2020-2021学年数学高中人教A版选修2-1课后习题：模块综合测评（B） 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩模块综合测评（b)（时间:120分钟满分:150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知命题p:若=150，则sin =12,则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是(）a。0b。1c.2d。3解析原命题正确,所以逆否命题为真，逆命题和否命题都是假命题，故只有1个为真命题.答案b2.若抛物线y=ax2的焦点坐标为(0，2)，则a的值为()a.18b.14c。8d。4解析抛物线的标准方程为x2=1ay,因为抛物线y=ax2的焦点坐标为(0，2）,所以14a=2,所以a=18，故选a。答案a3。与向量a=（1,3,2)平行的一个向量

2、的坐标是()a.13,1,1b。(1，3,2)c.-12,32,-1d.(2,3，22）解析因为1-12=-332=2-1=2，即a=2-12,32,-1,所以-12,32,-1与a平行.答案c4。已知双曲线c:x2a2-y2b2=1（a0,b0）的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线c的方程为（）a。x2-y23=1b。x23-y2=1c.x23-y2=1d.x2y29=1解析双曲线中,顶点与较近焦点距离为c-a=1.又e=ca=2,两式联立得a=1，c=2,b2=c2-a2=41=3，方程为x2y23=1。答案a5.若命题s:x02,x02-3x0+20,则（)a。s

3、:x2，x2-3x+20b。s:x2,x23x+20c。s:x2,x2-3x+20d。s:x2,x2-3x+20解析原命题s是特称命题，其否定应为全称命题.答案b6.已知三棱锥o-abc，点m,n分别为边ab，oc的中点，p是mn上的点,满足mp=2pn,设oa=a,ob=b,oc=c,则op等于（)a。16a+16b-13cb.16a+13b+16cc。13a+16b+16cd.16a+16b+13c解析om=12(ob+oa),on=12oc,mn=on-om=12(oc-ob-oa).op=om+23mn=16a+16b+13c,故选d。答案d7。双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0

4、)的左右顶点分别为a1,a2,直线x=2a与一条渐近线交于点p,若a1a2|=pa2，则双曲线的离心率为(）a。52b。2c.72d。233解析a1(a,0）,a2（a,0),不妨设点p在渐近线y=bax上,则p（2a,2b）,由a1a2|=|pa2可得4a2=a2+4b2，又b2=c2a2,所以7a2=4c2,e=ca=72.答案c8。在平行六面体abcd-a1b1c1d1中,底面是边长为1的正方形，若a1ab=a1ad=60，且a1a=3，则a1c的长为（）a.5b。22c.14d.17解析因为a1c=a1b1+a1d1+a1a,所以|a1c|2=（a1b1+a1d1+a1a）2=|a1b

5、12+|a1d1|2+a1a2+2（a1b1a1d1+a1b1a1a+a1d1a1a）=1+1+9+2(0+13cos 120+13cos 120）=5，故a1c的长为5.答案a9。若点p是棱长为1的正方体abcda1b1c1d1的底面a1b1c1d1上一点，则papc1的取值范围是(）a.-1,-14b.-12,-14c。1，0d.-12,0解析以d为原点，以da，dc,dd1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系,则a(1,0，0)，c1(0，1,1),设p(x,y,1)(0x1，0y1)。则pa=（1-x,-y,1),pc1=（-x,1-y，0)，于是papc1=x2x+y2-y=

6、x-122+y-122-12.因为0x1,0y1,所以0x-12214,0y-12214，故-12x-122+y-122-120.答案d10。已知点p在抛物线y2=4x上,点a（5,3）,f为该抛物线的焦点,则paf周长的最小值为（）a.9b。10c.11d.12解析由题意，画出图象（见下图),f(1,0),af=(5-1)2+32=5，过a点作准线l的垂线ad交直线l于d,设p到准线的距离为d，则|pf|=d,则paf周长=pf+pa+af=d+|pa|+5,当p、a、d三点共线时，d+|pa取得最小值，paf周长最小为5(1)+5=11。故答案为c.答案c11.已知直线3x-y+6=0经过

