2020-2021武汉中考数学 二次函数综合试题

1、123abp pbf pfa1 21 32 32020-2021 武汉中考数学 二次函数综合试题一、二次函数1如图，抛物线 yax2+bx+3（a0）的对称轴为直线 x1，抛物线交 x 轴于 a、c 两 点，与直线 yx1 交于 a、b 两点，直线 ab 与抛物线的对称轴交于点 e（1） 求抛物线的解析式（2） 点 p 在直线 ab 上方的抛物线上运动， abp 的面积最大，求此时点 p 的坐标 （3）在平面直角坐标系中，以点 b、e、c、d 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出 符合条件点 d 的坐标【答案】(1)yx22x+3；(2)点 p(-3 15， )；(3)符合条件的点 d 的坐

2、标为 d (0，3)， 2 4d (6，3)，d (2，7)【解析】【分析】(1) 令 y0，求出点 a 的坐标，根据抛物线的对称轴是 x1，求出点 c 的坐标，再根据 待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2) 设点 p(m，m22m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点 b 的坐标，过点 p 作 pf y轴交直线 ab 于点 f，利用 ，用含 m 的式子表示 abp 的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点 p 的坐标；(3)求出点 e 的坐标，然后求出直线 bc、直线 be、直线 ce 的解析式，再根据以点 b、e、 c、d 为顶点的四边形是平行四边形，得到直线 d d 、直线 d d 、直

3、线 d d 的解析式，即 可求出交点坐标【详解】解：(1)令 y0，可得：x10，解得：x1， 点 a(1，0)， 抛物线 yax2+bx+3(a0)的对称轴为直线 x1， 1213，即点 c(3，0)， a +b +30 9 a -3b +30a -1 ，解得： b -2， 抛物线的解析式为：yx22x+3； (2) 点 p 在直线 ab 上方的抛物线上运动，1 31 22 3123123 设点 p(m，m22m+3)， 抛物线与直线 yx1 交于 a、b 两点，y -x 2 -2 x +3 ，解得： yx -1 x -41y -51， x 12y 02， 点 b(4，5)，如图，过点 p

4、作 pf y 轴交直线 ab 于点 f， 则点 f(m，m1)， pfm22m+3m+1m23m+4，abppbf pfa1 1(m23m+4)(m+4)+ (m23m+4)(1m) 2 2-5 3 125 （m+ ）2+2 2 8， 当 m-32时，p 最大， 点 p(-3 15， ).2 4(3)当 x1 时，y112， 点 e(1，2)，如图，直线 bc 的解析式为 y5x+15，直线 be 的解析式为 yx1，直线 ce 的解析式为 y x3， 以点 b、c、e、d 为顶点的四边形是平行四边形， 直线 d d 的解析式为 y5x+3，直线 d d 的解析式为 yx+3，直线 d d 的

5、解析式为 y x9，联立 y5 x +3 yx +3得 d (0，3)，同理可得 d (6，3)，d (2，7)，综上所述，符合条件的点 d 的坐标为 d (0，3)，d (6，3)，d (2，7)121 21 21 212【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂 直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解2已知，点 m 为二次函数 y（xb）2+4b+1 图象的顶点，直线 ymx+5 分别交 x 轴 正半轴，y 轴于点 a，b（1） 判断顶点 m 是否在直线 y4x+1 上，并说明理由（2） 如图 1，若

6、二次函数图象也经过点 a，b，且 mx+5（xb）2+4b+1，根据图象， 写出 x 的取值范围（3）如图 2，点 a 坐标为（5，0），点 m 在aob 内，若点 c（ 都在二次函数图象上，试比较 y 与 y 的大小143，y ），d（ ，y ） 4【答案】（1）点 m 在直线 y4x+1 上；理由见解析；（2）x 的取值范围是 x0 或 x5；（3）当 0b1 1 1 4时，y y ，当 b 时，y y ，当 b 时，y 2 2 2 5y 【解析】【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案； （2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图

7、象与不等式的关系：图象在下 方的函数值小，可得答案；（3）根据解方程组，可得顶点 m 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案 【详解】（1）点 m 为二次函数 y（xb）2+4b+1 图象的顶点，121 21 21 2 m 的坐标是（b，4b+1），把 xb 代入 y4x+1，得 y4b+1， 点 m 在直线 y4x+1 上；（2）如图 1，直线 ymx+5 交 y 轴于点 b， b 点坐标为（0，5）又 b 在抛物线上， 5（0b）2+4b+15，解得 b2，二次函数的解析是为 y（x2）2+9，当 y0 时，（x2）2+9 0，解得 x 5，x 1， a（5，0）由图象，得当 mx+

