数学建模简单优化模型

1、第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 -静态优化模型静态优化模型 3.1 存贮模型存贮模型 3.2 出售时机出售时机 3.3 森林救火森林救火 3.4 消费者的选择消费者的选择 3.5 生产者的决策生产者的决策 3.6 血管分支血管分支 3.7 冰山运输冰山运输 现实世界中普遍存在着优化问题现实世界中普遍存在着优化问题. 建立静态优化模型的关键之一是根据建立静态优化模型的关键之一是根据 建模目的确定恰当的目标函数建模目的确定恰当的目标函数. 求解静态优化模型一般用微分法求解静态优化模型一般用微分法. 静态优化问题指最优解是数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数). 简单的优化模型简

2、单的优化模型( (静态优化静态优化) ) 3.1 存贮模型存贮模型 问问 题题 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费. 该厂该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出. 已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件，生产准备费件，生产准备费5000元，贮存费元，贮存费 每日每件每日每件1元元. 试安排该产品的生产计划，即多少天生产试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，

3、使总费用最小一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小. 要要 求求 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系需求量、准备费、贮存费之间的关系. 问题分析与思考问题分析与思考 每天生产一次每天生产一次, 每次每次100件件,无贮存费无贮存费,准备费准备费5000元元. 日需求日需求100件，准备费件，准备费5000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1元元. 10天生产一次天生产一次, 每次每次1000件，贮存费件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计9500元元.

4、50天生产一次天生产一次,每次每次5000件件, 贮存费贮存费4900+4800+100 =122500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计127500元元. 平均每天费用平均每天费用950元元 平均每天费用平均每天费用2550元元 1010天生产一次天生产一次, ,平均每天费用最小吗平均每天费用最小吗? ? 每天费用每天费用5000元元 这是一个优化问题，关键在建立目标函数这是一个优化问题，关键在建立目标函数. 显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数. 目标函数目标函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值. 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，

5、产量大周期长，产量大 问题分析与思考问题分析与思考 贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多 准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多 存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小. 模模 型型 假假 设设 1. 产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）天生产一次（周期）, 每次生产每次生产Q件，当贮存量件，当贮存量 为零时，为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）； 建建 模模 目目 的

6、的 设设 r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小使每天总费用的平均值最小. . 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理为方便起见，时间和产量都作为连续量处理. 模模 型型 建建 立立 0t q 贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t) T Q r t=0生产生产Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以 需求速率需求速率r递减，递减，q(T)=0. 一周期一周期 总费用总费用 每天总费用平均每天总费用平均 值（目标函数）值（目标函数） 离散问题连续化离散问题连续化 一周期贮存费为一周期贮存费为 A =QT/2 模型求解模型求解求求 T 使使 模型

7、解释模型解释 定性分析定性分析 敏感性分析敏感性分析参数参数c1,c2, r的微小变化对的微小变化对T,Q的影响的影响 T对对c1的的(相相 对对)敏感度敏感度 c1增加增加1%, T增加增加0.5% S(T,c2)=1/2, S(T,r)=1/2c2或或r增加增加1%, T减少减少0.5% 经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式公式） 用于订货供应情况用于订货供应情况: 不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型 模型应用模型应用 T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答原问题回答原问题c1=5000, c2=1，r=100 每天需求量每天需求量 r，每次订

8、货费，每次订货费 c1, 每天每件贮存费每天每件贮存费 c2 , T天订货一次天订货一次(周期周期), 每次订货每次订货Q 件，当贮存量降到零时，件，当贮存量降到零时，Q件立即到货件立即到货. 思考思考: 为什么与前面计算的为什么与前面计算的C=950元有差别元有差别? 允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型 A B O q Q r T1t 当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失. 原模型假设：贮存量降到零时原模型假设：贮存量降到零时 Q件立即生产出来件立即生产出来(或立即到货或立即到货). 现假设：允许缺货现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失

9、费每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足缺货需补足. T 周期周期T, t=T1贮存量降到零贮存量降到零 一周期总费用一周期总费用 一周期一周期 贮存费贮存费 一周期一周期 缺货费缺货费 每天总费用每天总费用 平均值平均值 （目标函数）（目标函数） 一周期总费用一周期总费用 求求 T ,Q 使使 为与不允许缺货的存贮模型为与不允许缺货的存贮模型 相比，相比，T T记作记作T T , , Q Q记作记作Q Q . . 允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型 不允许不允许 缺货缺货 模型模型 记记 允许允许 缺货缺货 模型模型 不不 允允 许许 缺缺 货货 允许允许 缺货缺货 模型模型 O q Q

