2015年湖北省高考数学试卷(理科)

1、2015 年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 .1（5 分）i 为虚数单位，i607的共轭复数为（ ）ai bi c1 d12（5 分）我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮， 有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒， 则这批米内夹谷约为（ ）a134 石 b169 石 c338 石 d1365 石3（5 分）已知（1+x）n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）a212 b211

2、c210d294（5 分）设 xn（ ，112），yn（ ，222），这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（ ）ap（y ）p（y ） bp（x ）p（x ）2 1 2 1c对任意正数 t，p（xt）p（yt） d对任意正数 t，p（xt）p（y t）5（5 分）设 a ，a ，a r，n3若 p：a ，a ，a 成等比数列；q：1 2 n 1 2 n（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）=（a a +a a +a1 2 2 3n1a ）2n，则（ ）a p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件b p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件c p 是 q

3、的充分必要条件d p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件6（5 分）已知符号函数 sgnx=（x）f（ax）（a1），则（ ），f（x）是 r 上的增函数，g（x）=fasgng（x）=sgnx bsgng（x）=sgnx dsgng（x）=sgnf（x）csgng（x）=sgnf（x）7（5 分）在区间0，1上随机取两个数 x，y，记 p 为事件“x+y ”的概率，1p 为事件“|xy| ”的概率，p 为事件“xy ”的概率，则（ ）2 3ap p p 1 23bp p p 2 31cp p p3 12dp p p 3 218（5 分）将离心率为 e 的双曲线 c 的实半轴长 a

4、 和虚半轴长 b（ab）同时增1 1加 m（m0）个单位长度，得到离心率为 e 的双曲线 c ，则（ ）2 2a对任意的 a，b，e e12b当 ab 时，e e ；当 ab 时，e e1 2 12c对任意的 a，b，e e12d当 ab 时，e e ；当 ab 时，e e1 2 129（5 分）已知集合 a=（x，y）|x2+y21，x，yz，b=（x，y）|x|2， |y|2，x，yz，定义集合 ab=（x +x ，y +y ）|（x ，y ）a，（x ，y ）1 2 1 2 1 1 2 2b，则 ab 中元素的个数为（ ）a77 b49 c45 d3010（5 分）设 xr，x表示不超过

5、 x 的最大整数若存在实数 t，使得t=1，t2=2，tn=n 同时成立，则正整数 n 的最大值是（ ）a3 b4c5 d6二、填空题：本大题共 4 小题，考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分请 将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得 分11（5 分）已知向量 ，| |=3，则 = 12（5 分）函数 f（x）=4cos2 cos（ 数为 x）2sinx|ln（x+1）|的零点个13（5 分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 a 处时测得公 路北侧一山顶 d 在西偏北 30的方向上，行驶 600m 后到达 b 处，测得此山顶在 西偏北 7

6、5的方向上，仰角为 30，则此山的高度 cd= m14（5 分）如图，圆 c 与 x 轴相切于点 t（1，0），与 y 轴正半轴交于两点 a，b （b 在 a 的上方），且|ab|=2（1）圆 c 的标准方程为 ；（2）过点 a 任作一条直线与圆 o：x2+y2=1 相交于 m，n 两点，下列三个结论： = ； =2； + =2 其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）选修 4-1：几何证明选讲15（5 分）如图，pa 是圆的切线，a 为切点，pbc 是圆的割线，且 bc=3pb，则 = 选修 4-4：坐标系与参数方程16在直角坐标系 xoy 中，以 o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建

7、立极坐标系已知直线 l 的极坐标方程为 （sin 3cos ）=0，曲线 c 的参数方程为（ t 为参数），l 与 c 相交于 a，b 两点，则|ab|= 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤17（11 分）某同学用“五点法”画函数 f（x）=asin（ x+ ）（ 0，| | ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： x+02xasin（ x+ ）0 5 5 0（1） 请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数 f（x）的解析 式；（2） 将 y=f（x）图象上所有点向左平行移动 （ 0）个单位长度，得到 y=g（x）的

8、图象若 y=g（x）图象的一个对称中心为（ ，0），求 的最小值18（12 分）设等差数列a 的公差为 d，前 n 项和为 s ，等比数列b 的公比为n n nq，已知 b =a ，b =2，q=d，s =1001 1 2 10（1）求数列a ，b 的通项公式n n（2）当 d1 时，记 c = ，求数列c 的前 n 项和 t n n n19（12 分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱 锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马 p abcd 中，侧棱 pd底面 abcd，且 pd=cd，过棱 pc 的中点 e，作 efpb 交 pb 于点 f，连

