2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第10章 10.1.2　复数的几何意义 Word版含解析

1、10.1.2复数的几何意义学 习 目 标核 心 素 养1.了解复平面、实轴、虚轴、共轭复数等概念(易混点)2掌握复数的几何意义，并能适当应用(重点、易混点)3掌握复数模的定义及求模公式(重点)通过复数的几何意义的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示，那么复数是否也能用点来表示呢？思考：(1)复数相等的充要条件表明，任何一个复数abi(a，br)都可由一个有序实数对(a，b)唯一确定，而有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么，我们怎样用平面内的点来表示复数呢？(2)我们知道平面直角坐标系中的点a与以原点o为起点

2、、a为终点的向量是一一对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？1复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，x轴称为实轴，y轴上的点除原点外，对应的都是纯虚数，因此称y轴为虚轴x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.2复数的几何意义平面直角坐标系中的点z(a，b)唯一确定一个以原点o为始点，z为终点的向量，则(1)复数zabi 复平面内的点z(a，b)(2)复数zabi 平面向量.3复数的模、共轭复数(1)复数的模设abi(a，br)，则向量(a，b)的长度称为复数zabi的模(或绝对值)，复数z的模用|z|

3、表示，因此|z|.(2)共轭复数如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数复数z的共轭复数用表示在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数拓展在复平面内，共轭复数表示的两个点关于实轴对称1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数()(3)复数的模一定是正实数()答案(1)(2)(3)2复数z12i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限cz12i对应点

4、z(1，2)，位于第三象限3已知复数z(m3)(m1)i的模等于2，则实数m的值为()a1或3 b1 c3 d2a依题意可得2，解得m1或m3.4若复数z13ai，z2b4i(a，br)，且z1与z2互为共轭复数，则zabi的模为_5z13ai，z2b4i互为共轭复数，z43i，|z|5.复数与复平面内点的关系【例1】(1)复数z12i所对应的点在()a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限(2)复数1i和z1i在复平面内的对应点关于()a实轴对称b一、三象限的角平分线对称c虚轴对称d二、四象限的角平分线对称(3)已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是

5、()a(3,1) b(1,3)c(1，) d(，3)(1)b(2)a(3)a(1)由复数的几何意义知z12i对应复平面中的点为(1,2)，而(1,2)是第二象限中的点，故选b(2)复数1i在复平面内的对应点为z1(1，)复数z1i在复平面内的对应点为z2(1，)点z1与z2关于实轴对称，故选a(3)z(m3)(m1)i对应点的坐标为(m3，m1)，该点在第四象限，所以解得3m1.故选a解答复数与复平面内点的关系问题的一般思路(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标(2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系1在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i对应点(1)在虚

6、轴上；(2)在第二象限；(3)在直线yx上分别求实数m的取值范围解复数z(m2m2)(m23m2)i的实部为m2m2，虚部为m23m2.(1)由题意得m2m20.解得m2或m1.(2)由题意得1m1.(3)由已知得m2m2m23m2.m2.综上所述，(1)当m2或m1时，复数z对应的点在虚轴上；(2)当1m1时，复数z对应的点在第二象限；(3)当m2时，复数z对应的点在直线yx上复数的几何意义【例2】在复平面上，复数i,1,42i的对应的点分别是a，b，c，求平行四边形abcd的d点所对应的复数思路探究思路一：解法一：由已知得a(0,1)，b(1,0)，c(4,2)，则ac的中点e，由平行四边

7、形的性质知e也是bd的中点，设d(x，y)，则即d(3,3)，d点对应复数为33i.法二：由已知：(0,1)，(1,0)，(4,2)，(1,1)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，即点d对应复数为33i.复数几何意义包含的两种情况(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题(2)复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题2(1)在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为a，b若c为线段ab的中点，则点c对应的复数是()a48i b82i c24i d4i(2)设o为原点

8、，向量，对应的复数分别为23i，32i，那么向量对应的复数为()a1i b1i c55i d55i(1)c(2)d(1)由题意知a(6,5)，b(2,3)，c(2,4)，点c对应的复数为24i，故选c(2)由题意知，(2,3)，(3，2)，(5,5)，对应的复数为55i，故选d复数的模探究问题1复平面内的虚轴的单位长度是1，还是i?提示复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.2若复数(a1)(a1)i(ar)在复平面内对应的点p在第四象限，则a满足什么条件？提示a满足即1a1.【例3】(1)已知复数z的实部为1，且|z|2，则复数z的虚部是()a bi ci d(2)求复数z168i及z29

9、i的模，并比较它们模的大小思路探究(1)设出复数z的虚部，由模的公式建立方程求解(2)用求模的公式直接计算(1)d设复数z的虚部为b，|z|2，实部为1，1b24，b，选d(2)解因为z168i，z29i，所以|z1|10，|z2|.因为10，所以|z1|z2|.复数的模的计算问题(1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算(2)两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小3(1)已知复数z满足|z|22|z|30，则复数z对应点的集合构成的图形是()a1个圆 b线段 c2个点 d2个圆(2)已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围(1)a由题意可知(|z

10、|3)(|z|1)0，即|z|3或|z|1.|z|0，|z|1应舍去，故应选a(2)解z3ai(ar)，|z|，由已知得4，a27，a(， )知识：1复数的几何意义(1)复数zabi(a，br)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)；(2)复数zabi(a，br)的对应向量是以原点o为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个2复数的模(1)复数zabi(a，br)的模|z|.(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点z和原点间的距离(3)互为共轭复数的两个复数的模相等且在复平面内对应的点关于实轴对称方法：如果z是复平面内表示复数zabi(a，br)的点，

11、则(1)当a0，b0时，点z位于第一象限；当a0，b0时，点z位于第二象限；当a0，b0时，点z位于第三象限；当a0，b0时，点z位于第四象限(2)当a0时，点z在虚轴上；当b0时，点z在实轴上；当ab0时，点z为原点(3)当b0时，点z位于实轴上面的半平面内；当b0时，点z位于实轴下面的半平面内(4)当a0时，点z位于虚轴右边的半平面内；当a0时，点z位于虚轴左边的半平面内1已知a，br，那么在复平面内对应于复数abi，abi的两个点的位置关系是()a关于x轴对称 b关于y轴对称c关于原点对称 d关于直线yx对称b在复平面内对应于复数abi，abi的两个点为(a，b)和(a，b)关于y轴对称2在复平面内，复数z1i对应的点的坐标为()a(1，i) b(1，i) c(1,1) d(1，1)d复数z1i的实部为1，虚部为1，故其对应的坐标为(1，1)3(一题两空)已知复数z32i，则_；|z|_.32iz32i，32i，|z|.4已知复数z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，那么实数a的取值范围是_(1,1)|z1|，|z2|，又因为|z1|z2|，所以，解得1a1.5实数