10、 r T1tT 注意：缺货需补足注意：缺货需补足 Q 每周期初的存贮量每周期初的存贮量 R 每周期的生产量每周期的生产量 R （或订货量）（或订货量） Q不允许缺货时的产量不允许缺货时的产量(或订货量或订货量) 存存 贮贮 模模 型型 存贮模型存贮模型(EOQ公式公式)是研究批量生产计划的是研究批量生产计划的 重要理论基础重要理论基础, 也有实际应用也有实际应用. 建模中未考虑生产费用建模中未考虑生产费用, 为什么为什么?在什么条件下在什么条件下 可以不考虑可以不考虑(习题习题1)? 建模中假设生产能力为无限大建模中假设生产能力为无限大(生产时间不计生产时间不计), 如果生产能力有限如果生产能

11、力有限(大于需求量的常数大于需求量的常数), 应作怎应作怎 样的改动样的改动(习题习题2)? 3.2 生猪的出售时机生猪的出售时机 饲养场每天投入饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设元资金，用于饲料、人力、设 备，估计可使备，估计可使80kg重的生猪体重增加重的生猪体重增加2kg. 问问 题题 市场价格目前为市场价格目前为8元元/kg，但是预测每天会降低，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售元，问生猪应何时出售? 如果估计和预测有误差，对结果有何影响如果估计和预测有误差，对结果有何影响? 分分 析析 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价

12、随 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大. 求求 t 使使Q(t)最大最大 10天后出售，可多得利润天后出售，可多得利润20元元. 建模及求解建模及求解 生猪体重生猪体重 w=80+rt 出售价格出售价格 p=8gt 销售收入销售收入 R=pw 资金投入资金投入 C=4t 利润利润 Q= RC 估计估计r=2， 若当前出售，利润为若当前出售，利润为808=640（元）（元） t 天天 出售出售 =10 Q(10)=660 640 g=0.1 =pw 4t 敏感性分析敏感性分析 研究研究 r, g微小变化时对模型结果的影响微小变化时对模型结果的影响.

13、估计估计r=2， g=0.1 rg gr t 2404 设设g=0.1不变不变 5 . 1, 6040 r r r t t 对对r 的（相对）敏感度的（相对）敏感度 rr tt rtS / / ),( d d t r r t 3 6040 60 ),( r rtS 生猪每天增加的体重生猪每天增加的体重 r 变大变大1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%. 1.522.53 0 5 10 15 20 r t 敏感性分析敏感性分析 估计估计r=2， g=0.1 rg gr t 2404 研究研究 r, g微小变化时对模型结果的影响微小变化时对模型结果的影响. 设设r=2不变不变 15. 00, 20

14、3 g g g t t 对对g的（相对）敏感度的（相对）敏感度 /d ( , ) /d t tt g S t g g gg t 3 203 3 ),( g gtS 生猪价格每天的降低生猪价格每天的降低g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%. 0.060.080.10.120.140.16 0 10 20 30 g t 强健性分析强健性分析 保留生猪直到每天收入的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到每天收入的增值等于每天的费用时出售. 由由 S(t,r)=3 建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计 , 再作计算再作计算.wwpp , 研究研究 r, g不是常数时对模型结果的影

15、响不是常数时对模型结果的影响. w=80+rt w = w(t) p=8gt p =p(t) 若若 (10%), 则则 （30%） 2 . 28 . 1 w137 t 0)( t Q 每天收入的增值每天收入的增值 每天投入的资金每天投入的资金 4)()()()(twtptwtp ttwtptQ4)()()(利润利润 3.3 森林救火森林救火 森林失火后，要确定派出消防队员的数量森林失火后，要确定派出消防队员的数量. 队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小队员少，森林损失大，救援费用小. 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量综合考虑损失费

16、和救援费，确定队员数量. 问题问题 分析分析 问题问题 记队员人数记队员人数x, 失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t). 损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数, 由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定. 救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数, 由队员人数和救火时间决定由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小. 关键是对关键是对B(t)作出合理的简化假设作出合理的简化假设. 问题问题 分析分析 失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始

