1-2 复平面上的点集

1、第二节 复平面上的点集 一、平面点集的几个概念 二、区域与若尔当(Jordan)曲线 三、典型例题 四、小结与思考 2 一、平面点集的几个基本概念一、平面点集的几个基本概念 定义定义1.1 邻域邻域 .)(N 0 ;)(N )( , ) ( 00 00 00 0 0 zz zzz zz z zz 领领域域，常常记记为为的的去去心心为为并并称称 领领域域，常常记记为为的的径径的的圆圆，称称为为点点 为为半半任任意意的的正正数数为为中中心心，就就是是以以称称点点集集 简简所所确确定定的的平平面面点点集集由由不不等等式式 3 定义定义1.2 聚点、外点、孤立点聚点、外点、孤立点 . , , ), (

2、 , 0 0 0 EEz EzE zE 全全体体聚聚点点集集记记作作的的聚聚点点称称为为那那末末多多点点 的的无无穷穷都都有有的的任任意意一一个个邻邻域域如如果果对对必必属属于于 不不复复平平面面中中任任意意一一点点为为为为一一平平面面点点集集设设 如果如果z0属于属于E , 但但不是不是E 的聚点，则称的聚点，则称z0为为E的孤立点的孤立点. . 如果如果z0不属于不属于E ,又又不是不是E 的聚点，则称的聚点，则称z0为为E的外点的外点. . z0为为E的孤立点的孤立点 0: N (z0)E=z0 z0为为E的外点的外点 0: N (z0)E= 4 定义定义1.3 闭集、内点、开集、边界点

3、闭集、内点、开集、边界点 . 0 0 的的内内点点称称为为 内内，则则称称有有一一领领域域全全含含于于的的点点为为闭闭集集；若若点点集集 ，则则称称，即即的的每每个个聚聚点点皆皆属属于于若若点点集集 Ez EzE EEEE 如果如果E E 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末E E 称为称为 开集开集. . 如果在如果在z z0 0的任意一个邻域内的任意一个邻域内, ,都有都有属于属于E E 的点的点, , 也有也有不属于不属于E E 的点的点, ,则称则称z z0 0为为E E 的的边界点边界点。 z0为为E E 的内点的内点 0: N (z0)E 点集点集E E的全体边界

4、组成的集合称为的全体边界组成的集合称为E E的边界的边界. .记为记为 E E. . 5 定义定义1.4 有界集和无界集有界集和无界集 . , , 0, , 否否则则称称为为无无界界的的称称为为有有界界的的那那末末足足 使使区区域域的的每每一一个个点点都都满满即即存存在在心心的的圆圆里里面面 点点为为中中可可以以被被包包含含在在一一个个以以原原如如果果一一个个 EMz M E 点集 x y 有界！有界！ o 6 二、区域与若尔当二、区域与若尔当(Jordan)曲线曲线 定义定义1.5 区域区域 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, ,则称则称 它为一个区域它为一个区域.

5、 . (1) D是一个是一个开集开集； (2) D是是连通的连通的, ,就是说就是说D中任何两点中任何两点 都可以用都可以用D中的一条折线连结起来中的一条折线连结起来. D加上加上D的边界称为闭域。记为的边界称为闭域。记为 DD+ D z1 z2 D 定义定义1.6 闭域闭域 7 说明说明 (2) 区域的边界可能是区域的边界可能是 由几条曲线和一些孤立由几条曲线和一些孤立 的点所组成的的点所组成的. z 1 C 2 C 3 C z 1 C 2 C 3 C (1) 区域都是开的区域都是开的. 以上基以上基 本概念本概念 的图示的图示 1 z 2 z 区域区域 0 z 邻域邻域 P 边界点边界点