8、5（xb）2+4b+1 时，x 的取值范围是 x0 或 x5； （3）如图 2， 直线 y4x+1 与直线 ab 交于点 e，与 y 轴交于 f，a（5，0），b（0，5）得直线 ab 的解析式为 yx+5，联立 ef，ab 得方程组 4x = 5解得 ，21y = 5y =4 x +1 y =-x+5， 点 e（4 21， ），f（0，1） 5 5点 m aob 内，14b+1215， 0b45当点 c，d 关于抛物线的对称轴对称时，b1 3 1 b， b ，4 4 2且二次函数图象开口向下，顶点 m 在直线 y4x+1 上，综上：当 0b12时，y y ，当 b12时，y y ，当1 4b

9、 时，y y 2 5a，bm, nm、n【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2） 的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得 出顶点 m 的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a0 时，点与对称轴的距离越小 函数值越大3如图，抛物线 y =- y 轴交于点 c.1 2x 2 + x +2 与 x 轴相交于 两点，（点 a 在 b 点左侧）与 2 2（）求 a，b 两点坐标.（）连结 ac ，若点 p 在第一象限的抛物线上，p 的横坐标为 t，四边形 abpc 的面积 为 s.试用含 t 的式子表示 s，并求

10、 t 为何值时，s 最大.（）在（）的基础上，若点 g , h 分别为抛物线及其对称轴上的点，点 g 的横坐标为m，点 h 的纵坐标为 n，且使得以 件的 的值.a, g , h , p四点构成的四边形为平行四边形，求满足条【答案】（） a( - 2,0), b (2 2,0) ；（） s =-22(t - 2)2+4 2(0 t 2 2) ,当 t =2 时，s =4 2最大；（）满足条件的点 的值为： m =-2 3, n = ，或 2 4m =5 2 15 3 2 1 , n =- ，或 m =- , n =2 4 2 4【解析】【分析】（）令 y=0，建立方程求解即可得出结论； aoc

11、( )1 21 1 ( ) 1 ( )v aoc 梯形 ocpqv pqb2 2t - 2（）设出点 p 的坐标，利用 s=s +s梯形ocpqpqb，即可得出结论；（）分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即 可得出结论【详解】解：（）抛物线 y =-1 2x 2 + x +2 ， 2 2令 y =0 ，则 -1 2x 2 + x +2 =0 ， 2 2解得： x =- 2 或 x =2 2 ， ( )( ) a - 2,0 , b 2 2,0（）由抛物线 y =-x 2 + x +2 ，令 x =0 ， y =2 ， c 0,2 2 2，如图 1，点 p 作

12、pq x轴于 q， p 的横坐标为 t， 设p (t,p )，1 2p =- t 2 + t +2, pq = p，bq =2 2 -t , oq =t2 2s =s +s +s = 2 2 + 2 +p t + 2 2 -t p2 2 21 1= 2 +t + pt + 2 p - pt = 2 p +t + 22 2 1 2 = 2 - t 2 + t +2 +t+ 2 =-22( )2+4 2(0 t 2 2) ， 当t =2 时，s =4 2最大；（）由（）知， t = ( ) p 2,2 ，2 ， 2 2 2a - 2,02 - 2 = m +, 2 +0 =- m + m +2 +

13、n2 ，2 2 2 2 2 2m - 2 = 2 + , - m+ m +2 +0 = n +2 1( ) 抛物线y =-1 2 2 x 2 + x +2 的对称轴为 x =2 2 2， 1 2 2 设 g m, - m 2 + m +2 ,h , n 以 a, g , h , p 四点构成的四边形为平行四边形， ( )， 当 ap 和 hg 为对角线时，12()1 2 1 ( ) 1 1 2 m =-2 3, n = ，2 4当ag和 ph 是对角线时，1 ( )1 2 11 2 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 2，m =5 2 15 , n =- ，2 4 ah 和 pg 为对角线

14、时，1 2 1 ( )1 1 2 -2 + = m + 2 , - m 2 + m +2 +2 2 2 2 2 2 2= n +0 ， 2m =-3 2 1, n = ，2 4即：满足条件的点 m、n 的值为：m =-2 3 5 2 15, n = ，或 m = , n =- ，或 m =- 2 4 2 43 2 1, n =2 4【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，梯形的面积 公式，平行四边形的性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键4已知，抛物线 yx2+bx+c 经过点 a（1，0）和 c（0，3）（1） 求抛物线的解析式；（2） 在