17、救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 画出时刻画出时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形. t1t2Ot B B(t2) 分析分析B(t)比较困难比较困难, 转而讨论单位时间转而讨论单位时间 烧毁面积烧毁面积 dB/dt (森林烧毁的速度森林烧毁的速度). 模型假设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费） 1）0 t t1, dB/dt 与与 t成正比，系数成正比，系数 (火势蔓延速度火势蔓延速度). 2）t1 t t2, 降为降为 x ( 为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度速度). 4）每个）每个队

18、员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用一次性费用c3 . 假设假设1）的解释）的解释 r B 火势以失火点为中心，均匀向四火势以失火点为中心，均匀向四 周呈圆形蔓延，半径周呈圆形蔓延，半径 r与与 t 成正比成正比. 面积面积 B与与 t2 成正比成正比 dB/dt与与 t 成正比成正比 x b tt 12 2 2 0 d ( )d d t B B tt t 模型建立模型建立 d d B t b O t1t t2 x 假设假设1） , 1 tb xcttxcxftBcxf 31222211 )()(),()( 目标函数目标函数总费用总费用)()()( 21 xfxfxC

19、假设假设3）4） x t tt 1 12 假设假设2） )(222 2 1 22 12 x ttbt d 0 d C x xc x xtc x tctc xC 3 12 2 1 2 1 2 11 )(22 )( 模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用 模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小 2 3 12 2 11 2 2 c tctc x 结果解释结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数 其中其中 c1,c2,c3, t1, , 为已知参数为已知参数 d d B t b O t1t2 x t 模型模型 应用应用 c1,c2,c3已知已知, t1可估计

20、可估计, c2 x c1, t1, x c3 , x 结果结果 解释解释 2 3 12 2 11 2 2 c tctc x c1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费, c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费, c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用, t1开始救火时刻开始救火时刻, 火火势蔓延速度势蔓延速度, 每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度. 为什么为什么? ? , 可可设置一系列数值设置一系列数值 由模型决定队员数量由模型决定队员数量 x 3.4 消费者消费者的选择的选择 背景背景 消费者在市场里如何分配手里一定数量的钱，消费者在市场里如何分配手里一定数量的钱， 选择购

21、买若干种需要的商品选择购买若干种需要的商品. 根据经济学的一条最优化原理根据经济学的一条最优化原理“消费者消费者 追求最大效用追求最大效用” ，用数学建模的方法帮助消，用数学建模的方法帮助消 费者决定他的选择费者决定他的选择. 假定只有甲乙两种商品供消费者购买，假定只有甲乙两种商品供消费者购买， 建立的模型可以推广到任意多种商品的情况建立的模型可以推广到任意多种商品的情况. 当消费者购得数量分别为当消费者购得数量分别为x1, x2的甲乙两种商品时，的甲乙两种商品时， 得到的效用可用函数得到的效用可用函数u (x1, x2)度量，称为效用函数度量，称为效用函数. 效用函数效用函数 利用等高线概念

22、在利用等高线概念在x1, x2平面上画出函数平面上画出函数u 的等值线的等值线, u (x1, x2)=c 称为等效用线称为等效用线 等效用线就是等效用线就是 “ 实物交换模型实物交换模型” 中的无差别曲线，中的无差别曲线， 效用就是那里的满效用就是那里的满 意度意度. . O x2 u(x1,x2) = c x1 1 l 2 l 3 l c增加增加 一族单调减、下凸、一族单调减、下凸、 互不相交的曲线互不相交的曲线. 效用最大化模型效用最大化模型 p1, p2甲乙两种商品的单价甲乙两种商品的单价, y消费者准备付出的钱消费者准备付出的钱 x1, x2 购得甲乙两种商品数量购得甲乙两种商品数量

23、 Q A B y/p2 y/p1 x1 x2 几何分析几何分析 x2 u(x1,x2) = c x1 O 1 l 2 l 3 l c增加增加 u(x1, x2) = c 单调减、单调减、 下凸、互不相交下凸、互不相交. 在条件在条件 p1 x1+p2 x2 =y 下使效用函数下使效用函数u(x1, x2)最大最大. AB必与一条等效用线必与一条等效用线 相切于相切于Q点点 (消费点消费点). Q (x1, x2) 唯一唯一. 消费线消费线AB 模型求解模型求解 yxpxp xxu 2211 21 s.t. ),(max 引入拉格朗日引入拉格朗日 乘子乘子构造函数构造函数 )(),(),( 22

