蕴几何初步5 曲面上切向量的局部平移在欧氏几何学中，利用向量的所谓 平行移动性质 所建立的“自由向 量”概念，以及从属于该概念下的运算规则，对于刻划几何对象而言是非 常 直观和实用 的欧氏向量平移的基本属性，既是具体表现欧氏空间基本 属性的一部分基本需要，也是观察其它度量几何空间（亦或更为一般的几 何空间）基本属性的一个可以借鉴的视角本节将从曲面的局部内蕴几何 学的角度，具体考察欧氏平移概念的适当推广，以及若干相关重要性质对于 E3 中的曲面而言，切平面和切向量是直观和具体的几何对象，它 们可以与曲面本身同时表示在同一个外围空间E3 之中；并且，作为欧氏平面，切平面

2、上所指定的内积就是E3 的诱导内积我们已经知道，切平面的几何行为完全确定了曲面的内蕴几何行为，并且从微积分学的观点来看， 它又是曲面的局部一阶线性近似；因而可以预期，建立抽象曲面的切平面 概念，研究其一般属性，并借鉴熟知的E3 中曲面的一般化研究方法加以研究，对于抽象曲面几何学而言是非常重要的基础性工作一抽象曲面的切平面首先观察具体的例子例 1 在 E3中考察 平面 上各点处的切平面都重合于平面自身，不同点处的切平面按 欧氏平移对应而成为等距同构的等价空间E2 圆柱面 上的切平面，位于同一直纹上的可按欧氏平移对应而成为 等距同构的 E2；位于不同直纹上的切平面之间，一般不能按欧氏平移对应 而等

3、距同构利用圆柱面与平面的局部等距对应和平面各切平面间的等距 同构，可以构造圆柱面上各切平面间的等距同构它不同于E3 中的欧氏平移对应作者：王幼宁V图 6-14 单位球面 S 上 的切平面，沿 S 上曲线 C 可建 立等 距同 构 如 下： S 上的切平面沿 C 构成单参数平面族，所 具有的包络面 是可展 的； S 上的切平面沿 C 处处是 的切平面，而局部等距对应于平 面，平面各切平面间按欧氏平移所构成的等距同构相对应此种等距同构 一般与道路 C 有关，如图 6-14 所示 体会此例，可以感受到理论上的两点自然需要：切平面之间的“内 蕴平移”对应，作为欧氏平移对应的合理推广，应该是 一种受到曲

4、面内蕴 约束的等距同构 ；切平面本身的 定义方式应该内蕴化 ，而不应该受到外 围空间 E3的影响上述第一点将在下一段中细致调查；这里首先针对第二 点给出合理定义定义 1 给定抽象曲面 (U, ds2) , ds2 gij dui duj 对其上任意一点 P(u1, u2) U ，作二维 向量空间 TP ai ei P (a1, a2) R2 ，并引入内积12(eiP , ejP) gij(u1, u2) ，则称 TP为 (U, ds2) 在点 P处的切平面；同时，称 TP中的元素为 (U, ds2) 在 点 P 处的切向量 ，称 e1P , e2P 为 TP的自然基 ，称 (a1, a2) 为

5、切向量 aieiP 在自然基下的 分量 组定义 2 给定抽象曲面 (U, ds2) 任意点 P 处的自然基 e1P , e2 P ，称 e1, e2 为 (U, ds2) 的自然切向量场 对于 U上的两个函数 v1(P) 和 v2(P) ， 称 v vi ei 是 (U, ds2) 上的 切向量场 ，称 (v1, v2) 为 v vi ei 的分量函数 组； 当分量函数都是 k-阶连续可微函数之时，称 v 是 (U, ds2) 上的一个 k-阶连 续可微切向量场 ，其中 k 1, 2, 注记 1 在张量代数和张量分析之中，通常将抽象曲面的自然切向量场记为 eii 当抽象曲面能够实现在 E 3之

