微积分下学期末试卷及答案

1、微积分下学期末试卷及答案f ( x, y ) = 1 +y2pep微积分下期末试题（一）一、填空题 (每小题3分,共15分)1、 已知yf ( x +y , ) =xx2-y2,则x 2(1 -y )_ _.2、 已知 ,+-e-xdx =p则+0x-12e-xdx =_ _.3、函数f ( x, y ) =x2+xy +y2-y +1在1 2(- , )3 3点取得极值 .4、已知f ( x, y ) =x +( x +arctan y ) arctan y,则f(1,0) =x_1_.5、以y =(c +c x ) e 1 23 x(c , c1 2为任意常数 )为通解的微分方程是_.y

2、-6 y +y =0二、选择题 (每小题3分,共15分6 知+0e(1-p ) xdx与1dx x ln p -1x均收敛,则常数 的取值范围是 (c).(a)p 1(b)p 1(c)1 p 2f ( x, y ) =4 x x 2 +y 2, x2+y207 数0, x2+y2=0在原点间断 ,是因为该函数 ( b ). (a) 在原点无定义(c) 在原点有二重极限 ,但无定义(b) 在原点二重极限不存在(d) 在原点二重极限存在,但不等于函数值第 2 页 共 40 页2 22 22 2i i iy =ax +by =x2y2888、若i =1x +y 131 -x2-y2dxdy i =

3、31 -x 2 -y 2 dxdy 2, 1x +y 2 ,i =32 x +y 431 -x 2 -y 2 dxdy,则下列关系式成立的是 ( a).(a)i i i 1 23(b) 2 1 3 (c)i i i 1 23(d)i i 0。 且 x =4 时 ， y =8 。 于 是(3分)v =p(42 -y 3 ) 2 dy =16p(8 -0) -p0 04y 3 dy(6分) 3=128p- p y7512= p737803=128p- p(8 773-0)第 3 页 共 40 页由yzz，2在条件,在212、求二重极限limx 0y 0x2x 2 +y 2+y 2 +1 -1.解：

4、原式=limx 0y 0( x 2 +y 2 )( x 2 +y 2 +1 +1)x 2 +y 2 +1 -1(3分)=lim( x 2 +y 2 +1 +1) =2 x 0y 0(6分)2z13、z =z ( x, y ) z +ez =xy确定，求xy.解：设f ( x, y, z ) =z +e z -xy，则f =-yx，f =-xy，f =1 +e zzz f -y y z f -x x =- x =- = =- =- =x f 1 +e 1 +e y f 1 +e z 1 +ez zz(3分) z y =xy y1+ez=1 +ez -y ez(1 +e z ) 2zy=1 e z

5、 xy-1 +e z (1 +e z)2(6分)14、用拉格朗日乘数法求z =x 2 +y 2 +1 x +y =1下的极值 .解：z =x2+(1 -x )2+1 =2 x2-2 x +2令z =4 x -2 =0,得x =11 z =4 0,x =12为极小值点 . (3分)故z =x2+y2+1 y =1 -x下的极小值点为1 1( , )2 23,极小值为 (6分)第 4 页 共 40 页xy1d y1 ( -1) dx( -1) dx-11115、计算112dy e y dxy 2.解：i =12dyyy 2exy3 1 dx = e - e8 212(6分)16、计算二重积分d(

6、x2 +y 2 ) dxdy，其中 是由 轴及圆周x2+y2=1所围成的在第一象限内的区域.(x2+y2)dxdy 解： d p20dq0r 3drp8(6分)17、解微分方程y=y+x.解：令p = y,y=p,方程化为p=p +x,于是p =e ( xe dx +c ) =e x ( xe -x dx +c )1 1x=e x -(x +1)e-x +c =-(x +1) +c e1 1y =pdx =-(x+1)+c e x dx =- ( x +1) 2 +c e x +c22(3分)(6分)( n3+1 - n3-1)18、判别级数n =1的敛散性 .解：n3+1 - n3-1 =2

7、n3 +1 + n 3 -1(3分)limn n3+1 - n13-1=limn n3n n+1 + n3-1=1因为n n第 5 页 共 40 页x1 -= xn x xx1l即 1120.75 1.2519、将函数13 -x展开成 的幂级数 ,并求展开式成立的区间 .解：由于1 1 1= 3 -x 3x31 ,已知 1 -x ,n =0-1 x 1,(3分)那么1 1 x 1 = ( ) n =3 -x 3 3 3n +1n =0 n =0xn,-3 x 3.(6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告 .根据统计资料 ,销售收入 r (万元)与电台广告费用 1 (万元 )