7、椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左焦点f1，且与椭圆在第二象限的交点为m,与y轴的交点为n，f2是椭圆的右焦点,且|mn=mf2,则椭圆的方程为（）a。x240+y24=1b。x25+y2=1c.x210+y2=1d。x210+y26=1解析直线3x-y+6=0与x轴、y轴分别交于点(-2,0),(0,6）,因此f1（2,0)，n(0,6）,于是c=2。又因为2a=|mf1|+mf2=mn|+|mf1=|nf1=22+62=210,于是a=10,从而b2=10-4=6，故椭圆方程为x210+y26=1.答案d12。如图，四面体abcd中，ab，bc，bd两两垂直，bc=bd=2，点e是c

8、d的中点，异面直线ad与be所成角的余弦值为1010，则直线be与平面acd所成角的正弦值为()a。23b.23c。223d.13解析以b为原点,bc，bd，ba所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设ab=a,则a（0，0，a）,e（1,1，0),b(0，0,0），c(2,0,0）,d（0，2,0),于是ad=（0，2，a)，be=（1，1,0),则|cos=1010,于是22a2+4=1010,解得a=4或a=4(舍）。这时ac=（2,0,4），ad=(0，2，-4)，设平面acd的法向量为n=（x，y,z)，则2x-4z=0,2y-4z=0,取n=（2，2,1），于是sin =c

9、os|=423=223。答案c二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分）13.已知点m，n分别是空间四面体oabc的边oa和bc的中点,p为线段mn的中点，若op=oa+ob+oc,则实数+=。解析如图，连接on,在omn中，点p是mn中点，则由平行四边形法则得op=12(om+on）=12om+12on=14oa+1212(ob+oc）=14oa+14ob+14oc,+=34.答案3414.已知抛物线c：y2=2px（p0）的焦点为f，准线l与x轴的交点为a，m是抛物线c上的点,且mfx轴。若以af为直径的圆截直线am所得的弦长为2，则p=。解析由题意可得大致图形如下：由y2=2px

10、可得:a-p2,0,fp2,0,mp2,p，由抛物线的对称性可知，取mp2,p与mp2,-p结果一致，不妨令mp2,p，以af为直径的圆的方程为x2+y2=p24;直线am方程为xy+p2=0.设圆心到直线距离为d,则d=p212+12=2p4,直线am被圆截得弦长为2p24-p28=2p=22.答案2215.已知p:x-2mx+m0(m0)，q：x(x-4）0,若p是q的既不充分也不必要条件，则实数m的取值范围是。解析由x-2mx+m0（m0),解得mx2m,由x(x-4)0,解得0x4.若p是q的充分不必要条件,则有-m0,2m0,或-m0,2m4,m0,解得m无解；若p是q的必要不充分条

11、件，则有-m0,或-m0,2m4,m0,解得m2或m2。因此当p是q的既不充分也不必要条件时,实数m的取值范围是（0,2)。答案(0,2)16.椭圆x25+y2m=1的离心率e=155，则m=.解析若0m2.关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根,4m24(2m+3）0,解得1m3。“pq”为假命题,“pq”为真命题p,q恰有一真一假.若“p真q假”,则m2,m-1或m3,即m3;若“p假q真”,则m2,-1m3,即1m2.综上,实数m的取值范围是（1，23,+）。18.（本小题满分12分）如图所示的多面体中,四边形abcd为菱形,ab=2，dab=60，ed面abcd,efdb,ef=

12、1,异面直线af,cd所成角的余弦值为64。（1）求证:面acf面edb;（2）求二面角baf-e的余弦值.(1）证明四边形abcd是菱形,acbd，ed面abcd,ac面abcd,edac,bded=d,ac面ebd,ac面acf，面acf面edb.(2)解四边形abcd是菱形,ab=2，dab=60，db=2，do=1，efdb,ef=1，efdo，ef=do，四边形efod是平行四边形，edfo，ed面abcd，fo面abcd，以o为原点,oa,ob，of分别为x，y，z轴,建立空间直角坐标系，则a（3，0，0），d（0，-1,0）,c(3，0,0)，设f（0，0，t)，则af=(3,0