24、112121 xpxpyxxuxxL 0, 0 21 x L x L 与几何分析得到的与几何分析得到的 Q 一致一致 2 112 d / d xuu xxx 等效用线等效用线u (x1, x2)=c的斜率的斜率 消费线消费线AB的斜率的斜率 21 / pp 2 1 , 2 , 1 21 21 p p x u x u xx xx 2 1 2 1 p p x u x u 结果结果 解释解释 效用函数效用函数的构造的构造 等效用线等效用线u (x1, x2)=c 所确定的函数所确定的函数 x2(x1)单调减、下凸单调减、下凸. 解释条件中正负号的实际意义解释条件中正负号的实际意义 222 22 12

25、1212 0,0,0,0,0 uuuuu xxxxxx 充分条件充分条件 当商品边际效用之比等于它们价格之比时效用函数最大当商品边际效用之比等于它们价格之比时效用函数最大. 21 , x u x u 边际效用边际效用商品商品 数量数量 增加一个单位时效用的增量增加一个单位时效用的增量 0,)(. 1 1 21 xx u 效用函数效用函数u(x1,x2)几种常用的形式几种常用的形式 , 2 1 22 11 p p xp xp 购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根 成正比成正比, 比例系数是参数比例系数是参数与与之比的平方根之比的平方根. u(x1,

26、x2)中参数中参数 , 分别度量甲乙两种商品对消费分别度量甲乙两种商品对消费 者的效用，或者消费者对甲乙两种商品的偏爱者的效用，或者消费者对甲乙两种商品的偏爱 . 2 1 2 1 p p x u x u 1,0,. 2 21 xxu 0,)(. 3 2 21 baxbxau 22 11 xp xp 购买两种商品费用之比购买两种商品费用之比只取决于只取决于, 与价格无关与价格无关. u(x1,x2)中中 , 分别分别度量两种商品的效用或者偏爱度量两种商品的效用或者偏爱. 实际应用时实际应用时根据对最优解的分析，决定采用根据对最优解的分析，决定采用 哪种效用函数，并由经验数据确定其参数哪种效用函数

27、，并由经验数据确定其参数. 2 1 2 1 p p x u x u 效用函数效用函数u(x1,x2)几种常用的形式几种常用的形式 效用最大化模型应用举例效用最大化模型应用举例 例例1 1 征销售税还是征收入税征销售税还是征收入税 政府从消费者身上征税的两种办法政府从消费者身上征税的两种办法: 销售税销售税 根据消费者购买若干种商品时花的钱征税根据消费者购买若干种商品时花的钱征税 收入税收入税 根据消费者的收入征收所得税根据消费者的收入征收所得税 利用图形从效用函数和效用最大化的角度讨论利用图形从效用函数和效用最大化的角度讨论 征税前设甲乙两种商品的单价为征税前设甲乙两种商品的单价为p1, p2

28、，消费者准备花，消费者准备花 的钱为的钱为y, 等效用线为等效用线为u (x1, x2)=c，消费点为，消费点为Q(x1, x2) . l1 Q1 B1 x1* l2 Q2 B2 A2 x1 B A Q u(x1, x2) =c O x2 x1 l 例例1 1 征销售税还是征收入税征销售税还是征收入税 对甲商品征销售税对甲商品征销售税, 税率为税率为p0 征税前的消费点征税前的消费点Q yxpxpp 22101 )( 消费线消费线AB1, B1在在B的左边的左边 AB1与与l1相切于相切于Q1(x1*, x2*) 若改为征若改为征 收入税收入税 政府得到的销售税额政府得到的销售税额 p0 x1