6、边界边界 不包含边界！不包含边界！ 8 (1) 圆环域圆环域:; 201 rzzr 0 z 2 r 1 r 课堂练习课堂练习 判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界? (2) 上半平面上半平面:; 0Im z (3) 角形域角形域:;arg0 z (4) 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界. x y o 9 定义定义1.7 连续曲线连续曲线 . , )( ),( , )( , )( )( 称称为为连连续续曲曲线线表表一一条条平平面面曲曲线线 代代那那末末方方程程组组 是是两两个个连连续续的的实实变变函函数数和和如如果果 ttyytxx tyt

7、x 平面曲线平面曲线C的复数表示的复数表示: )().()()( ttiytxtzz C的实参数方程的实参数方程 C的的复复参数方程参数方程 起点起点z( ) C终点终点z( ) z x y C C的正向：起点的正向：起点终点终点 o 10 简单曲线简单曲线 . )( )( , )()( : 的起点和终点的起点和终点分别称为分别称为与与 为一条连续曲线为一条连续曲线设设 Cbzaz btatzzC . )( , )()( , , 121 212121 的重点的重点称为曲线称为曲线点点时时而有而有 当当与与的的对于满足对于满足 Ctztztz ttttbtabta 没有重点的曲线没有重点的曲线

8、C 称为简单曲线称为简单曲线( (或若尔当曲线或若尔当曲线).). . , )( )( , 为简单闭曲线为简单闭曲线那末称那末称 即即的起点和终点重合的起点和终点重合如果简单曲线如果简单曲线 C bzazC 换句话说换句话说, 简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交. 简单闭曲线简单闭曲线 11 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质约当定理约当定理 任意一条简单闭曲任意一条简单闭曲 线线 C C 将复平面唯一地分将复平面唯一地分 成成C C, ,I I( (C C), ),E E( (C C) ) 三个互不相三个互不相 交的点集交的点集. .满足：满足： x y o I(C) E(C) 边界边界 （

9、1）I I( (C C) ) 是一个有界区域是一个有界区域 （称为（称为C C的内部）的内部）. . （2）E E( (C C) ) 是一个无界区域（称为是一个无界区域（称为C C的外部）的外部）. . （3）若简单折线）若简单折线P的一个端点属于的一个端点属于I(C)，另一个，另一个 端点属于端点属于E(C) ，则，则P必与必与C相交相交. . （4）C是是I(C)，E(C) 的公共边界的公共边界. . 12 定义定义1.9 光滑曲线光滑曲线 . 0, )( )( , , )( )( , 22 称这曲线为光滑的称这曲线为光滑的 那末那末有有的每一个值的每一个值且对于且对于 都是连续的都是连续

10、的和和上上如果在如果在 tytxt tytxbta 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为逐段光滑曲线称为逐段光滑曲线. . x y o x y o 定义定义1.10 逐段光滑曲线逐段光滑曲线 特点：特点：（1）光滑曲线上的各点都有切线；光滑曲线上的各点都有切线； （2）光滑曲线可以求长光滑曲线可以求长 13 课堂练习课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线? 答答 案案 简简 单单 闭闭 简简 单单 不不 闭闭 不不 简简 单单 闭闭 不不 简简 单单 不不 闭闭 )(az)(bz )(az )(bz )(az)(bz )(az

11、)(bz 14 定义定义1.11 单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域D, 如果在其中任作如果在其中任作 一条简单闭曲线一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于D, 就称就称 为单连通域为单连通域. 一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域, 就称就称 为多连通域为多连通域. 单连通域单连通域多连通域多连通域 15 三、典型例题三、典型例题 例例1 1 指明下列不等式所确定的区域指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是有界的还 是无界的是无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的. ; 411)4( ; 3 1 )

12、3(; 3 arg)2(; 1)Re()1( 2 zz z zz 解解 , )1(时时当当iyxz ,)Re( 222 yxz , 11)Re( 222 yxz 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图). 16 3 arg)2( z , 3 arg 33 arg zz 是角形域是角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图). 3 1 )3( z , 3 1 3 1 z z , 3 1 , 的圆的外部的圆的外部 半径为半径为是以原点为中心是以原点为中心 无界的多连通域无界的多连通域. 17 411)4( zz 表示到表示到1, 1的距离之的距离之 和为定值和为定值4的点的轨迹的点的轨迹,

