万有引力与航天重点知识归纳及经典例题练习

1、在两极F=mg，即MmG盲mg ；故纬度越大，重力加速度越大。r指两球心间的距离；一个均匀第五讲万有引力定律重点归纳讲练知识梳理考点一、万有引力定律1. 开普勒行星运动定律(1) 第一定律(轨道定律):所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。_(2) 第二定律(面积定律):对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。(3) 第三定律(周期定律):所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等,达式: k。其中k值与太阳有关，与行星无关。尹k(4) 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转卫星绕行星 旋转时，a

2、 k，但k值不同，k与行星有关，与卫星无关。产k(5) 中学阶段对天体运动的处理办法： 把椭圆近似为园，太阳在圆心；认为V与3不变，行星或卫星做匀速圆周运动;R2 k，R轨道半径。2. 万有引力定律(1)内容：万有引力F与mim2成正比，与r2成反比。(2)公式：f, G叫万有引力常量，G 6.67 10 11N m2 / kg2。r2(3) 适用条件：严格条件为两个质点；两个质量分布均匀的球体, 球体和球外一个质点，r指质点到球心间的距离。(4) 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。3. 万有引力与重力的关系(1)万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力 物体随地球自转

3、所需的向心力f，如图所示。在赤道上，F=F向+mg,即mg G Mm m 2R ；R211由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。(2)物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，G啤R2mgGM ；在地球表面高度为h处:R2Mm2(R h)mghGM ，所以gR2 g，随高度的增加，重力加速度减小。gh 市g考点二、万有引力定律的应用一一求天体质量及密度1. T、r 法：G 処 mr(2 )2rT1，再根据V 4 R3GT233r3，当 r=R 时,gt2r33GT22. g、R 法：GR2mgR2g，再根据GR3,3g4 GR2Vm -r2 rvG2Mm v 小 Mm2

4、、24. v、T 法：Gm ,G 2 mr（） r r rT考点三、星体表面及某高度处的重力加速度v3T1、星球表面处的重力加速度：在忽略星球自转时，万有引力近似等于重力，则MmG2 mgRGM。R2注意：R指星球半径。2、距星球表面某高度处的重力加速度:MmG(R h)2mghgh耳，或gh(R h)R2。2 g(R h)注意：卫星绕星球做匀速圆周运动，此时的向心加速度GM ，即向心加速度与重力加速度相等。（R h）2考点四、天体或卫星的运动参数 我们把卫星（天体）绕同一中心天体所做的运动看成匀速圆周运动，所需要的向心力由万有引力提供,MmG jmanr2Vm-rmrmr（4_l），就可以求

5、出卫星（天体）圆周运动的有关参数:1、线速度:Mm Gv mrGMr2、角速度：gM mr 2r2GM3r3rr34、向心加速度：GMm mar22 mr（）规律：当r变大时，“三小”考点五、地球同步卫星对于地球同步卫星，要理解其特点，记住一些重要数据。总结同步卫星的以下“七个一定”轨道平面一定：与赤道共面。周期一定：T=24h，与地球自转周期相同。角速度一定：与地球自转角速度相同。绕行方向一定：与地球自转方向一致。4 2h）尹,GM1、2、3、4、5、6、7、2 GM（v变小，3变小,an变小）“一大” （T变大）。GMT r高度一定：由Gm（R线速度大小一定:向心加速度一定:夕 m(R h

6、)2MmG(R h)2V m(R h)2,GMMmman, GM考点六、宇宙速度1、对三种宇宙速度的认识：第一宇宙速度一一人造卫星近地环绕速度。第一宇宙速度的算法：法一：由g啤mV2r rv GM , r=R+h ,gR2gR2gRan大小得：V1=7.9km/s。法二：忽略地球自转时,2Vmg m RGMV R hR 36gR2R hgR22GM(R h)2 (R h)V1=7.9km/s。而近地卫星 h=0， r=R，万有引力近似等于重力， 则mgv gR ,代入数据可算得：V1=7.9km/s。对于其他星球的第一宇宙速度可参照以上两法计算。 落体运动；竖直上抛运动；平抛运动；单摆（2）第

7、二宇宙速度一一脱离速度。107m 6R2。3O3.1 103m/s0.23m/s2则GMmGW2 v GM，代入数据可算RR2Vm rgr，同理r=R+h，而近地卫星 h=0, r=R，计算重力加速度时一般与以下运动结合：自由大小V2=11.2km/s，是使物体脱离地球吸引，成为绕太阳运行的行星的最小发射速度。 （3）第三宇宙速度一一逃逸速度。大小V3=16.7km/s，是使物体脱离逃逸引力吸引束缚的最小发射速度。2、环绕（运行）速度与发射速度的区别：三种宇宙速度都是发射速度，环绕速度是指卫星绕地球做匀速圆周运动时的线速度大小；轨道越高,环绕速度越小，所需的发射速度越大，所以第一宇宙速度时指最