29、* 征收的税额与销售税额征收的税额与销售税额 p0 x1*相同相同 * 102211 xpyxpxp 消费线消费线A2B2与与l2相切于相切于Q2, 可证可证B2在在B1的右边的右边. l2在在l1上上？ l2在在l1下？下？ 如果如果l2在在l1上方，上方，Q2的效用函数值将大于的效用函数值将大于Q1, 对消费者来说征收入税比征销售税好对消费者来说征收入税比征销售税好. 例例2 价格补贴给生产者还是消费者价格补贴给生产者还是消费者 政府为鼓励商品的生产或者减少消费者的负担所采取政府为鼓励商品的生产或者减少消费者的负担所采取 的两种价格补贴办法：的两种价格补贴办法： 把补贴款直接给生产者把补贴

30、款直接给生产者 把补贴款发给消费者而让商品涨价把补贴款发给消费者而让商品涨价 鼓励商品生产鼓励商品生产,对消费者无影响对消费者无影响 让甲商品价格涨到让甲商品价格涨到p1+p0, 补贴消费者多花的钱补贴消费者多花的钱 p0 x1*, 使仍达到消费点使仍达到消费点Q * 022101 1 )(xpyxpxpp l Q A B u (x1, x2) =c O x1 x2 l Q A Bx1 x2 补贴前的消费点补贴前的消费点Q 消费线消费线 过过Q, 与与l相切于相切于Q 的效用函数值大于的效用函数值大于Q x1 x2* 对消费者更有利对消费者更有利 对甲商品生产不利对甲商品生产不利 3.5 生产

31、者的决策生产者的决策 背景背景 根据经济学的又一条最优化原理根据经济学的又一条最优化原理“生产者生产者 追求最大利润追求最大利润” ，用数学建模的方法，用数学建模的方法帮助生帮助生 产者或供销商做出决策产者或供销商做出决策. 生产者或供销商根据产品的成本和产值决定投入，生产者或供销商根据产品的成本和产值决定投入， 按照商品的销售情况制订价格按照商品的销售情况制订价格. 在市场经济中在市场经济中“消费者追求最大效用消费者追求最大效用”， 生产者呢？生产者呢？ No Image 最大利润模型最大利润模型 x产品产量产品产量 f (x) 边际产值边际产值 x变化一个单位时产值的改变量变化一个单位时产

32、值的改变量 c(x) 边际成本边际成本 x变化一个单位时成本的改变量变化一个单位时成本的改变量 最大利润在边际产值等于边际成本时达到最大利润在边际产值等于边际成本时达到. . 假定产品可以全部销售出去变成收入假定产品可以全部销售出去变成收入 f(x) 产值产值(收入收入), c(x) 成本成本 )()()(xcxfxr利润利润 达到最大利润的达到最大利润的产产量量 x*)()( * xcxf0)( * x r 在产品可以全部销售出去的条件下确定商品价格，在产品可以全部销售出去的条件下确定商品价格， 使利润最大使利润最大. 产量产量x等于销量，数量无限制等于销量，数量无限制. 收入与收入与x 成

33、正比，系数成正比，系数 p 即价格即价格. 成本成本与与 x 成正比，系数成正比，系数 c 即即边际成本边际成本. 销量销量x 依于价格依于价格 p, x(p)是减函数是减函数. 简化假设简化假设0,)(babpapx 求求p使使 r(p) 最大最大 最优定价模型最优定价模型 利润利润)()(bpacpcxpxpr c / 2 成本的一半成本的一半 b 弹性系数弹性系数价格上升价格上升1单位时销量的下降幅度单位时销量的下降幅度 （需求对价格的敏感度）（需求对价格的敏感度） a 绝对需求绝对需求( p很小时的需求很小时的需求) b p* a p* a, b可由可由p和和x的统计数据作拟合得到的统

34、计数据作拟合得到 利润达到最大的定价利润达到最大的定价 利润利润 )()(bpacppr 最优定价模型最优定价模型 d 0 d r p bpapx)( b ac p 22 * d d x b p 投资费用一定下的产值最大模型投资费用一定下的产值最大模型 x1, x2 甲乙产品的产量甲乙产品的产量 c1, c2 甲乙产品的单位成本甲乙产品的单位成本s总投资费用总投资费用 f (x1, x2) 产值函数产值函数 sxcxc 2211 在条件在条件 下求下求x1, x2使产值使产值 f (x1, x2) 最大最大. Q A B s/c2 s/c1 x1 x2 x2 f(x1,x2) = v x1 O