8、的及报纸广告费用 2 (万元 )之间的关系有 如下的经验公式 :r =15 +14 x +32 x -8 x x -2 x 2 -10 x1 2 1 2 1求最优广告策略 解：公司利润为l =r -x -x =15 +13x +31x -8x x -2 x2 -10 x21 2 1 2 1 2 1 222，l令 x 2=13 -8 x -4 x =0,2 1=31 -8 x -20 x =0,1 24x +8 x =13, 1 28x +20 x =31,2得驻点3 5( x , x ) =( , ) =(0.75,1.25)4 4,而(3分)a =lx x1 1=-40所以最优广告策略为：,

9、电台广告费用 (万元),报纸广告费用 (万元).(6分)第 6 页 共 40 页xy四、证明题 (每小题5分,共10分)21、设1 1z =ln( x 3 +y 3)，证明：z z 1 x +y =x y 3.证：zx=x1313-23+y13,zy=131x 3-23+y1322、若n=1u2n与n=1v2n都收敛,则n =1(un+v )n2收敛 .证：由于0 (u +v ) 2 =u 2 +v 2 +2u v 2(u 2 +v 2 ) n n n n n n n n,(3分)并由题设知n=1u2n与n=1v2n都收敛,则n =12(u2 +v2 ) n n收敛 ,从而n =1(un+v

10、)n2收敛。(6分)第 7 页 共 40 页1设微积分下期末试题（二）一、填空题(每小题3分,共15分)1 、 设z =x +y + f ( x -y )， 且 当y =0时 ，z =x2， 则z =。答案（ x2-2 xy +2 y +y2）2、计算广义积分+1dxx 3= 。答案（ 2 ）3、z =exy，则dz(1,1)=。答案（ e ( dx +dy )）4 、微 分 方 程y-5y+6y=xe2 x具 有形 式 的 特 解 .答案（(ax2 +bx)e2 x）5、设n =1un=4，则n =112un-12 n=_ 。答案（1）二、选择题 (每小题3分,共15分)1、limx 0x

11、03sin( x 2 +y x 2 +y 22)的值为 （ a ）第 8 页 共 40 页z =02p1a.3 b.0 c.2d.不存在2、fx( x , y ) 0 0和 fy( x , y ) 0 0存在是函数 f ( x, y )在点 ( x , y )0 0可微的（ a ）。a.必要非充分的条件； b. 充分非必要的条 件；c.充分且必要的条件； d. 即非充分又非必 要的条件。3、由曲面 z =4 -x 2 -y 2和 及柱面x2+y2=1所围的体积是 （d）。a.2 p0dq0r 4 -r2dr；b.4p20dq104 -r2dr；c、2p0dq104 -r2dr；d.42 dq0

12、 0r 4 -r2dr第 9 页 共 40 页，x2 xx +c e x +c e 2 x c x +c e +c ec. ； d.4、设二阶常系数非齐次线性方程y+py+qy= f ( x)有三个特解y =x y =e 1 2x，y =e32 x，则其通解为 （c ）。a. 1 2 ； b. 1 2 3 ；x +c (e x -e2 x ) +c ( x -e x ) c (e x -e 2 x ) +c (e 1 2 1 22 x-x )5、无穷级数n =1( -1) n -1 n p( p 为任意实数)（d）a 、收敛b 、绝对收敛c 、发散d、无法判断三、计算题 (每小题6分,共60分

13、)1、求下列极限：limx 0x 0xy xy +1 -1。解：limx 0x 0xy xy +1 -1=limx 0x 0xy ( xy +1 +1) ( xy +1) -1（3分）第 10 页 共 40 页=lim( xy +1 +1) =1 +1 =2 x 0y 0分）（62、求由 y =x与直线 x =1 、x =4 、y =0 所围图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积。 解：v =px41( x )2dx（4分）=7.5p（6分）3、求由 ez=xyz所确定的隐函数z =z ( x, y)的偏导数z z,x y。解：方程两边对 x 求导得:第 11 页 共 40 页ezzx=yz +xy

14、zx,有z yz z= =x e z -xy x( z -1)分）方程两边对 y 求导得:（3ezzy=xz +xyzy,有z xz z= =y e z -xy y( z -1)分）（64、求函数 f ( x, y ) =x3-4 x2+2 xy -y2的极值。解： f ( x , y ) =x3-4 x 2 +2 xy -y2，则f ( x , y ) =3 x 2 -8 x +2 y x， f ( x , y) =2 x -2 y ， yf ( x , y ) =6 x -8 xx， fxy( x , y ) =2， fyy( x, y ) =-2，第 12 页 共 40 页 dx求 驻