13、是椭圆是椭圆, 411 zz ,411表示该椭圆内部表示该椭圆内部 zz 有界的单连通域有界的单连通域. 18 例例2 2 解解 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么, 如果是区域如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域? , 3Im)1( z 是一条平行于实轴的直线是一条平行于实轴的直线, -3-2-1123 x 1 2 3 4 5 6 y 不是区域不是区域. , 2Re)2( z ), 2Re ( 2Re z z 不包括直线不包括直线 为左界的半平面为左界的半平面以以 单连通域单连通域. 19 , 210)3( iz , 2 , )1( 的去心圆盘的去

14、心圆盘 为半径为半径为圆心为圆心以以i 是多连通域是多连通域. , 4 )arg()4( iz ), ( 1 , i i 不不包包括括端端点点 的的半半射射线线斜斜率率为为为为端端点点以以 不是区域不是区域. 20 , 4 arg0)5( iz iz , 时时当当iyxz iz iz , )1( 2 )1( 1 2222 22 yx x i yx yx 4 arg0 知知由由 iz iz 0, )1( 1 22 22 yx yx 0, )1( 2 22 yx x 21 , 0)1( 22 yx因因为为 ,21 , 01 , 02 22 22 xyx yx x 于于是是 . 2)1( , 0 2

15、2 yx x , 2)1( 22 集集部且属于左半平面的点部且属于左半平面的点 的外的外表示在圆表示在圆 yx 单连通域单连通域. 22 四、小结与思考四、小结与思考 应理解区域的有关概念应理解区域的有关概念: 邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、 区域、有界区域、无界区域区域、有界区域、无界区域 理解单连通域与多连通域理解单连通域与多连通域. 放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. . 第三节 复变函数 一、复变函数的概念 二、复变函数的极限与连续性 三、典型例题 四、小结与思考 24 一、复变函数的定义一、复变函数的定义 ).( ),

16、 ( , , , , . zfw zw ivuwz G iyxzG 记作记作复变函数复变函数 简称简称的函数的函数是复变数是复变数那末称复变数那末称复变数之对应之对应 与与就有一个或几个复数就有一个或几个复数每一个复数每一个复数 中的中的对于集合对于集合按这个法则按这个法则个确定的法则存在个确定的法则存在 如果有一如果有一的集合的集合是一个复数是一个复数设设 1.复变函数的定义复变函数的定义: 25 2.单单(多多)值函数的定义值函数的定义: . )( , 是单值的是单值的我们称函数我们称函数 那末那末的值的值的一个值对应着一个的一个值对应着一个如果如果 zf wz . )( , 是多值的是多

17、值的那末我们称函数那末我们称函数的值的值 两个以上两个以上的一个值对应着两个或的一个值对应着两个或如果如果 zfw z 3.定义集合和函数值集合定义集合和函数值集合: ; )( )( 定定义义域域的的定定义义集集合合称称为为集集合合zfG . )( , * 值域值域称为函数值集合称为函数值集合 值所成的集合值所成的集合的一切的一切中所有中所有对应于对应于GwzG 26 4. 复变函数与自变量之间的关系复变函数与自变量之间的关系: : )( 相相当当于于两两个个关关系系式式 之之间间的的关关系系自自变变量量与与复复变变函函数数zfwzw ),(),(yxvvyxuu . 的的两两个个二二元元实实

18、变变函函数数和和它它们们确确定定了了自自变变量量为为yx 例如例如, , , 2 zw 函函数数, ivuwiyxz 令令 2 )( iyxivu 则则,2 22 xyiyx : 2 数数对应于两个二元实变函对应于两个二元实变函于是函数于是函数zw , 22 yxu .2xyv 27 映射的概念映射的概念 1. 引入引入: . , , , , 的的点点集集之之间间的的对对应应关关系系 上上必必须须看看成成是是两两个个复复平平面面的的几几何何图图形形表表示示出出来来 因因而而无无法法用用同同一一平平面面内内之之间间的的对对应应关关系系和和 由由于于它它反反映映了了两两对对变变量量对对于于复复变变