15、抛物线的对称轴上，是否存在点 p，使 pa+pc 的值最小？如果存在，请求出点 p 的 坐标，如果不存在，请说明理由；（3） 设点 m 在抛物线的对称轴上， mac 是直角三角形时，求点 m 的坐标3ooo【答案】（1）y =-x2+2 x +3；（2）当pa +pc的值最小时，点 p 的坐标为(1,2)；（3）点 m 的坐标为 (1,1)、(1,2)、 8 1, 或1,- 23.【解析】【分析】(1)由点 a、c 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)连接 bc 交抛物线对称轴于点 p，此时pa +pc取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 b 的坐标，由点 b、c

16、的坐标利用待定系数法即可求出直线 bc 的解析式， 利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点 p 的 坐标；(3)设点 m 的坐标为(1,m)，则cm =(1-0)2+(m -3)2，ac = 0 -(-1)2+(3 -0)2= 10 ， am = 1-(-1)2+(m -0)2，分 amc =90 、 acm =90 和 cam =90 三种情况，利用勾股定理可得出关于 m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出 m 的值，进而即可得出点 m 的坐标 【详解】解： (1)将a(-1,0)、c(0,3)代入 -1-b+c=0 b=2得： c =3 ，解得：

17、c =3 ，y =-x2 +bx +c中，抛物线的解析式为y=-x2 +2 x +3(2)连接 bc 交抛物线对称轴于点 p，此时 pa +pc 取最小值，如图 1 所示当 y =0 时，有 -x2+2 x +3 =0 ，解得：x =-1， x =3 1 2，o1,31, - .3点 b 的坐标为 (3,0)q抛物线的解析式为y =-x2+2 x +3 =-(x -1)2+4，抛物线的对称轴为直线 x =1 设直线 bc 的解析式为y =kx +d (k0)，将 b (3,0)、c(0,3)代入y=kx +d 3k+d=0 k=-1得： d =3 ，解得： d =3 ，中，直线 bc 的解析式

18、为y =-x +3q当x =1时，y =-x +3 =2，当pa +pc的值最小时，点 p 的坐标为(1,2)(3)设点 m 的坐标为(1,m)，则 cm =(1-0)2+( m -3)2，ac = 0 -(-1)2+(3-0)2= 10，am = 1-(-1)2+( m -0)2分三种情况考虑： 当 amc =90 时，有 ac 2 =am 2 +cm 2 ，即 10 =1 +( m -3) m =1 ， m =2解得：，1 2；点 m 的坐标为 (1,1)或(1,2)2+4 +m2， 当 acm =90o时，有 am2=ac2+cm2，即4 +m2=10 +1 +( m -3)2，解得：m

19、 =83，点 m 的坐标为 8 ； 当 cam =90o时，有 cm2=am2+ac2，即1 +( m -3) 2 =4 +m 2 +10，解得：m =-23， 2 点 m 的坐标为 3 综上所述：当v mac是直角三角形时，点 m 的坐标为 (1,1)、(1,2) 8 、 1, 或1,- 23.【点睛】本题考查待定系数法求二次 ( 一次 ) 函数解析式、二次 ( 一次 ) 函数图象的点的坐标特征、 轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：(1)由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式； (2)由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点 p 的位置；(3)分 amc =90o、 a

20、cm =90o和 cam =90o三种情况，列出关于 m 的方程5已知抛物线y =ax2+bx +c上有两点 m(m+1，a)、n(m，b).(1)当 a1，m1 时，求抛物线y =ax 2 +bx +c的解析式；(2)用含 a、m 的代数式表示 b 和 c；(3)当 a0 时，抛物线y =ax2+bx +c满足 b2-4 ac =a ，b +c 2a，m -34，求 a 的取值范围.b =1【答案】（1） c =1；（2）b=-am，c=-am；（3）-16 1a -39 3【解析】【分析】（1）根据题意得到 m(2，1)、n(1，b)，代入抛物线解析式即可求出 b、c；（2）将点 m(m+