15、点 ， 解 方 程 组 .(2, 2)3x 2 -8 x +2 y =0 ， 2 x -2 y =0 ，（2分）得(0,0)和对( 0,0)有f (0,0) =-80 xx， fxy(0,0) =2， fyy(0,0) =-2，于是b2-ac =-12 0，(2, 2)不是函数的极值点。6 、计算积分dyxds,其中 d 是由直线 y =x, y =2 x 及 x =1, x =2所围成的闭区域； 解：dyxds =2 2 x1 xyxdy.（4分）第 13 页 共 40 页3 2 91= xdx =2 1 4（6分）7 、已知连续函数 f ( x)满足x0f (t )dt =2 xf ( x

16、) +x，且 f (1) =0，求 f ( x )。解：关系式两端关于 x 求导得：f ( x ) =2 f ( x ) +2 xf(x) +1即f1 1 (x) + f ( x) =-2x 2 x（2分）这是关于 f( x )的一阶线性微分方程，其通解为：f ( x ) =e-d x2 x(d x( - )e 2 x 2x+c )=1x( - x +c ) =cx-1第 14 页 共 40 页1（5分）又f (1) =0， 即c -1 =0， 故c =1， 所 以f ( x) =1x-1（6分）8、求解微分方程y2+ y1 -y2=0 。解：令 y=p，则y=pdpdy，于是原方程可化为：p

17、dp 2+ p 2 =0 dy 1 -y（3分）即dp 2+ p =0dy 1 -y，其通解为p =c e1-21-ydy=c ( y -1)2 1（5分）dy =c ( y -1) dx2dy 即 ( y -1)2=c dx1故原方程通解为 ：y =1 -1c x +c12第 15 页 共 40 页（6分）9、求级数n =1( x -2)3 nn的收敛区间。解：令t =x -2,幂级数变形为n =1t3nn,r =limtnanan +13 n +1=lim =1 n 3 n.（3分）当t =-1时,级数为n =0( -1)n31n收敛；当 t =1 时,级数为n =131n发散.故n =1

18、t3nn的收敛区间是i = -1,1) t,（5分）那么 ( x -2) 3 nn =1n的收敛区间为i =1,3)x.（6分） 第 16 页 共 40 页110、 判定级数n =1sin(2 nn!x)是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。解：因为sin(2 n x) 1n ! n!（2分）由比值判别法知n =11n!收敛1(q( n +1)!lim =0n n!) ，（4分）从而由比较判别法知 sin(2 nn !n =1x)收敛，所以级数第 17 页 共 40 页u sin(2 nn !n =1x)绝对收敛. （6分）四、证明题 (每小题5分,共10分)1、设正项级数

19、n 收敛,证明级数n =1证n =1u un n +1也收敛。：u unn +112(u +u ) n n +1，（3分）而由已知12(u +u ) n n +1收敛，故由比较原则，u unn +1也收敛。 （5分）2 、设z =f ( x2y-y2), 其 中f (u )为 可 导 函 数 , 证 明1 z 1 z z + =x x y y y 2.证明 ：因为第 18 页 共 40 页z 2 xyf=-x f 2,（2分）z f +2 y =y f 22f（4分）所1 z 1 z 2 yf f +2 y 2 f 1 z+ =- + = =x x y y f 2 yf 2 yf y 2（5分

20、）以.微积分下期末试题（三） 一、填空题(每小题3分,共15分)1 、 设z =x +y + f ( y -x )， 且 当x =0时 ，z =y2， 则第 19 页 共 40 页15z =。答案（ x2-2 xy +2 x +y2）2、计算广义积分+1dxx2= 。答案（ ）3、设z =ln(1 +x2+y2)，dz =则 (1,2)。答案（1 2dx + dy3 3）4 、微 分 方 程y-6y+9y=5(x +1)e3 x具 有形 式 的 特 解 .（(ax3 +bx 2 )e3 x）5、级数n =13n9+1n的和为 。答案（ 8 ）二、选择题 (每小题3分,共15分)1、limx 0

21、x 03sin( x 2 +y x 2 +y 22)的值为 （ b ）a 、 0 b 、 3 c 、2 d、不存在第 20 页 共 40 页p22y =x y =e x2、f ( x, y)x和 f ( x , y ) 在 ( x , y ) y 0 0存在且连续是函数 f ( x , y )在点( x , y ) 0 0可微的 （ b ）a.必要非充分的条件； b. 充分非必要的条 件；c.充分且必要的条件； d. 即非充分又非必 要的条件。3、由曲面 z =4 -x 2 -y 2和 z =0 及柱面 x2+y2=4所围的体积是 （ b ）a.2p0dq40r 4 -r2dr；b.42 dq