19、函函数数 yx vu 28 2.映射的定义映射的定义: ).( )( * )( )( , , 或变换或变换 的映射的映射函数值集合函数值集合平面上的一个点集平面上的一个点集 变到变到定义集合定义集合平面上的一个点集平面上的一个点集是把是把 在几何上就可以看作在几何上就可以看作那末函数那末函数值值 的的平面上的点表示函数平面上的点表示函数而用另一个平面而用另一个平面 的值的值平面上的点表示自变量平面上的点表示自变量如果用如果用 Gw Gz zfw ww zz 29 . ),( , * )( 的原象的原象 称为称为而而映象映象的象的象称为称为那末那末中的点中的点 映射成映射成被映射被映射中的点中的

20、点如果如果 wzzww GzfwzG . )( 所构成的映射所构成的映射 函数函数这个映射通常简称为由这个映射通常简称为由zfw 30 . )1(构构成成的的映映射射函函数数zw x y o u v o iz32 1 iw32 1 iz21 2 iw21 2 AB C A B C , 11 wz , 22 wz .CBAABC 3. 两个特殊的映射两个特殊的映射: . ibaw wibazz 的的点点 平平面面上上映映射射成成平平面面上上的的点点将将 31 x y o u v o iz32 1 iw32 1 iz21 2 iw21 2 AB C A B C , 11 wz , 22 wz .C

21、BAABC . , 映射映射是关于实轴的一个对称是关于实轴的一个对称 不难看出不难看出重叠在一起重叠在一起 平面平面平面和平面和如果把如果把 zw wz o 1 w 2 w 1 z 2 z 且是全同图形且是全同图形. 32 . )2( 2 构构成成的的映映射射函函数数zw . 1 ,43, 1 1,21, 321 321 wiwww zizizz 平面上的点平面上的点映射成映射成 平面上的点平面上的点显然将显然将 x y o u v o 1 z 2 z 2 w 3 w1 w 3 z 33 . )2( 2 构构成成的的映映射射函函数数zw 根据复数的乘法公式可知根据复数的乘法公式可知, . 2

22、的辐角增大一倍的辐角增大一倍将将映射映射zzw x y o u v o 2 . 2 的的角角形形域域平平面面上上与与实实轴轴交交角角为为 的的角角形形域域映映射射成成平平面面上上与与实实轴轴交交角角为为将将 wz 34 . )2( 2 构构成成的的映映射射函函数数zw : 2 数数对对应应于于两两个个二二元元实实变变函函函函数数zw .2, 22 xyvyxu ,2, 21 22 cxycyx xyz 曲曲线线标标轴轴为为渐渐近近线线的的等等轴轴双双 和和坐坐线线平平面面上上的的两两族族分分别别以以直直它它把把 (如下页图如下页图)., 21 cvcu w 平面上的两族平行直线平面上的两族平行

23、直线分别映射成分别映射成 35 . )2( 2 构构成成的的映映射射函函数数zw 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中将第一图中两块阴影部分映射成第二图中 同一个长方形同一个长方形. x y o u v o 36 4. 反函数的定义反函数的定义: .)( * , * , )( 点点或或几几个个中中的的一一个个必必将将对对应应着着每每一一个个点点 中中的的那那末末平平面面上上的的集集合合函函数数值值集集合合为为 平平面面上上的的集集合合的的定定义义集集合合为为设设 Gw GGw Gzzfw . )( , )( ),()( )( * 1 的逆映射的逆映射也称为映射也称为映射数数 的反函的反函它称为