35、 1 l 2 l 3 l v增加增加 等产值线等产值线f (x1, x2)=v单调单调 减、下凸、互不相交减、下凸、互不相交. 几何分析几何分析 投资线投资线AB必与一条等必与一条等 产值线相切于产值线相切于Q点点. 与效用最大化模型类似与效用最大化模型类似 下凸下凸稀缺产品的产值更高稀缺产品的产值更高 投资费用一定下的产值最大模型投资费用一定下的产值最大模型 2 1 , 2 , 1 21 21 c c x f x f xx xx 最优解最优解(x1, x2)满足满足 sxcxc 2211 在条件在条件 下求下求x1, x2使产值使产值 f (x1, x2) 最大最大. 用拉格朗日乘子法求条件

36、极值用拉格朗日乘子法求条件极值 21 , x f x f 边际产值边际产值 当两种产品的边际产值之比等于它们的当两种产品的边际产值之比等于它们的 价格之比时，产值达到最大价格之比时，产值达到最大. . 产值最大与费用最小的对偶关系产值最大与费用最小的对偶关系 x=(x1, x2)T, c =(c1, c2) )(max),(scxxfcsg投资费用一定的产值最大模型投资费用一定的产值最大模型 g(s,c)给定的单位成本给定的单位成本c下费用不超过下费用不超过s的最大产值的最大产值. 产值一定的投资费用最小模型产值一定的投资费用最小模型 )(min),(vxfcxcvs s(v,c)给定的单位成

37、本给定的单位成本c下产值不低于下产值不低于v的最小费用的最小费用. 对偶极值问题对偶极值问题 只要解决其中之一只要解决其中之一, 另一个就迎刃而解另一个就迎刃而解 成本函数是简单的线性函数成本函数是简单的线性函数 c(x). 产值函数产值函数f(x) 在实际生产过程中常常难以确定在实际生产过程中常常难以确定. 从成本函数确定产值函数的图解法从成本函数确定产值函数的图解法 产值最大与费用最小对偶关系的应用产值最大与费用最小对偶关系的应用 Q f (x) v l A B O x1 x2 给定给定v和和c求得最小费用求得最小费用s(v,c)=s )(min),(vxfcxcvs 画出直线画出直线AB

38、: cx=s x=(x1, x2)T, c =(c1, c2) f (x)v的点在的点在AB上方上方, 且且AB 上有一点上有一点Q位于位于l: f (x)=v上上 改变改变c重复上述过程重复上述过程, 得到得到 一系列不同斜率的直线一系列不同斜率的直线 区域区域f (x)v在直线上方在直线上方, 其边界是等产值线其边界是等产值线l: f (x)=v 包包 络络 线线 改变改变v重复上述过程重复上述过程, 得到一系列等产值线得到一系列等产值线 3.6 血血 管管 分分 支支 背背 景景 机体提供能量维持血液在血管中的流动机体提供能量维持血液在血管中的流动. 给血管壁以营养给血管壁以营养.克服血

39、液流动的阻力克服血液流动的阻力. 消耗能量与取决于血管的几何形状消耗能量与取决于血管的几何形状. 在长期进化中动物血管的几何形状已经在长期进化中动物血管的几何形状已经 达到能量最小原则达到能量最小原则. 研究在能量最小原则下，血管分支处研究在能量最小原则下，血管分支处 粗细血管半径比例和分岔角度粗细血管半径比例和分岔角度. 问问 题题 模型假设模型假设 一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面. 血液流动近似于黏性流体在刚性管道中的运动血液流动近似于黏性流体在刚性管道中的运动. 血液给血管壁的能量随管血液给血管壁的能量随管 壁的内表面积和

40、体积的增壁的内表面积和体积的增 加而增加，管壁厚度加而增加，管壁厚度d近近 似与血管半径似与血管半径r成正比成正比. qq1 q1 A B B C H L l l1 r r1 q=2q1r/r1, ? 考察血管考察血管AC与与CB, CB 黏性流体在刚黏性流体在刚 性管道中运动性管道中运动 4 8 rp q l pA,C压力差，压力差， 黏性系数黏性系数 克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量E1 2 1 4 8 q l Eq p r 提供营养消耗能量提供营养消耗能量E2 21, 2 lbrE 管壁内表面积管壁内表面积 2 rl 管壁体积管壁体积 (d2+2rd)l, 管壁厚度管壁厚度d与与r成正比

