《点阵中的规律》

1、五年级上册点阵中的规律教学实录一、谈话引入师：从小我们就学数数、用数字，那么对于数字的发明和发展过程，你们都哪些了解（学生交流课前搜集的相关信息）生 1：古时候人们用石子来计数，比如打一只兔子就摆一块石子。生 2：还有用绳子打结的，有几个人就打几个结。生 3：我知道我们现在用的数字是印度人发明的，从阿拉伯传到我国的，所以叫阿拉伯数字。师：大家了解的信息真不少！ 阿拉伯数字的发明， 使我们的记录和计算更加方便， 但是在表现数字的特征方面，有时候图形会更加直观。今天老师请来了一位图形朋友点（老师在黑板上画点），看到这个点，你能快速地想到哪个数字？生齐： 1。师：不要小看了这个小小的点，早在2000

2、 多年前，古希腊的数学家们就是从这样一个小小的点开始研究，发现了由许多个这样的点组成的图形中的规律，还给这些图形取了一个好听的名字，叫点阵。 同学们想不想过一把当数学家的瘾，自己来寻找这些规律？生齐：想。师：今天，我们就一起来探究点阵中隐含的规律。（板书课题：点阵中的规律）二、探究正方形点阵中的规律1、探究一组正方形点阵的规律。师：我们一起来看看数学家们当年研究的点阵图，边看边说出各个点阵的点子数。（依次出示前四个正方形点阵图，并逐步引导学生想像、猜测：下一个点阵图会是什么样子呢）生：第一个是1 个点；第二个是4 个点；师：在心里想第三个、第四个点阵图是什么样子。（示图）与你的想像一样吗？生

3、1：一样。就是9 个点。生 2：我知道第四个点阵有16 个点，肯定是的。（随着点阵图的依次出现，学生的思维逐渐活跃，当第三个点阵图出现的时候，学生不用数，已经忍不住地说出了点数。说明学生已经发现了这组正方形点阵中的规律。但这时，教师没有急于让学生发表自己的看法，而是给学生留出了完善自己想法的时间，同时也暗示学生：规律的呈现不能依靠一个或几个图形来归纳，应该有耐心地继续自己的观察活动。）师：除了能说出各个点阵的点数之外，仔细观察点阵图：你们还有什么其它的发现？生 1：第一个点阵是1 个点，其余的都是正方形的。生 2：我发现从第一个图开始点子数分别是加3、加 5、加 7。生 3：我发现它们的点子数

4、能写成11、22、33、44。师：你们真了不起！这种形状的点阵就是正方形点阵，大家不但用数字表示每个点阵的点数，还能用算式来表示这组点阵的规律。根据刚才发现的规律，想一想： 第五个点阵是什么样子呢自己画出来，并用算式表示点数。（学生活动：独立画出第五个55 的点阵图，全班交流。）师：照这样的规律继续画下去，第9 个点阵的点数如何用算式来表示第100 个呢第n 个呢在小组内交流一下。生：第九个点阵表示为99；第 100 个点阵表示为 100100；第 n 个点阵就表示为 nn。（结合发现的规律，引导学生逐步完善自己的想法，建立总结 正方形点阵规律的模型。）师：那么你们觉得每个正方形点阵的点子总数

5、与什么有关系在小组内讨论交流。生 1：点子总数与正方形点阵每一排的点子数有关系。生 2：就是边长乘边长。生 3：还与是第几个有关系，第一个就是 11，第二个就是 22，第三个就是 33，一直这样数下去。（学会用简单的语言表述自己的想法，使得初步的形象感知得到提升）师：说得真好！每个正方形点阵的点子总数可以看作是一个相同数字相乘的积，这个数字与点阵的序号有关，与每个正方形点阵每排的点子数也有关系。2、同一个点阵的不同划分中的规律。师：刚才我们研究了一组正方形点阵中隐含的规律，那么对于同一个点阵来说，如果划分的方法不同，所呈现的规律也就不同。请大家仔细观察第五个正方形点阵中点的划分方法，你能发现什

6、么规律与同桌交流你的想法。生 1：我发现都是用折线分开的。生 2：我发现从短的线开始，每条线内的点分别是1、 3、 5、 7、 9。生 3：这个正方形点阵的点数用算式表示就是：1 3 5 7 9=25。师：大家的发现真不少！那如果把每条线所包围的点子数记下来，如何用算式来表示？学生汇报：第一条线：1= 1 ；第二条线：1 3= 4 ；第三条线：135= 9 ；第四条线：1357=16 ；第五条线：1357 9=25 ；师：你们觉得这组算式有什么特点？生 1：一个算式比一个算式多加一个数。生 2：它们的得数正好是刚才那一排点阵的点子数。生 3：都是连续的奇数在相加。师：是从几开始的连续奇数呢？生