24、函数它称为函数 函数函数或多值或多值上就确定了一个单值上就确定了一个单值于是在于是在 zfw zfwwfwz G 37 根据反函数的定义根据反函数的定义, *,Gw ),(wfw 当反函数为单值函数时当反函数为单值函数时, .),(Gzzfz . * . )() ( ,)( )( )( )( 是是一一一一对对应应的的合合 与与集集也也可可称称集集合合是是一一一一对对应应的的射射 映映那那末末称称函函数数都都是是单单值值的的逆逆映映射射 与与它它的的反反函函数数映映射射如如果果函函数数 G Gzfw wz zfw 今后不再区别函数与映射今后不再区别函数与映射. 38 二、复变函数的极限与连续性二

25、、复变函数的极限与连续性 1.函数极限的定义函数极限的定义 . )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0 0 0 0 时时的的极极限限趋趋向向于于当当为为那那末末称称 有有时时使使得得当当 相相应应地地必必有有一一正正数数对对于于任任意意给给定定的的 存存在在如如果果有有一一确确定定的的数数内内 的的去去心心邻邻域域定定义义在在设设函函数数 zzzfA Azfzz Azz zzfw )( .)(lim 0 0 AzfAzf zz zz 或或记记作作 注意注意: : . 0 的的方方式式是是任任意意的的定定义义中中zz 39 2. 极限计算的定理极限计算的定理 定理定理1.2 .

26、),(lim,),(lim )(lim , ),(),()( 00 00 000 0 0 0 0 0 vyxvuyxu ivuzf Eiyxz yxivyxuzf yy xx yy xx Ez zz 的的充充要要条条件件是是 则则的的聚聚点点为为定定义义， 上上有有于于点点集集函函数数设设 说明说明 . ),( ),( , ),(),()( 的的极极限限问问题题和和 函函数数转转化化为为求求两两个个二二元元实实变变的的极极限限问问题题 该该定定理理将将求求复复变变函函数数 yxv yxu yxivyxuzf 40 证证 ,)(lim 0 Azf zz 如如果果 根据极限的定义根据极限的定义 ,

27、 0 0 时时当当 zz ,)()( 00 ivuivu (1) 必要性必要性. , )()(0 2 0 2 0 时时或或当当 yyxx ,)()( 00 vviuu, , 00 vvuu .),(lim,),(lim 00 0 0 0 0 vyxvuyxu yy xx yy xx 故故 0, 0 ,)( Azf 41 ,),(lim,),(lim 00 0 0 0 0 vyxvuyxu yy xx yy xx 若若 , )()(0 2 0 2 0 时时当当 yyxx (2) 充分性充分性. , 2 , 2 00 vvuu有有 )()()( 00 vviuuAzf 00 vvuu , 0 0

28、时时故故当当 zz,)( Azf .)(lim 0 Azf zz 所所以以证毕证毕 0, 0 42 定理定理 ).0( )( )( lim (3) ;)()(lim (2) ;)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 0 0 0 00 B B A zg zf ABzgzf BAzgzf BzgAzf zz zz zz zzzz 那末那末设设 与实变函数的极限运算法则类似与实变函数的极限运算法则类似. 43 3. 连续的定义连续的定义 )()(lim )( 0 0 0 0 zfzf Ez EzEzf Ez zz ，若，若且且 的聚点，的聚点，为为上有定义，上有定义，于点集于点集设函数设

29、函数 连续的连续的 三要素三要素: （1） f(z)在在z0处有定义处有定义 （2）f(z)在在z0处有极限处有极限 （3）f(z)在在z0处的极限值等于函数值处的极限值等于函数值 . )( )()( , 0 0 0 0 0 连续连续于于沿沿则称则称 就有就有，只要只要，有有，即对任给的即对任给的 zEzf zfzf Ezzz 44 4. 连续函数的性质连续函数的性质 . ) ( )( )( (1) 00 0 处仍连续处仍连续在在不为零不为零分母在分母在积、商积、商 的和、差、的和、差、和和连续的两个函数连续的两个函数在在 zz zgzfz . )( , )( )( , )( (2) 000