41、成正比 模型假设模型假设 qq1 q1 A B B C H L l l1 r r1 模型建立模型建立 qq1 q1 A B B C H L l l1 r r1 4 2 1 8 r lq pqE 克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量 21, 2 lbrE 提供营养消耗能量提供营养消耗能量 11 4 1 2 1 42 21 2)/()/(lbrrkqlbrrkqEEE 1 tan ,sinlLH/ lH/ 24 1 24 111 ( ,)(/)(tan) 2sin E r rkqrbrLH/ (kq /rbr) H/ 机体为血流提供能量机体为血流提供能量 模型求解模型求解 qq1 q1 A B B C

42、 H L l l1 r r1 0,0 1 r E r E 4 1 1 4 r r 0 E 4 4 2cos 21 4937,32. 1/26. 1 1 rr 24 1 24 111 ( , , )(/)(/tan ) (/)2/sin E r rkqrbrLH kqrbrH 0/4 0/4 5 1 2 1 1 521 1 rkqrb rkqrb 4 1 2cos r r 模型模型 解释解释 生物学家：结果与观察大致吻合生物学家：结果与观察大致吻合 大动脉半径大动脉半径rmax, 毛细血管半径毛细血管半径rmin 大动脉到毛细血管有大动脉到毛细血管有n次分岔次分岔 4 1 1 4 r r 4 m

43、in max 4 n r r 5 minmax 41000/rr 21 4937 32. 1/26. 1 1 rr 观察：狗的血管观察：狗的血管 )4(5n 3025n 血管总条数血管总条数 973025 10103222 n 推论推论n=？ 3.7 冰山运输冰山运输 背景背景 波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水 的成本为每立方米的成本为每立方米0.1英镑英镑. 专家建议从专家建议从9600km远的南极用拖船远的南极用拖船 运送冰山，取代淡化海水运送冰山，取代淡化海水. 从经济角度研究冰山运输的可行性从经济角度研究冰山运输的可行性. 建模准备建模准备1. 日租金和最大

44、运量日租金和最大运量 船船 型型 小小 中中 大大 日租金（英镑）日租金（英镑） 最大运量（最大运量（m3） 4.06.28.0 5 105106107 2. 燃料消耗（英镑燃料消耗（英镑/km） 3. 融化速率（融化速率（m/天）天） 与南极距离与南极距离 (km) 船速船速(km/h) 0 1000 4000 1 3 5 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6 冰山体积冰山体积(m3) 船速船速(km/h) 105 106 107 1 3 5 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8 建模准备建模准备 建模建模 目的目的

45、 选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方 米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较. 模型模型 假设假设 航行过程中船速不变，总距离航行过程中船速不变，总距离9600km. 冰山呈球形，球面各点融化速率相同冰山呈球形，球面各点融化速率相同. 到达目的地后到达目的地后,每立方米冰可融化每立方米冰可融化0.85m3水水. 建模建模 分析分析 目的地目的地 水体积水体积 运输过程运输过程 融化规律融化规律 总费用总费用 目的地目的地 冰体积冰体积 初始冰初始冰 山体积山体积 燃料消耗燃料消耗 租金租金 船型船型, 船速船速

46、 船型船型 船型船型, 船速船速 船型船型 u tu u ttuu r t 6 1000 ),4 . 01 (2 . 0 6 1000 0,)4 . 01 (1056. 1 3 第第t天融天融 化速率化速率 4000),1 ( 40000),1 ( 2 1 dbua dbuda r 4 . 0, 2 . 0,105 . 6 2 5 1 baa 模模 型型 建建 立立 1. 冰山融化规律冰山融化规律 船速船速u (km/h) 与南极距离与南极距离d(km) 融化速率融化速率r(m/天）天） r是是 u 的线性函数的线性函数 d4000时时u与与d无关无关 航行航行 t 天天, d=24ut 0 1000 4000 1 3 5 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6 u r d 1. 冰山融化规律冰山融化规律 t k kt rRR 1 0冰山初始半径冰山初始半径R0，航行，航行t天时半径天时半径 冰山初始体积冰山初始体积 3 00 4 3 VR 3 4 3 tt VR t天时体积天时体积 总航行天数总航行天数 3 1 0 3 0 1 34 ( , )() 34 t k k V V u