8、大环绕速度，最小发射速度。 考点七 卫星变轨问题人造卫星发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论：一、变轨原理及过程1、 为了节约能量，卫星在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆形轨道1上。2、在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供轨道上做圆周运动的向心 力，卫星做离心运动进入轨道 2。3、 在B点（远地点）再次点火进入轨道3。二、一些物理量的定性分析1、 速度：设卫星在园轨道 1和3运行时速率为VI、V3，在A点、B点速率为VA、VB。在A点加速，则VA V1,在B点加速，则V3 VB,又因V1 V3,故有VA V1 V3 VB。2、 加速度：因为在 A点，卫星只受到

9、万有引力作用，故不论从轨道1还是轨道2经过A点，卫星的加速 度都相同，同理，经过 B点加速度也相同。3、周期：设卫星在1、2、3轨道上运行周期分别为、T2、T3。轨道半径分别为1、2 （半长轴）、3,由3开普勒第三定律JL k可知，Tk T2 v T3。2、从能量角度分析变轨问题的方法 把椭圆轨道按平均半径考虑，根据轨道半径越大，卫星的机械能越大，卫星在各轨道之间变轨的话，若从 低轨道进入高轨道，则能量增加，需要加速；若从高轨道进入低轨道，则能量减少，需要减速。四、从向心力的角度分析变轨问题的方法当万有引力恰好提供卫星所需向心力时，即GMm mS时，卫星做匀速圆周运动。R两颗星的周期及角速度都

10、相同，即： 两颗星的半径与它们之间距离关系为: 补充一些需要用到的知识：1、卫星的分类:卫星根据轨道平面分类可分为：赤道平面轨道（轨道在赤道平面内）经过南北两极）；任意轨道（与赤道平面的夹角在0o90o之间）。但轨道平面都经过地心。卫星根据离地高度分类可分为：近地卫星（在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，可认为h=0 ,r=R）;任意高度卫星（离开地面一定高度运行的卫星，轨道半径r=R+h , R指地球半径，h指卫星离地高度，其中同步卫星是一个它的一个特例）。轨道平面都经过地心。R2若速度突然增大时,若速度突然减小时,G Mm m_V，万有引力小于向心力，做离心运动，则卫星轨道半径变大。

11、R2R2G Mm m_V，万有引力大于向心力，做近心运动，则卫星轨道半径变小。R2 R考点八双星问题被相互引力系在一起，互相绕转的两颗星就叫物理双星。双星是绕公共重心转动的一对恒星。如图所 示双星系统具有以下三个特点：1、各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即:Gm)1 m2L22m1 11Gm1m2L2m22T1 =T 2, w1= 2 ；门+2=L。;极地轨道（卫星运行时每圈都2、人造卫星的机械能：E=Ek+Ep （机械能为动能和引力势能之和），动能Ek引力势能由轨道半径（离地高度）决定，r增大，动能减小，引力势能增大，但-mv2，由运行速度决定;2Ep Ek，所以卫星的机械能随着

12、轨道半径（离地高度）增大而增大。3、人造卫星的两个速度：发射速度：在地球表面将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度，发射时所具有的动能要包括送入预定轨道的动能和引力势能之和，即机械能，所以r增大，发射速度增大； 环绕（运行）速度：卫星在轨道上绕地球做匀速圆周运动所具有的速度，GMm mv v GM，r增r2 r Yr大时，环绕速度减小。4、 推导并记住近地卫星的几个物理量的公式和数值：近地卫星指在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，可认为h=0，r=R。运行速度：GMm mv2 v戶莎 硕7 9km/s，它是所有卫星的最大运行速度（因为h=0,无需增大引力RRr.势能，故发射速度等于

13、运行速度，所以这个速度又是所有卫星的最小发射速度）；角速度：G mr 2r2GM , r=R, GM , r最小，它的角速度在所有卫星中最大。（无需记数值）周期：g-mr(?)22r3 , r=R, GMT 2 R 85min =5100s, r最小，它的周期在所有卫星中最小。 GM向心加速度:maGM2 rr=R，an空 a 98m/s2，r最小，它的向心加速度在所有卫R2 y 星中最大。5、卫星的追击问题：由 Mm 22由G戸mr（）2 T 2绕中心天体的半径越大， 再次相遇的时间满足 _tr3知，GMT越大。t同一轨道上的两颗卫星，周期T相同，后面的不可能追上前面的。卫星同一半径方向不同

14、轨道的两颗卫星（设周期分别为 1，或 BA 2。、T2，且 T1 T2）r3R3Tb Ta6、万有引力与航天知识要注意模型：把天体都看成质点；把天体的运动在没有特殊说明时都看成匀速圆周运动； 常见的匀速圆周运动模型分三种：核星模型（中心天体不动，行星或卫星绕中心天体运动）；双星模型（两颗星绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动）；三星模型（三颗星组成稳定的系统，做匀速圆周运动，三颗星一般组成正三角形或在一条直线上）。7、估算问题的思维与解答方法：估算问题首先要找到依据的物理概念或物理规律（这是关键）；运用物理方法或近似计算方法，对物理量的数值或取值范围进行大致的推算；估算题常常要利用一些隐含条件

