2020-2021学年数学高中北师大版选修2-2课后习题：3.1.2 函数的极值 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩1.2函数的极值课后训练案巩固提升a组1。如图是函数f（x)=x3+bx2+cx+d的大致图像，则x12+x22等于（)a。23b.43c。83d。123解析:函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图像过点（0，0),（1,0），（2，0)，d=0，b+c+1=0,4b+2c+8=0.b=3，c=2.f(x)=3x2+2bx+c=3x2-6x+2，且x1,x2是函数f(x)的两个极值点,即x1，x2是方程3x26x+2=0的两根,x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=443=83.答案:c2。设函数f（x）在r上可导,其导函数为f（x),且函数f（x)在x=-

2、2处取得极小值,则函数y=xf(x)的图像可能是()解析：由函数f(x)在x=2处取得极小值，可知x-2时f（x)0,则xf（x)0;x-2时，f（x）0，则当-2x0时,xf（x）0。答案:c3。已知函数f（x）=x3px2qx的图像与x轴切于点(1，0)，则f（x)有()a。极大值为427,极小值为0b。极大值为0,极小值为427c。极小值为-427，极大值为0d。极大值为-427,极小值为0解析：f(x）=3x22pxq，f(1)=32p-q=0。又f(1）=1p-q=0，由解得p=2，q=1,即f(x）=x3-2x2+x，f（x)=3x24x+1,令3x24x+1=0，解得x1=13,

3、x2=1。当x13时，f(x）0;当13x1时,f（x）0.当x=13时，f（x)有极大值427，当x=1时,f（x)有极小值0.答案：a4.若函数f(x)=sin x-kx存在极值，则实数k的取值范围是（）a.（1,1）b。0,1)c.(1,+）d。(-,-1）解析:f(x）=cos x-k，当k1时，f(x）0,此时f（x）在定义域上是减少的，无极值，当k1时，f(x）0，此时f（x)在定义域上是增加的,也无极值;当1k1时,令f（x）=0，得cos x=k，从而可以确定x的值,使f（x）在定义域内存在极值，因此实数k的取值范围是(-1,1）。答案：a5。若函数f（x）=x36x2+9x-

4、10a有三个零点，则实数a的取值范围是（)a。(-,-10)b。(6，+）c。(-10,6)d。（,-10)(-6，+）解析：令f(x）=0,得x3-6x2+9x10=a,令g(x)=x36x2+9x-10，则g（x）=3x212x+9=3(x1)(x-3)。由g(x）=0，得x=1或x=3.当x1或x3时,g（x)0,g(x)是增加的;当1x3时，g(x)0，g（x）是减少的.所以g（x）的极大值为g(1)=-6,g(x）的极小值为g（3)=-10。作出函数g（x)的大致图像如图所示.函数f（x)有三个零点,即直线y=a与函数g(x)的图像有三个交点,所以-10a-6,故选c.答案：c6.函

5、数f(x)=-ln x+x的极小值等于.解析:f（x)=11x,令f（x）=0，则x=1。当x变化时，f(x）,f（x）的变化情况如下表所示：x（0，1）1（1,+）f（x)-0+f(x）极小值故f(x）的极小值是f(1)=1.答案：17。若函数f(x)=x3+x2ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是。解析：由题意知，f(x)=3x2+2x-a,则f(1）f（1)0），且f(x）9x=0的两根分别为1，4.(1）当a=3且曲线y=f(x）的图像过原点时,求f（x)的解析式;(2)若f(x）在(-,+）内无极值点,求a的取值范围.解(1）由f（x）=a3x3+bx2+

6、cx+d，得f(x)=ax2+2bx+c.f(x）-9x=ax2+2bx+c9x=0的两根为1,4，a+2b+c-9=0,16a+8b+c-36=0,a=3.a=3,b=-3,c=12.又f(x）=a3x3+bx2+cx+d过原点,d=0.f(x)=x33x2+12x。（2）a0,f（x)=a3x3+bx2+cx+d在（,+)内无极值点等价于f（x）=ax2+2bx+c0在(,+）内恒成立.由(1)知a+2b+c-9=0，16a+8b+c36=0，2b=95a,c=4a.f（x)0在（,+）内恒成立，=（2b)2-4ac=(9-5a)216a2=9(a-1）（a-9)0。a1,9,即a的取值范

7、围为1，9.10.导学号88184036已知函数f(x）=xaln x（ar）.（1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点a（1,f(1)处的切线方程。(2)求函数f(x)的极值。解函数f（x)的定义域为（0,+),f(x）=1ax.（1)当a=2时，f（x）=x-2ln x，f(x)=12x(x0)，f(1)=1,f(1）=1.y=f（x）在点a（1,f（1）处的切线方程为y1=（x1)，即x+y2=0。(2)由f（x)=1-ax=x-ax，x0，可知当a0时,f（x）0，函数f(x)在(0，+）上是增加的,函数f（x）无极值。当a0时，由f（x）=0,解得x=a，x(0,a)时，f（x）0,

8、x(a,+)时，f(x）0，f(x）在x=a处取得极小值,且极小值为f（a)=a-aln a，无极大值.综上可知，当a0时,函数f(x）无极值,当a0时，函数f（x)在x=a处取极小值a-aln a，无极大值。b组1.已知函数f(x）=ax3+bx2+c，其导函数图像如图所示，则函数f（x）的极小值是（)a。a+b+cb.8a+4b+cc。3a+2bd.c解析：由导函数的图像可知,f（x)在（-，0)上是减少的，在（0，2)上是增加的,所以f(x)在x=0时取得极小值为c。答案:d2.设函数f（x)=x34x+a,0a2,若f（x）的三个零点为x1，x2,x3,且x1x2x3,则（）a。x11

9、b.x20c.x20d.x32解析:函数f（x）=x34x+a,0a0;在x-233,233上，f(x)0；在x233,+上,f（x)0。f-233是极大值,f233是极小值.又f（x)的三个零点为x1，x2,x3，且x1x2x3,可得x1-233，233x2233，x3233,根据f（0)=a0,且f233=a-1639x20。答案:c3.已知f（x)=x36x2+9x-abc，ab0;f（0）f(1）0；f(0)f(3）0.其中正确的结论序号为。解析：设g（x)=x3-6x2+9x=0，则x1=0,x2=x3=3,其图像如图（1）.图（1）要使f（x)=x3-6x2+9xabc有3个零点，

10、须将g（x）的图像向下平移,如图(2).图（2）又f（x)=3x2-12x+9=0时，x1=1，x2=3，即得f（1)是极大值，f（3)是极小值，所以f（0)f(1)0。答案:4。导学号88184037已知函数f(x)=13x3+12(a1）x2+ax（ar).(1）若f(x)在x=2处取得极值，求f(x）的递增区间.(2)若f(x）在区间（0,1)内有极大值和极小值，求实数a的取值范围。解f(x）=x2+（a-1)x+a（1)因为f（x）在x=2处取得极值，所以f(2)=0.所以4+2（a1)+a=0。所以a=23.所以f(x）=x2-53x-23=x+13（x2).令f（x)0，则x+13（x-2)0，所以x2或x13。所以函数f(x)的递增区间为-,-13,（2，+）。(2)因为f(x)在区间(0,1)内有极大值和极小值,所以f(x)=0在(0,1)内