22、0 0r 4 -r2dr；c、20pdq204 -r2dr；d.4p20dq204 -r2dr4、设二阶常系数非齐次微分方程y+py+qy = f ( x )有三个特解 1 ， 2 ，y =e32 x，则其通解为 （d）a、c ( e1x-e2 x) +c ( e 22 x-x2)； b、c x12+c e2x+c e32 x；第 21 页 共 40 页c、x 2 +c e x +c e 1 22 x； d 、x2+c (e x -e2 x ) +c ( x 1 22 -e x )5、无穷级数n =1( -1)n -1 n 2 p( p 为任意实数)（a）a 、无法判断b、绝对收敛c 、收敛d

23、、发散三、计算题 (每小题6分,共60分)1、求下列极限：limx 0y 02 - xy +4 xy。解：limx 0y 02 - xy +4 4 -( xy +4)=limxy x 0 xy (2 + xy +4)y 0（3分）=limx 0x 0-1 -1 1 = =-2 + xy +4 2 +2 4（6分）第 22 页 共 40 页p0, 2、求由在区间 2 上,曲线 y =sin x与直线x =p2、 y =0 所围图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积。 解：v =pxp20sin2xdx（4分）1= p24（6分）3 、求由e z -xyz =xy所确定的隐函数z =z ( x, y)的

24、偏导数z z,。x y解：（一）令 f ( x, y, z ) =ez-xyz -xy则fx=-yz -y，fy=-xz -x，fz=ez-xy第 23 页 共 40 页x利用公式，得 fz -yz -y yz +y =- =- =x f e z -xy e z -xy z（3分） fzy=-yf=-xz -x xz +x=e z -xy e z -xyz（6分）（二）在方程两边同时对 x求导，得ezzx-yz -xyzx=y解出z yz +y =x e z -xy，（3分）第 24 页 共 40 页同理解出z xz +x=y e z -xy（6分）4、求函数f ( x, y ) =x3-12

25、 xy +8 y3的极值。解：f ( x, y ) =x3-12 xy +8 y3，则f ( x , y ) =3 x 2 -12 y x， fy( x, y ) =24 y2-12 x，f ( x, y) =6 x xx， f ( x, y ) =-12 ， f ( x, y ) =48 y， xy yy求 驻 点 ， 解 方 程 组3x2-12y =0， 24 y 2 -12 x =0，得(0,0)和(2,1).（2分）对 ( 0,0)有 fxx(0,0) =0， f (0,0) =-12 ， f xyyy(0,0) =0，于 是b2-ac =144 0， 所 以 (0,0)点 不 是 函

26、 数 的 极 值点.（4分）第 25 页 共 40 页2 y对 ( 2,1)有 f(2,1) =12xx， fxy(2,1) =-12， fyy(2,1) =48，于是取b 2 -ac =144 -12 48 0 得，所以函数在 ( 2,1) 极点小值,f (2,1) =23-12 2 1+8 13=-8（6分）（5分）6、计算二重积分d(2 x +y )ds,其中 d 是由y =x, y =1x及 y =2 所围成的闭区域； 解：d(2 x +y ) d s =dy 11y(2 x +y )dx（4分）第 26 页 共 40 页1-=21(2 y2-1-1 19) dy =y 2 6（6分）

27、7、已知连续函数 f ( x )满足x0f (t )dt +2 f ( x) +x =0，求 f ( x )。解：关系式两端关于 x 求导得：f ( x ) +2 f(x) +1 =0即f1 1 (x) + f ( x) =-2 2（2分）这是关于 f( x )的一阶线性微分方程，其通解为：f ( x ) =e-dx2(d x( - )e 2 2+c )x x=-e 2 ( e 2 +c ) =-1+ce-x2第 27 页 共 40 页（5分）又f (0) =0， 即0 =-1+c， 故c =1， 所 以f ( x ) =e-x2-1（6分）8、求微分方程(1 +x 2) y-2xy =0的通

28、解。解这是一个不明显含有未知函数 y 的方程作变换令dydx= p，则d 2 y dp=dx 2 dx，于是原方程降阶为(1+xdp2) -2 px =0 dx（3分），分离变量dp 2 x= dx p 1 +x 2，积分得ln p =ln(1+x 2 ) +ln c1即p =c (1 +x12)，从而第 28 页 共 40 页dydx=c (1+x 12)（5分）再积分一次得原方程的通解yc ( x +1x 33) +c2（6分）9、求级数n =1( x -3)nn的收敛区间。解：令t =x -3,幂级数变形为n =1tnn,r =limtnanan +1n +1=lim =1n n.（3分）当t =-1时,级数为n =0( -1)n1n收敛；当 t =1 时,级数为n =11n发散.故n =1, i = -1,1)ttnn的收敛区间是第 29 页 共 40 页1（5分）那么 ( x -3) nn =1n的收敛区间为i =2,4).x10、 判定级数n =1cos( n x) n!（6分）是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：解：因为cos( n x) 1n! n!（2分）由比值判别法知n =11n!收敛1(q( n +1