15、或生活中的常识。如：在地球 表面受到的万有引力等于重力；地球表面附近的重力加速度g=9.8m/s2;地球自转周期 T=24h，公转周期To=365天；月球绕地球公转周期约为27天；近地卫星周期为 85分钟；日地距离约1.5亿千米；月地距离约38亿千米；同步卫星、近地卫星的数据等。8、物体随地球自转的向心加速度与环绕地球运行的公转向心加速度：物体随地球自转的向心加速度由地球对物体的万有引力的一个分力提供，计算公式为：ai2 Ro(*)2r，式中T为地球自转周期,Ro为地表物体到地轴的距离;卫星环绕地球运行的向心加速度所需的向心力由地球对它的全部万有引力提供，计算公式为:G Mm ma a GM，

16、式中M为地球质量，r为卫星与地心的距离。2nn2rr例题讲解【例1】甲、乙两颗人造地球卫星，质量相等，它们的轨道都是圆，若甲的运动周期比乙小, 则（ ）A 甲距地面的高度比乙小B 甲的加速度一定比乙小I例2】A、B两颗行星，质量之比MaC 甲的加速度一定比乙大D 甲的速度一定比乙大p，半径之比RA q，则两行星表面的重力加速度之比为（）A. B. pq2 C. qD. pq【例3】如图1-4-1所示，在同一轨道平面上，有绕地球做匀速圆周运动的卫星A、B、C某时刻在同一条直线上，则（）A. 经过一段时间，它们将同时回到原位置B. 卫星C受到的向心力最小C. 卫星B的周期比C小D. 卫星A的角速度

17、最大【例4】人造卫星离地球表面距离等于地球半径R,卫星以速度 v沿圆轨道运动，设地面上的重力加速度为9，则（）A. v 4gR B. v 2gR C. v . gR D. v gR 2【例5】地球公转的轨道半径是 R,周期是，月球绕地球运转的轨道半径是 F2，周期是T2,则太阳质量与地球质量之比是（）A.R&32R2 T2B.R；T32R2T1C.R12T22 2R2T1D.rH23R2 T2【例6】土星外层上有一个环。为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中 各层的线速度a与该I层到土星中心的距离R之间的关系来判断：（）A 若v*R,则该层是土星的一部分；B 若v2*R,则该层

18、是土星的卫星群C若v*l/ R,则该层是土星的一部分D .若v2*l/ R,该层是土星的卫星群【例7】火星与地球的质量之比为 P,半径之比为q,则火星表面的重力加速度和地球表面的 重力加速度之比为（）【例8】地球表面处的重力加速度为g,则在距地面高度等于地球半径处的重力加速度为（）A. gB. g/2C. g/4 D. 2g【例9】人造地球卫星绕地心为圆心，做匀速圆周运动，下列说法正确的是 （）A. 半径越大，速度越小，周期越小B. 半径越大，速度越小，周期越大C. 所有卫星的速度均相同，与半径无关D. 所有卫星的角速度均相同，与半径无关巩固练习1关于第一宇宙速度，下列说法不正确的是 ()A.

19、 它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度B. 它等于人造地球卫星在近地圆形轨道上的运行速度C. 它是能使卫星在近地轨道运动的最小发射速度D. 它是卫星在椭圆轨道上运动时的近地点速度2、下述实验中，可在运行的太空舱里进行的是()A用弹簧秤测物体受的重力B 用天平测物体质量北C 用测力计测力D 用温度计测舱内温度3如图所示的三个人造地球卫星，则说法正确的是() 卫星可能的轨道为 a b、c 卫星可能的轨道为a、c 同步卫星可能的轨道为 a、c同步卫星可能的轨道为A .是对的B .是对的C .是对的D .是对的4.同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1,加速度为al,地球赤道上物体随地球自转的向心加速

20、度为a2第一宇宙速度为v2,地球半径为巳则()A. a1/a2=r/RB. a1/a2=R2/r2C. v1/v2=R2/r2D. v1/v2 R/r5关于人造地球卫星及其中物体的超重和失重问题，下列说法正确的是 () 在发射过程中向上加速时产生超重现象 在降落过程中向下减速时产生失重现象 进入轨道时作匀速圆周运动，产生失重现象 失重是由于地球对卫星内物体的作用力减小而引起的A. B.C.D.h处平抛一物体，射( )6、某天体的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高 程为L，则在该天体上，从同样高处以同样速度平抛同一物体，其射程为:A . L/6B . L/4C. 3L/2D. 6L7、人造地球卫星所受的向心力与轨道半径r的关系，下列说法中正确的是 ()F二G缪A. 由可知，向心力与r2成反比F -m B. 由 厂可知，向心力与r