30、0 处处连连续续在在那那末末复复合合函函数数连连续续 在在函函数数连连续续在在如如果果函函数数 zzgfwzgh hfwzzgh 定理定理1.3 . ) ,( ),( ),( : ),(),()( 00 000 处连续处连续 在在和和连续的充要条件是连续的充要条件是 在在函数函数 yxyxvyxu iyxzyxivyxuzf 45 例如例如),()ln()( 2222 yxiyxzf , )ln(),( 22 处连续处连续 在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处yxyxu . ),( 处处连连续续在在复复平平面面内内除除原原点点外外处处故故yxf . , )()(lim )( 0 0 0 C

31、zzfzf zCzf zz 处连续的意义是处连续的意义是上上在曲线在曲线函数函数 ( ) ( )( , ( ) . f zE ff zCEEz 如如果果在在内内处处处处连连续续 我我们们说说 在在内内连连续续 记记为为： 46 例例1.26 设设 1 ( ) 0, 2 zz f zz izz 证证1 11()() ( ) = 22 zx iy zzzzzz f z izzizz 2222 1222 2 xiyxy ixyxy 22 ( , )0 2 lim x y xy xy 不不存存在在 0 1 lim 2 z zz izz 不不存存在在 证证2（书）（书） 试证：试证： 在原点无极限，从而

32、在原点不连续在原点无极限，从而在原点不连续 )(zf 47 5. 有界闭集上连续函数的性质有界闭集上连续函数的性质 定理1.7 设E是有界闭集，是有界闭集，f(z)C(E),则有：则有： （1） f(z)在在E上有界：上有界： M0 z E |f(z)|M （2） |f(z)|在在E上有最值上有最值. 即：即： z1, z2 E z E |f(z)|f(z2)| （3） f(z)在在E上一致连续上一致连续.即即 0, 0 当当z1, z2 E且且|z1- z2| 有有|f(z1)-f(z2)| 48 6 复变函数的极限性质 定理定理1(Bolzano-Weiestrass聚点定理聚点定理) 每

33、一个每一个 有界无穷点集至少有一个聚点。有界无穷点集至少有一个聚点。 定理定理2(闭集套定理闭集套定理) ., 2 , 1, 0)(lim , 0 1 nFzFd FFF nn n nnn 则必有唯一点 至少一个有界，且设有无穷闭集列 定理定理3(Heine-Borel有限覆盖定理有限覆盖定理) 限个圆中一个。的每一点至少属于这有说， 盖住，也就是中必有有限个圆把这些圆 则的圆心都是圆的每一点设有有界闭集 E EK KzE z z , 49 解解 三、典型例题三、典型例题 例例1 1 : 2 上上的的象象 平平面面下下求求下下列列平平面面点点集集在在在在映映射射wzw ; 4 , 20 )1(

34、 r线线段段 , , i i ew rez 设设 ,2, 2 r则则 , 2 , 40 4 , 20 映射为映射为故线段故线段r 还是线段还是线段. x y o u v o 2 zw 50 例例1 1 : 2 上上的的象象 平平面面下下求求下下列列平平面面点点集集在在在在映映射射wzw ; 4 )2( 22 yx双曲线双曲线 , ivuwiyxz 令令 ivu 则则,2 22 xyiyx , 22 yxu 解解 , 4 4 22 u yx . 轴轴的的直直线线平平行行于于v x y o 2 zw u v o22 4 51 例例1 1 : 2 上上的的象象 平平面面下下求求下下列列平平面面点点集集在在在在映映射射wzw 解解 . 20 , 4 0 )3( r 扇扇形形域域 , , ii ewrez 设设,2, 2 r则则 , 40, 2 0 映射为映射为 故扇形域故扇形域 20 , 4 0 r 2 zw 仍是扇形域仍是