6、中时，自然切向量场即实现v 为曲面的坐标曲线的自然切向量场作者：王幼宁为直观起见，以下各段不妨可以认为是在E3 之中的正则曲面上讨论；所建立的理论框架，在相应记号改动后 自然适用于抽象曲面 ，并成为进 步建立抽象理论的直观背景 为简便起见，以下不声明时总考虑连续可微 切向量场，并简称之为切向量场切平面等距同构的微元表示对于 E 2而言，切向量 a0欧氏平移所产生的切向量场 a 具有的运动特 征是 da 0或 a a0 0，其中 d 是 E2 E3中的普通微分 ，而 a a0中的代 数运算“ ”则充分利用了不同起点(切点)间的 欧氏平移 为了在曲面上推广切向量的平移运动，需要考虑 在微元意义下的

7、切平 面之间的等距同构的特征 ，以便将不同切平面之间按照适当的等距同构对 应联系在一起在曲面的 (u1, u2) 参数化 下，考虑任意一点 P: (u1, u2) 及 其邻近点 P dP: (u1 du1, u2 du2) 的切平面 TP 和 TP dP 之间的等 距同构: TPTP dPv P(v P) 由于 同构映射可归结为由基向 量组的映像完全确定 ，故首先 考虑 自然基的行为 对于 i 1, 2 TP 和 ei(P dP) ri(u1 du1, u2 du2) 的逆像为i(P, dP)1(ei(P dP)则由保持内积的属性可写图 6-15记自然基向量分别为 ei(P) ri(u1, u

8、2) TP dP ，记等距同构下基向量 ei(P dP)1(ri(u1 du1, u2 du2) TP ；(5.1) ( i(P, dP) , j(P, dP)i(P, dP)? j(P, dP)(ei(P dP), ei(P dP) gij(P dP)ri(u1 du1, u2 du2)? rj(u1 du1, u2 du2) gij(u1 du1, u2 du2) gij(u1, u2) (gij)k(u1, u2) duk o( (du1)2 (du2)2 ) gij (P) (gij)k(P) duk o( dP ) ， 其中 dP(du1)2 (du2)2 另一方面，记差向量i(P,

9、 dP) ei(P)1(ri(u1 du1, u2 du2) ri(u1, u2)关于无穷小量 dP 的 一阶线性近似部分 为(5.2) (Dei)P tijkPej(P) duk tijkPrj(u1, u2) duk，作者：王幼宁即i(P, dP) ei(P) (Dei)P o( dP ) ri(u1, u2) tilkPrl(u1, u2) duk o( (du1)2 (du2)2 ) ， 则有(5.3) ( i(P, dP) , j(P, dP)i(P, dP)? j(P, dP)gij tilk glj duk tjlk gli duk P o( dP ) 比较 (5.1) 和 (5

10、.3) 两式，即得 (5.4)(gij)k tilkglj tjlk gli 从推导过程可见，此式是 等距同构对应的内蕴约束条件 回想联络系数的导出过程， 若对 tilk 附加上所谓 无挠条件(5.5)tilk tkli ，则 tilk 就唯一确定为联络系数组 ilk 此时 (5.6)Dei ijk ej duk Dri ijk rj dukdriik n duk (dri)T对于 E 3中的曲面即为普通微分 dr i 在切平面上的分量 进一步，对于一般 连续可微切向量场 v vi ei 而言，成立略去高阶无穷小量的关系式(Dv)PD(vi P ei P)1(v(u1du1, u2 du2)

11、v(u1, u2)1i(v P dPei P dP) vi P ei Pvi P dP1(ei P dP)iv P ei Pvi P dP (eiDei) Pvi P ei P (vi P dPvi P) ei Pvi P dP (Dei) P(dvi eiiv Dei) P ，此即(5.7)D(vi ei)dvi ei viDei dvi ei viijk ej duk(dvi vjjik duk )ei 以下将据此分别引进绝对微分概念和内蕴平移概念，并使用E3 之中的正则曲面的记号进行讨论三切向量场的绝对微分对正则曲面上的连续可微的切向量场 v viri ，分量函数 vi vi(u1, u

