2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册章末综合测评1　空间向量与立体几何 Word版含解析

1、章末综合测评(一)空间向量与立体几何(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1空间直角坐标系中，点a(3,4,0)与点b(2，1,6)的距离是()a2 b2 c9 dd由条件知(5，5,6)，|.故选d.2在空间四边形abcd中，若向量(3,5,2)，(7，1，4)，点e，f分别为线段bc，ad的中点，则的坐标为()a(2,3,3) b(2，3，3)c(5，2,1) d(5,2，1)b取ac中点m，连接me，mf(图略)，则， 所以(2，3，3)，故选b.3a，b，c不共线，对空间内任意一点o，若，

2、则p，a，b，c四点()a不共面b共面c不一定共面d无法判断是否共面b由于1，p、a、b、c四点共面故选b.4已知平面的一个法向量为n(1，1,0)，则y轴与平面所成的角的大小为()a bcdby轴的一个方向向量s(0,1,0)，cosn，s，即y轴与平面所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.故选b.5.长方体abcda1b1c1d1中abaa12，ad1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为()a bcdb建立坐标系如图所示则a(1,0,0)，e(0,2,1)，b(1,2,0)，c1(0,2,2)，(1,0,2)，(1,2,1)cos，.所以异面直线bc1与ae所成角的

3、余弦值为.故选b.6空间直角坐标系中a(1,2,3)，b(1,0,5)，c(3,0,4)，d(4,1,3)，则直线ab与cd的位置关系是()a平行b垂直c相交但不垂直d无法确定a空间直角坐标系中，a(1,2,3)，b(1,0,5)，c(3,0,4)，d(4,1,3)，(2，2,2)，(1,1，1)，2，直线ab与cd平行故选a.7.如图是一平行六面体abcda1b1c1d1，e为bc延长线一点，2，则()abcdb取bc的中点f，连接a1f(图略)，则a1d1fe，所以四边形a1d1ef是平行四边形，所以a1fd1e，所以.又，所以，故选b.8.如图所示，abcda1b1c1d1是棱长为6的正

4、方体，e，f分别是棱ab，bc上的动点，且aebf.当a1，e，f，c1四点共面时，平面a1de与平面c1df所成夹角的余弦值为()a bcdb以d为原点，da、dc、dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当e(6,3,0)、f(3,6,0)时，a1、e、f、c1共面，设平面a1de的法向量为n1(a，b，c)，依题意得可取n1(1,2,1)，同理可得平面c1df的一个法向量为n2(2，1,1)，故平面a1de与平面c1df的夹角的余弦值为.故选b.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分

5、，有选错的得0分)9已知正方体abcd a1b1c1d1的中心为o，则下列结论中正确的有()a与是一对相反向量b与是一对相反向量c与是一对相反向量d与是一对相反向量acdo为正方体的中心，故()，同理可得()，故()，ac正确；，与是两个相等的向量，b不正确；，()，d正确10在以下命题中，不正确的命题有()a|a|b|ab|是a，b共线的充要条件b若ab，则存在唯一的实数，使abc对空间任意一点o和不共线的三点a，b，c，若22，则p，a，b，c四点共面d若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底abca.|a|b|ab|a与b共线，但a与b共线时|a|b|ab|不

6、一定成立，故不正确；b.b需为非零向量，故不正确；c.因为2211，由共面向量定理知，不正确；d.由基底的定义知正确11在正方体abcda1b1c1d1中，若e为a1c1的中点，则与直线ce不垂直的有()aac bbdca1d da1aacd建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1.则a(1,0,0)，b(1,1,0)，c(0,1,0)，d(0,0,0)，a1(1,0,1)，c1(0,1,1)，e，(1,1,0)，(1，1,0)，(1,0，1)，(0,0，1)010，00，010.00110.与ce不垂直的有ac、a1d、a1a，故选acd.12.如图，已知e是棱长为2的正方体abcda

7、1b1c1d1的棱bc的中点，f是棱bb1的中点，设点d到面aed1的距离为d，直线de与面aed1所成的角为，面aed1与面aed的夹角为，则()adf面aed1bdcsin dcos bcd以a为坐标原点，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，则a(0,0,0)，e(2,1,0)，d(0,2,0)，d1(0,2,2)，a1(0,0,2)，f(2,0,1)，所以(2,1,0)，(0,2,2)，(2，1,0)，(2，2,1)设平面aed1的法向量为m(x，y，z)，则由，得令x1，则y2，z2，故m(1，2,2)(2，2,1)，不存在使m，即与m不共线，df与面aed1不垂