9、接 de，df，bd，be（1）证明：pb平面 def试判断四面体 dbef 是否为鳖臑，若是，写出其每个 面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面 def 与面 abcd 所成二面角的大小为 ，求的值20（12 分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 a，b 两种奶制品生产 1 吨 a 产 品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1 吨 b 产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元要求每天 b 产品的产量不超过 a 产品产 量的 2 倍，设备每天生产 a，b 两种产品时间之和不超过 12 小时假定每天可获 取的鲜牛奶数量 w（单位

10、：吨）是一个随机变量，其分布列为w 12 15 18p 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 z（单位：元）是一个随机变量（1） 求 z 的分布列和均值；（2） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超 过 10000 元的概率21（14 分）一种画椭圆的工具如图 1 所示o 是滑槽 ab 的中点，短杆 on 可绕 o 转动，长杆 mn 通过 n 处铰链与 on 连接，mn 上的栓子 d 可沿滑槽 ab 滑动，且 dn=on=1，mn=3，当栓子 d 在滑槽 ab 内作往复运动时，带动 n 绕 o 转动，m

11、 处的 笔尖画出的椭圆记为 c，以 o 为原点，ab 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平 面直角坐标系（1） 求椭圆 c 的方程；（2） 设动直线 l 与两定直线 l ：x2y=0 和 l ：x+2y=0 分别交于 p，q 两点若1 2直线 l 总与椭圆 c 有且只有一个公共点，试探究 opq 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由22（14 分）已知数列a 的各项均为正数，b =n（1+ ）nn na （nn ），e 为自然 n +对数的底数（1）求函数 f（x）=1+xex 的单调区间，并比较（1+ ）n 与 e 的大小；（2）计算 ， ， ，由此推测计算的

12、公式，并给出证明；（3）令 c =（a a a ） n 1 2 nt es n n，数列a ，c 的前 n 项和分别记为 s ，t ，证明：n n n n2015 年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 .1（5 分）i 为虚数单位，i607的共轭复数为（ ）ai bi c1 d1【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可【解答】解：i607=i604+3=i3=i，它的共轭复数为：i故选：a【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基 本知识的

13、考查2（5 分）我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮， 有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒， 则这批米内夹谷约为（ ）a134 石 b169 石 c338 石 d1365 石【分析】根据 254 粒内夹谷 28 粒，可得比例，即可得出结论【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为 1534169 石，故选：b【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础3（5 分）已知（1+x）n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）a212b211c210d29【分析】直接利用二

14、项式定理求出 n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果 即可【解答】解：已知（1+x）n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，可得 ，可得 n=3+7=10（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29故选：d【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵 活运用以及计算能力4（5 分）设 xn（ ，112），yn（ ，222），这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（ ）ap（y ）p（y ） bp（x ）p（x ）2 1 2 1c对任意正数 t，p（xt）p（yt） d对任意正数 t，p（xt）p（y t）【分析】直接利用正态分布曲线的

15、特征，集合概率，直接判断即可【解答】解：正态分布密度曲线图象关于 x= 对称，所以 ，从图中容1 2易得到 p（xt）p（yt）故选：c【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平 均数 和标准差 这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质5（5 分）设 a ，a ，a r，n3若 p：a ，a ，a 成等比数列；q：1 2 n 1 2 n（a 2+a 2+a 1 2n12）（a 2+a 2+a 2）=（a a +a a +a2 3 n 1 2 2 3n1a ）2n，则（ ）a p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件b p 是 q 的必要条件，但

16、不是 q 的充分条件c p 是 q 的充分必要条件d p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件【 分 析 】 运 用 柯 西 不 等 式 ， 可 得 ：（ a12 +a 2+a 2 ）（ a 2+a 2 +a 2 2 n 1 2 3 n） （a a +a a +a 1 2 2 3n1a ）2n，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到【解答】解：由 a ，a ，a r，n31 2 n运用柯西不等式，可得：（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）（a a +a a +a 1 2 2 3n1a ）2n，若 a ，a ，a 成等比数列，即有 = =

17、 ， 1 2 n则（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）=（a a +a a +a1 2 2 3n1a ）2n，即由 p 推得 q，但由 q 推不到 p，比如 a =a =a =a =0，则 a ，a ，a 不成等比数列1 2 3 n 1 2 n故 p 是 q 的充分不必要条件故选：a【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定 义法和柯西不等式解题是关键6（5 分）已知符号函数 sgnx=（x）f（ax）（a1），则（ ），f（x）是 r 上的增函数，g（x）=fasgng（x）=sgnx bsgng（x）=sgnx dsgng（x）=sgnf（x）

18、csgng（x）=sgnf（x）【分析】直接利用特殊法，设出函数 f（x），以及 a 的值，判断选项即可【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数 sgnx=f（x）是 r 上的增函数，g（x）=f（x）f（ax）（a1），不妨令 f（x）=x，a=2，则 g（x）=f（x）f（ax）=x，sgng（x）=sgnx所以 a 不正确，b 正确，sgnf（x）=sgnx，c 不正确；d 正确；对于 d，令 f（x）=x+1，a=2，则 g（x）=f（x）f（ax）=x，sgnf（x）=sgn（x+1）= ；，sgng（x）=sgn（x）= ，sgnf（x）=sgn（x+1）=；所以 d