7、：是从 1 开始的连续奇数在相加。师：如果按这样的划分方法划分第六个正方形点阵，它的点数该如何用算式来表示？生： 1357911 36 。师：刚才我们是把这个 55 的正方形点阵用折线进行了划分，你们还有哪些不同的划分的方法如何用算式表示在小组内研究一下。学生汇报：生 1：我们是用横线划分的，算式是：55 5555 25。生 2：还可以用竖线划分，算式也是：55 5555 25。生 3：这些都可以写成是55 25。生 4：我们的方法不一样。我们是用斜线划分的，用算式表示就是1 2 3 4 5 4 3 2 1。师：这种划分方法有新意！仔细观察这个算式，你们发现了什么？生 1：算式里最大的数是 5

8、。生 2：这个算式是从 1 开始加到 5 再加回到 1。生 3：这个算式的两边是对称的，5 在中间。生 4：这个点阵的点数是就中间那个数字5 乘 5 的积。师：照这样的规律类推，第六个正方形点阵的点数如何表示第9 个呢第 n 个呢？生 1：第六个点阵的点数是1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1。生 2：第九个点阵的点数是1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1。生 3：第 n 个点阵的点数是，我说不完。师：说不完，我们可以借助什么来表示？生：用省略号，这样表示：1 2 3 n 3 2 1。师：你太聪明了，帮我们解决了一个大难题，谢谢你。（在这里让学生寻找正方形点

9、阵的不同划分方法，把教材分散处理的关于正方形点阵的不同划分方法集中探究，便于学生思维的延续和拓展，不至于出现思维上的断层。这样设计既符合学生的探究心理和学习习惯，又给学生提供了自主探究的空间，体现了学生学习的自主性，还用另一种方式解读了“练一练”中的第一题。培养了学生从不同的角度去发现问题，总结 概括规律的能力。）三、延伸应用，形成策略师：除了我们刚才研究的正方形点阵，请大家猜猜看，还会有什么形状的点阵呢？生 1：长方形点阵。生 2：三角形点阵。生 3：圆形点阵。生 4：椭圆形点阵。师：请大家尝试运用前面学会的方法探究长方形点阵规律。在小组内合作研究：如何用算式表示每个长方形点阵的点子数？（学

10、生分组活动）学生汇报：生：这四长方形点阵的可以用算式12；23；34；45来表示。师：根据自己发现的规律，请你独立画出第五个长方形点阵并用算式表示出点数。（学生独立画图并写出算式，互相交流。）生：第六个长方形点阵的点子总数用算式表示是56。师：你们觉得自己所写的算式中的数字与图形之间有什么关系在小组内讨论交流。生 1：乘法算式中的第二个因数总是比第一个因数多1。生 2：第一个算式的后面一个数是第二个算式开头的一个数，有点像词语接龙。生 3：算式中的第一个因数是长方形点阵的竖排点数，第二个因数是长方形点阵的横排点数。师：这个算式与点阵的排列序号有关吗？生 1：第一个点阵是 12，第二个点阵是 2

11、3，第三个点阵是 34，是第几个点阵就是用几去乘。生 2：是用点阵的排列序号去乘比它大1 的数。师：照这样继续写，你能写出第n 个长方形点阵的点数吗？生齐： n（ n 1）。师：看来对于任何一个点阵，只要我们认真观察研究，总能发现其独特的规律。下面请大家认真观察给出的四个三角形点阵的规律，快速画出第五个三角形点阵并说出点数。生：（举起自己的点阵图）有15 个点。师：对自己画出的第五个三角形点阵进行划分，你能想到哪些不同的划分方法分别用算式表示点数。（学生活动）全班交流：生 1：我是横着分的，算式是1 2 3 4 5 15。生 2：我是斜着划分的，算式也是1 2 3 4 5 15。生 3：我是竖

12、着划分的，算式跟他们一样，也是1 2 3 4 5 15，就是连续的自然数的和。生 4：我的是用折线划分的，算式可以写为1 5 9 15，就是每次都多 4个。（对于前面的三种划分方法，都在我的预设之内，学生到此，已经很轻松地用语言表述出自己的想法：这样的三角形点阵的点数是从1 开始的连续自然数的和。而对于第四种划分方法，是我没有预想到的。有一个孩子却用非常强烈地要求，表达了自己的这种划分方法，并且说出了这个算式依次递加4 的规律。 我真的很庆幸给了他一个机会，他用如此精彩的回答回报了我，也许课堂教学永远的魅力就在于这预设外的惊喜吧。）师：同学们真的很了不起！真正具有未来数学家的风范，用自己的聪明

13、才智，发现并总结 了各个不同的点阵图中隐藏的规律。那么你们觉得应该从哪些方面来探究点阵的规律呢？生 1：我会仔细看清点阵是什么形状的。生 2：我觉得应该数清每一行的点子数是多少。生 3：我认为还要看清前后两个点阵的变化。（在这里不需要学生说出多么专业的、深奥的数学方法，只是引导学生对自己探究性学习方法的一个总结 ，尽管语言可能不够简练，总结 不够到位，只要学生是用自己的语言在表述自己的想法，就是对学生思维训练层次的一个提升，一种飞越。）联系生活：师：点阵的知识在生活中有着广泛的应用，比如北京奥运会开幕式上的“击缶表演”、“太极表演”等，都是把一个人看作了一点，来排列有规律的队形。你还知道什么地