13、,t），dc=（3,1,0),cos0）的焦点，斜率为22的直线交抛物线于a(x1，y1)，b(x2,y2）（x1x2)两点，且ab=9。(1)求该抛物线的方程;(2）o为坐标原点，c为抛物线上一点,若oc=oa+ob，求的值。解(1）直线ab的方程是y=22x-p2,与y2=2px联立，从而有4x25px+p2=0,所以x1+x2=5p4。由抛物线的定义,得|ab|=x1+x2+p=9,所以p=4。从而抛物线的方程是y2=8x。（2)因为p=4，所以4x25px+p2=0可简化为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4，y1=-22,y2=42,从而a(1，22），b(4,42)。设c(x

14、3，y3)，则oc=(x3，y3）=（1,22）+(4，42）=(4+1,4222）。又y32=8x3,即22（2-1)2=8(4+1),即（21)2=4+1,解得=0或=2.20.(本小题满分12分)如图，在四棱锥pabcd中,平面abcd平面pad，adbc,ab=bc=ap=12ad,adp=30，bad=90，e是pd的中点。(1)证明:pdpb;(2)设ad=2,点m在线段pc上且异面直线bm与ce所成角的余弦值为105,求二面角mabp的余弦值.解（1)证明：平面abcd平面pad，平面abcd平面pad=ad,bad=90,所以abad。由面面垂直的性质定理得ab平面pad,ab

15、pd,在pad中,ap=12ad，adp=30，apd=90，即pdap,pd平面pab，pdpb.(2)以p为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则b(0,1，1)，c32,12,1,e32,0,0,设m32a,12a，a(0a1），则bm=32a,12a-1,a-1，ce=0,-12,-1,cosbm,ce=bmce|bm|ce|=32-54a2a2-3a+252=105,得a=23,bm=33,-23,-13,而ab=(0,0,1），设平面abm的法向量为n=（x,y，z），由nbm=0,nab=0,可得3x-2y-z=0,z=0,令x=2，则n=（2,3,0)，取平面pab的法向量m

16、=(1，0,0），则cosm,n=mn|m|n|=27=277，故二面角mab-p的余弦值为277.21.（本小题满分12分）已知cd是等边三角形abc的ab边上的高,e，f分别是ac和bc边的中点，现将abc沿cd翻折成直二面角adcb.(1）求直线bc与平面def所成角的余弦值；(2)在线段bc上是否存在一点p，使apde？证明你的结论.解（1）以点d为坐标原点，直线db，dc，da分别为x轴，y轴，z轴,建立空间直角坐标系,设等边三角形abc的边长为a，则a0,0,a2，ba2,0,0，c0,32a,0，e0,34a,a4，fa4,34a,0，设平面edf的法向量为n=（x,y，z）,则

17、dfn=0,den=0,即a4x+34ay=0,34ay+az4=0,取n=（3,3，3）。又因为bc=-a2,32a,0，于是cosb0）的左、右焦点分别为f1，f2，上顶点为a,过点a与af2垂直的直线交x轴负半轴于点q,且f1q+f1f2=0,过a，q，f2三点的圆恰好与直线l：x3y-3=0相切.（1）求椭圆c的方程;（2)过右焦点f2作斜率为k的直线l与椭圆c交于m，n两点,问在x轴上是否存在点p(m，0)，使得以pm，pn为邻边的平行四边形是菱形?如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由.解(1)设椭圆c的焦距为2c（c0）,则点f1的坐标为（c,0)，点f2的坐标为(c,

18、0）,设点q的坐标为(x0,0），且x00,如下图所示，f1q=(x0+c,0),f1f2=（2c,0）,f1q+f1f2=0,则x0+c+2c=0,所以，x0=3c，则点q的坐标为（3c，0）,直线af2与直线aq垂直，且点a（0，b),所以,af2=(c,-b），aq=(-3c,b),由af2aq=b23c2=0，得b2=3c2,则b=3c,a=b2+c2=2c.aqf2为直角三角形，且f2q为斜边,线段f2q的中点为f1(c,0)，aqf2的外接圆半径为2c.由题意可知，点f1到直线x-3y3=0的距离为|c+3|2=c+32=2c,所以,c=1,a=2c=2,b=3c=3，因此,椭圆c的方程为x24+y23=1。（2）由题意知,直线l的斜率k0，并设t=1k，则直线l的方程为x=ty+1，设点m（x1,y1),n（x2,y2)。将直线l的方程与椭圆c的方程联立x=ty+1,x24+y23=1,消去x得（3t2+4）y2+6ty9=0