21、1，a)、n(m，b)代入抛物线y =ax2+bx +c，可得a(m +1)2 +b ( m +1) +c =a am 2 +bm +c =b，化简即可得出；（3）把b =-am，c =-am代入 b2-4 ac =a 可得a =m21+4 m，把b =-am，c =-am代入b +c 2a可得m -1，然后根据 m 的取值范围可得 a 的取值范围.【详解】解：(1) a1，m1， m(2，1)、n(1，b)由题意，得-4+2b +c =-1 b =1 ，解，得 -1+b +c =b c =1(2) 点 m(m+1，a)、n(m，b)在抛物线 a(m +1)2 +b ( m +1) +c =a

22、am 2 +bm +c =by =ax 2 +bx +c上得， 2am +b =-b， b =-am把b =-am代入，得c =-am(3)把b =-am，c =-am代入 b 2 -4 ac =a 得 a 2 m 2 +4 a 2 m =aq a -2时， m2+4 m 随 m 的增大而增大-16 1 1 - 39 m 2 +4 m 3即-16 1a -39 3【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b =-am，c =-am是解题关键.6在平面直角坐标系 xoy 中（如图）已知抛物线 y=12x2+bx+c 经过点 a（1，0）和点 b（

23、0，52），顶点为 c，点 d 在其对称轴上且位于点 c 下方，将线段 dc 绕点 d 按顺时针方向旋转 90，点 c 落在抛物线上的点 p 处（1） 求这条抛物线的表达式；（2） 求线段 cd 的长；（3） 将抛物线平移，使其顶点 c 移到原点 o 的位置，这时点 p 落在点 e 的位置，如果点 m 在 y 轴上，且以 o、d、e、m 为顶点的四边形面积为 8，求点 m 的坐标【答案】（1）抛物线解析式为 y=1 5x2+2x+ ；（2）线段 cd 的长为 2；（3）m 点的坐 2 2标为（0，7 7）或（0， ） 2 2【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得

24、到 y=1 9（x2）2+ ，则根据二次函数的性质得到 c 点坐标和抛物 2 2c =12线的对称轴为直线 x=2，如图，设 cd=t，则 d（2，92t），根据旋转性质得 pdc=90，dp=dc=t，则 p（2+t，9 9 1 5t），然后把 p（2+t， t）代入 y= x2+2x+ 得到关于 t 2 2 2 2的方程，从而解方程可得到 cd 的长；（3）p 点坐标为（4，9 5），d 点坐标为（2， ），利用抛物线的平移规律确定 e 点坐标 2 2为（2，2），设 m（0，m），当 m0 时，利用梯形面积公式得到1 5（m+ +2）2=8 2 2当 m0 时，利用梯形面积公式得到 得到

25、对应的 m 点坐标1 5（m+ +2）2=8，然后分别解方程求出 m 即可 2 2【详解】（1）把 a（1，0）和点 b（0， 1- -b +c =0 b =2 2 ，解得 5 ，5 c = 2 25 1）代入 y= x2+bx+c 得 2 2 抛物线解析式为 y=1 5x2+2x+ ；2 21 9 （2） y= （x2）2+ ，2 2 c（2，92），抛物线的对称轴为直线 x=2，如图，设 cd=t，则 d（2，92t）， 线段 dc 绕点 d 按顺时针方向旋转 90，点 c 落在抛物线上的点 p 处， pdc=90，dp=dc=t， p（2+t，92t），把 p（2+t，9 1 5 1 5

26、 9t）代入 y= x2+2x+ 得 （2+t）2+2（2+t）+ = t， 2 2 2 2 2 2整理得 t22t=0，解得 t =0（舍去），t =2， 线段 cd 的长为 2；9 5（3）p 点坐标为（4， ），d 点坐标为（2， ），2 2 抛物线平移，使其顶点 c（2，92）移到原点 o 的位置， 抛物线向左平移 2 个单位，向下平移92个单位，而 p 点（4，9 9）向左平移 2 个单位，向下平移 个单位得到点 e， 2 2 e 点坐标为（2，2 ）， 设 m（0，m），当 m0 时，当 m0 时，1 5 7 7（m+ +2）2=8，解得 m= ，此时 m 点坐标为（0， ）；2

27、2 2 21 5 7 7（m+ +2）2=8，解得 m= ，此时 m 点坐标为（0， ）； 2 2 2 2综上所述，m 点的坐标为（0，7 7）或（0， ） 2 2【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的 性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关 知识是解题的关键.7课本中有一道作业题：有一块三角形余料 abc，它的边 bc=120mm，高 ad=80mm要把它加工成正方形零件，使 正方形的一边在 bc 上，其余两个顶点分别在 ab，ac 上问加工成的正方形零件的边长是 多少 mm？小颖解得此题的答案为 48mm，小颖