12、2) 连续可微，展开计算则有(5.8) dv (dvi)ri vi dri (dvi )ri vi rij duj(dvi)ri vi ( ilj rlij n)duj(dvlviilj duj)rlviij duj n(vl)jviiljduj rlviijduj n 注意 dv 向切平面的逐点投影 (dv)T 是不依赖于参数选取的 ，并且由 (5.8) 式 给出 其表示为作者：王幼宁(5.9) (dv)T (dvl vi ilj duj) rl (vl)j vi iljduj rl 此式说明 (dv)T 是曲面上的由度量 ds2 和切向量场 v 完全确定的量定义 3 对曲面 S上的连续可微

13、切向量场 v viri ，称 dv 向切平面的逐 点投影 (dv)T 为切向量场 v 的绝对微分 ，记为 Dv ；称 Dv 关于自然基的分 量为切向量场 v 分量函数 vl 的 绝对微分 ，记为 Dvl ，即(5.10) Dvl dvl vi iljduj (vl)j vi ilj duj，(5.11) Dv (Dvl )rl 注记 2 在曲面上的一点 P S ，如果等价地视 D 为作用在切平面 TP 上的算子，则利用关于自然基的分量形式可写D: TP TP 上微元全体(a1, a2)(Da1, Da2) 对曲面 S上的切向量场 v viri ，同样可以定义沿 S上一条正则曲线的绝对微商概念设

14、Dvl dvl i可正则参数表示为 ui ui(t) , i l duji j dt ，1, 2 记(5.12) dtdt vDvDvl(5.13) dtdt rl ，则以此给定了S上沿的切向量场 Dv dt定义 4对曲面上在一条正则 t 参数化曲线 之上有定义的连续可微切向量场 v viri ，称 Ddtv| 为 v沿 关于参数 t 的绝对微商 (或绝对导数 )，称 Ddvt 为 v 的自然分量 vl 沿 关于参数 t 的绝对微商 (或 绝对导数 )注记 3 在一点 P利用分量形式可写S ，同理视 D 为作用在切平面 TP 上的算子，则D : TP TP(a1, a2)(Da1 , Da2)

15、(dt , dt ) 作者：王幼宁性质 1 设 a , b 为曲面 S的两个连续可微切向量场，则 D(a b) Da Db ； D(fa) (df )a f Da , f C2(S) ； d(a?b) Da?b a?Db 证明 由 D 的定义以及微分的性质易得性质和，下面仅证性质 . 因等式两端与坐标选取无关，故 在局部取特殊坐标系验证即可 对 P S，不妨设 (u1, u2) 为以 P 为原点的 法坐标系 , 且 a ai ri , b bi ri ，则在点 P 处成立Da?b a?Db (dai)r i?bj rj ai ri?d(bj)rj(bj dai ai dbj) gij aibj

16、 dgij aibj dgij d(a?b) ，从而由 P 点的任意性得证 注记 4 由性质和易知 D 是线性算子 注记 5 约定函数的微分 df 即定义为 f 的绝对微分 Df ，则性质称为 保持内积 ，表达为D(a?b) Da?b a?Db ；其分量形式表达为D(ai bj gij) Dai bj gij ai Dbj gij 注记 6 沿曲面 S上一条正则曲线 的 绝对微商有相仿规律例 2 对曲面 S上一条弧长 s参数化曲线 的测地曲率 g 有算式du1D du1(5.14)dT DTg ddTs ? (n T) DdsT ? (n T)gdsdu2ds dsD du2dsds ds其中

17、 g( gij )2 2 , 而 (u1, u2) 为 S 的参数例 3 若曲面 S 与曲面 S* 公切 于一条正则 t 参数化曲线 ，连续可微 切向量场 v 在 之上有定义，则 v 在两张曲面上分别沿 关于参数 t 有绝对 微商， 这两个绝对微商相同 ，表达为Dv Dv(5.15)dt| S dt| S* 作者：王幼宁四切向量的 Levi-Civita 平移定义 7 对曲面 S上的连续可微切向量场 v，若 Dv 0 ，则称 v是 S上的 平行向量场 ；对在一条正则曲线S 之上有定义的连续可微切向量场v，Dv 若 Ddtv|0 ，则称 v 是 S 上的沿曲线S的平行向量场例 4 曲面上的 零向