8、直故a不正确；又(0,0,2)，d，故b正确；又(2，1,0)sin |cos，m|.c正确；又(0,0,2)为平面aed的一个法向量，cos ，故d正确，故应选b、c、d.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已知向量e1，e2，e3是三个不共面的非零向量，且a2e1e2e3，be14e22e3，c11e15e2e3，若向量a，b，c共面，则_.1因为a，b，c共面，所以存在实数m，n，使得cmanb，则11e15e2e3(2mn)e1(m4n)e2(m2n)e3，则，解得.14.如图，在长方体abcda1b1c1d1中，abbc2，aa1，e，f分别是面

9、a1b1c1d1、面bcc1b1的中心，则e、f两点间的距离为_以d为坐标原点，分别以，所在方向为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系(图略)，由条件知e(1,1，)，f，e、f两点间的距离为|.15已知正四棱台abcda1b1c1d1中，上底面a1b1c1d1边长为1，下底面abcd边长为2，侧棱与底面所成的角为60，则异面直线ad1与b1c所成角的余弦值为_设上、下底面中心分别为o1、o，则oo1平面abcd，以o为原点，直线bd、ac、oo1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系ab2，a1b11，acbd2，a1c1b1d1，平面bdd1b1平面abcd，b1bo为侧棱与底面所成

10、的角，b1bo60，设棱台高为h，则tan 60，h，a(0，0)，d1，b1，c(0，0)，cos，故异面直线ad1与b1c所成角的余弦值为.16已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，点a(3，1,4)，b(2，2,2)则|2ab|_；在直线ab上，存在一点e，使得b，则点e的坐标为_(第一空2分，第二空3分)52ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.又t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，由b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此，此时点e的坐标为e.四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步

11、骤)17(本小题满分10分)已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求：(1)a，b，c；(2)ac与bc夹角的余弦值解(1)因为ab，所以，解得x2，y4，则a(2,4,1)，b(2，4，1)又bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，设ac与bc夹角为，因此cos .18(本小题满分12分)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱abcda1b1c1d1，底面abcd是正方形，cc13，cd2，且c1cbc1cd60.(1)设a，b，c，试用a，b，c表示；(2)已知o为四棱柱abcda1b1c

12、1d1的中心，求co的长解(1)由a，b，c，得abc，所以abc.(2)o为四棱柱abcda1b1c1d1的中心，即o为线段a1c的中点由已知条件得|a|b|2，|c|3，ab0，a，c60，b，c60.由(1)得abc，则|22(abc)2a2b2c22ab2bc2ac2222320223cos 60223cos 6029.所以a1c的长为，所以co的长为.19(本小题满分12分)如图，在正四棱柱abcda1b1c1d1中，已知ab2，aa15，e、f分别为d1d、b1b上的点，且deb1f1.(1)求证：be平面acf；(2)求点e到平面acf的距离解(1)证明：以d为原点，da、dc、

13、dd1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则d(0,0,0)、a(2,0,0)、b(2,2,0)、c(0,2,0)、d1(0,0,5)、e(0,0,1)、f(2,2,4)(2,2,0)、(0,2,4)、(2，2,1)、(2,0,1)0，0，beac，beaf，且acafa.be平面acf.(2)由(1)知，为平面acf的一个法向量，点e到平面acf的距离d.故点e到平面acf的距离为.20.(本小题满分12分)如图所示，已知点p在正方体abcdabcd的对角线bd上，pda60.(1)求dp与cc所成角的大小；(2)求dp与平面aadd所成角的大小解(1)如图所示，以d为原点

14、，da，dc，dd分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设da1.则(1,0,0)，(0,0,1)连接bd，bd.在平面bbdd中，延长dp交bd于h.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，由|cos，可得2m.解得m，所以.因为cos，所以，45，即dp与cc所成的角为45.(2)平面aadd的一个法向量是(0,1,0)，因为cos，所以，60，可得dp与平面aadd所成的角为30.21(本小题满分12分)如图，边长为2的等边pcd所在的平面垂直于矩形abcd所在的平面，bc2，m为bc的中点(1)证明：ampm；(2)求平面pam与平面dam的夹角的大小；(3)求点d到平面am

15、p的距离解(1)证明：以d为原点，分别以直线da，dc为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得d(0,0,0)，p(0,1，)，c(0,2,0)，a(2，0,0)，m(，2,0)(，1，)，(，2,0)，(，1，)(，2,0)0，即，ampm.(2)设n(x，y，z)为平面pam的法向量，则即取y1，得n(，1，)取p(0,0,1)，显然p为平面abcd的一个法向量，cosn，p.结合图形可知，平面pam与平面dam的夹角为45.(3)设点d到平面amp的距离为d，由(2)可知n(，1，)与平面pam垂直，则d，即点d到平面amp的距离为.22(本小题满分12分)如图，四棱锥sabcd的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，p为侧棱sd上的点(1)求证：acsd；(2)若sd平面pac，求平面pac与平面acd的夹角大小；(3)在(2)的条件下，侧棱sc上是否存在一点e，使得be平面pac.若存在，求seec的值；若不存在，试说明理由解(1)证明：连接b