28、善于反思，她又提出了如下的问题（1） 如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成， 如图 1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少 mm？请你计算（2） 如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图 2，这样，此矩形零件的两条边长就 不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长【答案】（1）240 480mm， mm；（2）pn=60mm， 7 7pq40mm最大【解析】【分析】(1)、设 pq=y（mm），则 pn=2y（mm），ae=80-y（mm），根据平行得 apn abc 相似，根据线段的比值得出 y 的值，然后得出边长；(2

29、)、根据第一题同样的方法得出 y 与 x 的函数关系式，然后求出 s 与 x 的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值.【详解】(1)、设 pq=y（mm），则 pn=2y（mm），ae=80-y（mm） pn bc,=， apn abc 2y=解得 y= 这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm(2)、设 pq=x（mm），pn=y（mm），矩形面积为 s ，则 ae=80-x（mm）.由（1）知= y=则 s=xy= s 有最大值 当 x=40 时，s= =2400（mm2） 此时，y= =60 面积达到这个最大值时矩形零件的两边 pq、pn 长分别是 40 mm ，60 mm 考点：三角

30、形相似的应用8如图，抛物线y =ax2+bx +c的图象过点a(1，0)、b(3，0)、c (0，3).（1） 求抛物线的解析式；（2） 在抛物线的对称轴上是否存在一点 p，使 pac 的周长最小，若存在，请求出点 p 的坐标 pac 的周长；若不存在，请说明理由；（3） 在（2）的条件下，在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 m（不与 c 点重合），使得sdpamsdpac？若存在，请求出点 m 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y =- x2+2 x +3；（2）存在，点p (1，2)，周长为： 10 +3 2 ；（3）存在，点 m 坐标为 【解析】【分析】(1，4)（1）由于条件给

31、出抛物线与 x 轴的交点a（10，）、b（3，0），故可设交点式y（ax +1）（x3），把点 c 代入即求得 a 的值，减小计算量（2）由于点 a、b 关于对称轴：直线x1对称，故有 papb ，则cac +pc +paac +pc +pb dpac，所以当 c、p、b 在同一直线上时，cac +cbdpac最小利用点 a、b、c 的坐标求 ac、cb 的长，求直线 bc 解析式，把x1代入即求得点 p 纵坐标（3）由s sdpam dpac可得，当两三角形以 pa 为底时，高相等，即点 c 和点 m 到直线 pa距离相等又因为 m 在 x 轴上方，故有cm / / pa由点 a、p 坐标求

32、直线 ap 解析式，即得到直线 cm 解析式把直线 cm 解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点 m 坐标 【详解】解：（1） 抛物线与 x 轴交于点a（10，）、b（3，0） 可设交点式y（ax +1）（x3）把点 c（0，3）代入得：3a3 a1 y-（ x +1）（x3） x 2 +2 x +3 抛物线解析式为 y-x2+2 x +3（2）在抛物线的对称轴上存在一点 p，使得dpac的周长最小如图 1，连接 pb、bc 点 p 在抛物线对称轴直线 x1 上，点 a、b 关于对称轴对称p +d =21 papb c ac +pc +pa ac +pc +pb dpac 当 c、p、b 在同

33、一直线上时， pc +pbcb q a（10，）、b（3，0）、c（0，3） ac = 12 +32 = 10, bc = 32 +32 =3 2最小c ac +cb = 10 +3 2 dpac最小设直线 bc 解析式为ykx +3把点 b 代入得：3k +30，解得：k1 直线 bc：y x +3 y 1 +32p 点 p（1，2）使dpac 的周长最小，最小值为 10 +3 2 （3）存在满足条件的点 m，使得s sdpam dpac sdpamsdpacpam pac 当以 pa 为底时，两三角形等高 点 c 和点 m 到直线 pa 距离相等 m 在 x 轴上方cm / / paq a

34、（10，），p（1，2），设直线ap解析式为y px +d-p+d =0 解得： p =1d =1 直线ap：yx +1 直线 cm 解析式为：y x +3qy =x +3y =-x2 +2 x +3x =0 解得： （即点 c）， y =31 点 m 坐标为（1，4）x =12y =42s =【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定 理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法其中第（3）题条件给出点 m 在 x 轴 上方，无需分类讨论，解法较常规而简单9已知，m，n 是一元二次方程 x2+4x+3=0 的两个实数根，且|m| n|，抛物线 y=