19、 不正确；故选：b【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解 题方法的积累，属于中档题7（5 分）在区间0，1上随机取两个数 x，y，记 p 为事件“x+y ”的概率，1p 为事件“|xy| ”的概率，p 为事件“xy ”的概率，则（ ）2 3ap p p 1 23bp p p 2 31cp p p3 12dp p p 3 21【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率 公式进行计算比较即可【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：p ：d（0， ），f（ ，0），a（0，1），b（1，1），c（1，0）， 1则阴影部分的面积

20、s =111s =112 =1 = ， 2=1 = ，s =1 +3s s s ， 2 3 1即 p p p ， 2 3 1故选：bdx= + lnx| = ln = + ln2，【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键本 题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小8（5 分）将离心率为 e 的双曲线 c 的实半轴长 a 和虚半轴长 b（ab）同时增1 1加 m（m0）个单位长度，得到离心率为 e 的双曲线 c ，则（ ）2 2a对任意的 a，b，e e12b当 ab 时，e e ；当 ab 时，e e1 2 12c对任意的 a，b，e e12d当 ab 时，e

21、 e ；当 ab 时，e e1 2 12【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论 【解答】解：由题意，双曲线 c ：c2=a2+b2，e = ；1 1双曲线 c ：c2 2=（a+m）2+（b+m）2，e =2， = = ，当 ab 时，e e ；当 ab 时，e e ，1 2 1 2故选：b【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础9（5 分）已知集合 a=（x，y）|x2+y21，x，yz，b=（x，y）|x|2，|y|2，x，yz，定义集合 ab=（x +x ，y +y ）|（x ，y ）a，（x ，y ）1 2 1 2 1 1 2 2b，则 ab 中元素

22、的个数为（ ）a77 b49 c45 d30【分析】由题意可得，a=（0，0），（0，1），（0，1），（1，0），（1，0），b=（0， 0），（0，1），（0，2），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，1）， （1，2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，1），（2，2），（1，2），（1， 1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（2，0）， （2，1），（2，2），根据定义可求【解答】解：解法一：a=（x，y）|x2+y21，x，yz=（0，0），（0，1），（0，1），（1，0），（1，0），b=（x，y）|x|2，|y|2，

23、x，yz=（0，0），（0，1），（0，2），（0，1），（0， 2），（1，0），（1，1），（1，2）（1， 1），（1，2）（2，0 ），（2，1）， （2，2）（2，1），（2，2），（1，2），（1，1），（1，0），（1，1）， （1，2），（2，2），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2） ab=（x +x ，y +y ）|（x ，y ）a，（x ，y ）b，1 2 1 2 1 1 2 2ab=（0，0），（0，1），（0，2），（0， 1），（0， 2），（1，0），（1，1）， （1，2）（1，1），（1，2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，1），（2，2）

24、， （1，2），（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（ 2，1），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，3），（0，3），（2，3），（1，3），（1，3），（1，3）， （2，3），（0，3），（3，1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，2）（3，2）（ 3，1），（1，3），（3，1），（3，0），（3，2）共 45 个元素；解法二：因为集合 a=（x，y）|x2+y21，x，yz，所以集合 a 中有 5 个元素，即图中圆中的整点，b=（x，y）|x|2，|y|2，x，yz，中有 55=25 个元素， 即图中正方形 abcd 中的整点，ab=

25、（x +x ，y +y ）|（x ，y ）a，（x ，y ）1 2 1 2 1 1 2 2b的元素可看作正方形 a b c d 中的整点（除去四个顶点），即 774=45 个1 1 1 1故选：c【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要 取得重复的元素10（5 分）设 xr，x表示不超过 x 的最大整数若存在实数 t，使得t=1，t2=2，tn=n 同时成立，则正整数 n 的最大值是（ ）a3 b4 c5 d6【分析】由新定义可得 t 的范围，验证可得最大的正整数 n 为 4 【解答】解：若t=1，则 t1，2），若t2=2，则 t，）（因为题目需要同时成立，则负

26、区间舍去），若t3=3，则 t，），若t4=4，则 t，），若t5=5，则 t，），其中 1.732，1.587，1.495， 1.4311.495，通过上述可以发现，当 t=4 时，可以找到实数 t 使其在区间1，2） ， ） ， ）上， ）但当 t=5 时，无法找到实数 t 使其在区间1，2）， ） ，） ， ） ， ）上，正整数 n 的最大值 4故选：b【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题二、填空题：本大题共 4 小题，考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分请 将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得 分11（5 分）已知向量 ，|