14、方运用了点阵的相关知识？生 1：五子棋。生 2：解放军阅兵式的方队。生 3：节日里摆放的花坛生 4：我们参加市八运会排练的团体操。师：看来生活中用到点阵知识的地方还真不少。课后自己也设计一幅美丽的点阵图，下节课我们一起展评。（在这里，把学生的课堂学习延伸到课外，链接到学生已有的相关生活经验，使得原本陌生的数学知识与学生的日常生活自然对接，体现了数学与生活的密切联系。学生课后的自主设计作业，给了学生极大的创造空间，真正体现数学来源于生活，又应用于生活。）北师大版五年级数学点阵中的规律教学设计教学目标：1、能在具体的观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系2、了解数学发展的历史，感受

15、数学文化的魅力。3、发展归纳与概括的能力，培养学生推理、观察、概括能力。教学重点：直观感知“点阵”的有序排列。引导学生发现与概括规律教学难点：发现“点阵”中隐含的规律，体会图形与数的联系。总结概括规律。教学准备：课件。教学过程：一、激趣引新：师：（演示课件，生欣赏一组美丽的图案），你们能给这些图案取个名字吗师：这些图案都是由许多点按规律排列起来的，这样的图案就是点阵，也可以说它是点阵图，点阵可以分为方形点阵、三角形点阵、螺旋点阵等几种形式。师：知道今天我们要用这些点阵做什么吗二千多年前，希腊数学家们已经利用点阵图形来研究数，今天我们要一起用这些点阵图研究数，寻找点阵中的规律。（板书课题）二、探

16、索新课：1、出示点阵，提出问题：其实，这是一组特殊的几何图形，我们把它叫做点阵，这节课我们就来研究点阵中的规律。（板书）想一想，第五个点阵中有多少个点第六个呢，第七个，第八个，第九个下面请你画出第五个点阵，并说一说你是怎样想的老师也画了一个点阵，请大家看一看，怎样用算式来表示每个点阵分别有多少个点你是怎样知道每个点阵中点子数的(3) 除了横着进行划分研究点阵中的规律 , 还有其他的方法吗2、探索点阵中的规律：（ 1）出示点阵图，小组讨论。（ 2）全班交流。问：哪个小组来汇报讨论的情况（ 3）小结方法和规律，并寻找各方法中的联系。三、实践应用：1、解决课本中“练一练”习题，交流时，问：你能用算式

17、表示出这些点子图变化的规律吗 下一个点阵怎样画观察点阵图，你发现了什么（ 1）、试一试 1 题长方形点阵（ 2）、试一试 2 题三角形点阵（ 3）、练一练 1 题填写算式（ 4）、练一练 2 题画出点阵2、点阵设计大赛设计要求：（ 1）小组合作 , 共同设计一幅有规律、美观的点阵图，画出前 4 个点阵，并用算式表示每个点阵的数量 .（ 2）每组派代表说明设计的方法及点阵中的规律 , 并展示作品 .(3) 优秀小组的作品 , 在班级”展示台”展出 .四、课堂总结：师：通过这节课的观察、学习，你们发现了点阵中的什么有趣规律还有什么收获师：除了方形点阵、三角形点阵、螺旋点阵这几种形式以外，你还见过其

18、他形式的点阵吗课后继续调查、搜集并研究其规律摘要：教学目的：1、结合具体的图形，明确什么是点阵。2、能在具体的观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系。3、发展归纳与概括的能力。4、了解数学发展的历史，感受数学文化的魅力。教学过程： 活动一： 交流课前搜集的资料信息1教学目的：1、结合具体的图形，明确什么是“点阵”。2、能在具体的观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系。3、发展归纳与概括的能力。4、了解数学发展的历史，感受数学文化的魅力。教学过程 ：活动一 ：交流课前搜集的资料信息1、对于数字的发明和发展过程，你都有哪些了解如：我们现在使用的数字是哪个国家的人发明

19、的最初人们是怎样计数的数字在使用过程中又增加了哪些功能你都了解数字的哪些特征2、阿拉伯数字的发明，是我们的记录和计算更加方便，然而在表现一些数字的特征方面，图形更加直观。早在2000多年前， 古希腊的数学家们就已经利用一些有序排列的点子图形来研究数，发现和总结数的一些特征，因此人们又叫它 “点阵”。活动二 ： 研究点阵中的规律1、认识“点阵” 。（ 1）出示有序排列的三个点阵，引导学生观察并思考：下面三个点子图中各有几个点在排列上有什么特点（ 三个点阵按1 、 4、 9 的顺序排列）（ 2）你能不能尝试画出第四个图形、第五个图形学生独立思考并在小组内交流画法。（16 个点、 25 个点）（ 3）像这样有