35、x2+bx+c 的图象经过点 a（m，0），b（0，n），如图所示（1） 求这个抛物线的解析式；（2） 设（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为 d，求出点 c，d 的坐标， 并判 bcd 的形状；（3） 点 p 是直线 bc 上的一个动点（点 p 不与点 b 和点 c 重合），过点 p 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 m，点 q 在直线 bc 上，距离点 p 为 2 pmq 的面积为 s，求出 s 与 t 之间的函数关系式个单位长度，设点 p 的横坐标为 t，【答案】（1）y =x2-2 x -3；（2）c（3，0），d（1，4） bcd 是直角三角形； 1 3- t 2 +

36、 t (0t3) 2 2（3） 1 3t 2 - t (t0或t3)2 2【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与 x 轴的交点，再判断 boc bed 都是等腰直角三角形，22从而得到结论；（3）先求出 qf=1，再分两种情况，当点 p 在点 m 上方和下方，分别计算即可试题解析：解（1） x2+4 x +3 =0 ，x =-11，x =-32， m，n 是一元二次方程x 2+4 x +3 =0 的两个实数根，且|m|n|， m=1，n=3， 抛物线y =x2-2 x -3的图象经过点 a（m，0），b（0，n），1 -b +c

37、=0 b =-2 ， ， 抛物线解析式为 c =-3 c =-3y =x 2 -2 x -3；（2）令 y=0，则 x2-2 x -3 =0 ，x =-11，x =32， c（3，0），y =x2-2 x -3 = ( x -1)-4， 顶点坐标 d（1，4），过点 d 作 dey 轴， ob=oc=3， be=de=1， boc 和bed 都是等腰直角三角形， obc= dbe=45， cbd=90， bcd 是直角三角形；（3）如图， b（0，3），c（3，0）， 直线 bc 解析式为 y=x3， 点 p 的横坐标为 t，pmx 轴， 点 m 的横坐标为 t， 点 p 在直线 bc 上，点

38、 m 在抛物线上， p（t，t3），m（t， t2-2t -3 ），过点 q 作 qfpm， pqf 是等腰直角三角形， pq=， qf=12当点 p 在点 m 上方时，即 0t3 时，pm=t3（ t2-2t -3 ）= -t2+3t ， s=1 1pmqf=2 2( -t21 3 +3t ) = - t + t2 2，如图 3，当点 p 在点 m 下方时，即 t0 或 t3 时，pm= t2-2t -3 （t3）= t21 1-3t ， s= pmqf= （ t2 22-3t ）=1 3t 2 - t2 2综上所述，s=1 3- t 2 + t (0 t 3) 2 21 3t 2 - t

39、(t 0或t 3) 2 2考点：二次函数综合题；分类讨论10如图，抛物线 y=（x1）2+c 与 x 轴交于 a，b（a，b 分别在 y 轴的左右两侧）两 点，与 y 轴的正半轴交于点 c，顶点为 d，已知 a（1，0）s =( )2( )2（1） 求点 b，c 的坐标；（2） 判 cdb 的形状并说明理由；（1） cob 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度（0t3）得 qpe qpe cdb 重叠 部分（如图中阴影部分）面积为 s，求 s 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围【答案】()b(3，0)；c(0，3)；() dcdb为直角三角形； 3 3 - t 2 +3t (0

40、t ) 2 2() 1 9 3= t 2 -3t + ( t 3) 2 2 2.【解析】【分析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点 b，c 的坐标 （2）分别求 cdb 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判 cdb 为直角三角形 （3） cob 沿 x 轴向右平移过程中，分两个阶段：当 0t32时，如答图 2 所示，此时重叠部分为一个四边形；当32t3 时，如答图 3 所示，此时重叠部分为一个三角形【详解】解：() 点a (-1,0)在抛物线 y =-(x-1)2+c上，0 =- -1-1 +c ，得 c =4 抛物线解析式为： y =- x -1 +4，令 x =0 ，得 y =3 ， c (0,3)；令 y =0 ，得x =-1或x =3，b (3,0).()dcdb为直角三角形.理由如下：由抛物线解析式，得顶点 d 的坐标为(1,4).如答图 1 所示，过点 d 作dm x轴于点 m，2则 om =1 ， dm =4 ，bm =ob -om =2.过点c作cn dm于点n，则cn =1，dn =dm -mn =dm -oc =1.在rt dobc中，由勾股定理得： bc = ob2 +oc 2 = 32 +32 =3 2；在 rt dcnd 中，由勾股定理得： cd = cn 2 +dn 2 = 12 +12