18、量场 是平行的 例 5 在欧氏平面 上， Levi-Civita 平移就是欧氏平移，内蕴平行切向量 场就是欧氏平行切向量场 例 6 对曲面 S 上的 弧长参数化测地线S，有 DdsT | 0 ，即其单位切向沿自身平行，反之亦然 故测地线亦称为 自平行曲线在一条正则曲线 S 之上可以将点 P0 之处的一个已知的切向量 (v1(P0), v2(P0) 平移成 沿曲线S平行的切向量场 (v1, v2) ，这只要求解Dvl dvl i l duj 1 2 1 2(5.16) dt dt vi ilj dt 0 ，(v1(t), v2(t) t 0 (v1(P0), v2(P0) 由此可知，曲面上的 沿

19、曲线平行的非零切向量场的局部存在性 有保证 归结为常微分方程组关于初值的解的性质注意，曲面上的沿曲线平行的 非零切向量场的大范围存在性并不一定有保证(参见习题及第八章8利用绝对微分的性质以及平行的定义可证下列性质( 留作习题 )性质 2 平移保持线性关系和内积不变 ，即：平行向量场的常系数线 性组合仍然是平行的，平行向量场的逐点内积是常值函数例 7 对 E3中的单位球面，沿其上圆周的 Levi-Civita 平移结果 沿 大圆周 (测地线)的平移沿 公切圆柱面纬圆 的平移结果等 同于 欧氏平移 结果 如图 6-14 所示，沿 半径为 cos 1 的所示圆周 C 作 Levi-Civita 平

20、移不妨沿途规范 r1 r2 1 ，则 a r2P沿 C平移一周 的结果为) r2 P sin( 2 2 ) ，r1P sin( ) r2P cos( ) r1P cos( 2 2同时 r1P沿 C平移一周的结果为r1 P cos( ) r2 P sin() r1 P cos(2) r2 P sin(2作者：王幼宁其中2 cos2 sin ctg进一步可知切向量 r1P cos 0 r2P sin 0沿 C平移一周所形成的结果为r1 P cos( 0 2) r2P sin( 0 2所增加的与自然切基向量的夹角都是 2此即： 沿 C 平移一周所形成的内蕴角差都是) ，用下一段引入的语言表达，2 2

21、 (1 sin ) 五内蕴角差Levi-欧氏空间中的切向量平移是不依赖于路径的，而由上例可说明，Civita 平移通常与路径有关讨论沿小环路的平移所形成的内蕴角差， 给出平移的道路相关性的定量分析标架场 r; r1, r2, n 所对应的 弧长 s 参数化正向简单闭曲线 中曲线 C 的单位切向相对于 续可微单值支满足(1.1) 式单位正交右手标架场 r; 1, 2, nC: ui ui(s) ，可写 T 1 cosu1 坐标曲线族的有向夹角函数 则测地曲率的 Liouville 公式现在改写为1 取自然 沿着一条 2 sin ，其 (s) 可取到连d12? dds1d g ds另一方面，对于沿

22、 可取到相对于 u1 坐标曲线族的有向方向角连续可微单值支(5.17)d D 1 ds 2? ds C 的平行向量场 v 而言， 不妨 设其为 单位 向量场，同样(s) ，使1 2 1 2v(s) 1(u1(s), u2(s) cos (s) 2(u1(s), u2( s) sin (s) ； 则有沿 C 的运算作者：王幼宁从而(5.18)0 Ddsv dsD1ds cosddsD ds1?D1ds cosD2ds sind1 sin dsd2 cos dsD2ds sinD1cosds22 cos2( 1 sin2 cos )d， ds ，D2ds sinds? 1 sin2?(1 sin2 cos2D1ds?再注意到(5.17) 式，得到dg ds沿 C 积分一周，即得(5.19)ddsd( )dsC g ds C dC dC d(5.20) C d C d C g ds 此式右端是内蕴几何量；由此可合理定义内蕴角差如下定义 8 在正则曲面上，给定沿可微的正向小环路C 的平行切向量场v ，其连续可微有向方向角函数的一周总变差 C d，称为切向量 沿正向小环路 C 平移一周所形成的 内蕴角差 ，记为 (C) ；连续可微有向方向 角函