27、|=3，则 = 9 【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案【解答】解：由 ，得 =0，即 （ ）=0，|=3，故答案为：9【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计 算题12（5 分）函数 f（x）=4cos2 cos（x）2sinx|ln（x+1）|的零点个数为 2 【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图 象，求出交点个数即可【解答】解：函数 f（x）的定义域为：x|x1f（x）=4cos2 cos（x）2sinx|ln（x+1）|=2sinx|ln（x+1）|=sin2x|ln（x+1）|，分别画出函数 y=sin2x，y

28、=|ln（x+1）|的图象， 由函数的图象可知，交点个数为 2所以函数的零点有 2 个故答案为：2【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转 化思想的应用13（5 分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 a 处时测得公 路北侧一山顶 d 在西偏北 30的方向上，行驶 600m 后到达 b 处，测得此山顶在 西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 cd= 100 m【分析】设此山高 h（m），在bcd 中，利用仰角的正切表示出 bc，进而在abc 中利用正弦定理求得 h【解答】解：设此山高 h（m），则 bc= h，在abc 中，bac=30，c

29、ba=105，bca=45，ab=600根据正弦定理得解得 h=100 （m）= ，故答案为：100【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用关键是构造三角形，将各个已知 条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间 的联系，列方程或列式求解14（5 分）如图，圆 c 与 x 轴相切于点 t（1，0），与 y 轴正半轴交于两点 a，b （b 在 a 的上方），且|ab|=2（1）圆 c 的标准方程为 （x1）2+（y ）2=2 ；（2）过点 a 任作一条直线与圆 o：x2+y2=1 相交于 m，n 两点，下列三个结论： = ； =2； + =2 其中正确结论的序号是 （

30、写出所有正确结论的序号）【分析】（1）取 ab 的中点 e，通过圆 c 与 x 轴相切于点 t，利用弦心距、半径与 半弦长之间的关系，计算即可；（2）设 m（cos ，sin ），n（cos ，sin ），计算出 值即可【解答】解：（1）圆 c 与 x 轴相切于点 t（1，0）， 圆心的横坐标 x=1，取 ab 的中点 e，|ab|=2，|be|=1，则|bc|= ，即圆的半径 r=|bc|=，圆心 c（1，），、 、的则圆的标准方程为（x1）2+（y）2=2，故答案为：（x1）2+（y）2=2（2）圆心 c（1，），e（0，），又|ab|=2，且 e 为 ab 中点， a（0， 1），b（0

31、， +1），m、n 在圆 o：x2+y2=1 上，可设 m（cos ，sin ），n（cos ，sin ）， |na|=|nb|=， = = ，同理可得= ，=，成立，（）=2，正确+=+（）= ，正确故答案为：【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决 本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题选修 4-1：几何证明选讲15（5 分）如图，pa 是圆的切线，a 为切点，pbc 是圆的割线，且 bc=3pb，则 =【分析】利用切割线定理推出 pa=2pb，利用相似三角形求出比值即可 【解答】解：由切割线定理可知：pa2=pbpc，又 bc=3pb，可得 pa=2pb，

32、在pab 与pac 中，p=p，pab=pca（同弧上的圆周角与弦切角相等）， 可得pabpac， = = 故答案为： 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力选修 4-4：坐标系与参数方程16在直角坐标系 xoy 中，以 o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的极坐标方程为 （sin 3cos ）=0，曲线 c 的参数方程为（ t 为参数），l 与 c 相交于 a，b 两点，则|ab|= 【分析】化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和 双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案【解答】解：由 （sin 3cos

33、 ）=0，得 y3x=0，由 c 的参数方程为 （ t 为参数），两式平方作差得：x2y2=4联立a（|ab|=故答案为：，得），b（，即 ），【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直 线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤17（11 分）某同学用“五点法”画函数 f（x）=asin（ x+ ）（ 0，| | ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： x+02xasin（ x+ ）0 5 5 0（1） 请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数 f（x）的解

34、析 式；（2） 将 y=f（x）图象上所有点向左平行移动 （ 0）个单位长度，得到 y=g（x）的图象若 y=g（x）图象的一个对称中心为（ ，0），求 的最小值【分析】（1）根据表中已知数据，解得 a=5， =2， =从而可补全数据，解得函数表达式为 f（x）=5sin（2x ）（2）由（）及函数 y=asin（ x+ ）的图象变换规律得 g（x）=5sin（2x+2 ）令 2x+2 =k ，解得 x= ，kz令 = ， 解得 = ，kz由 0 可得解【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得 a=5， =2， = 下表：数据补全如 x+02xasin（ x+ ） 0 5 0 50且函数表达式

35、为 f（x）=5sin（2x）（2）由（）知 f（x）=5sin（2x ），得 g（x）=5sin（2x+2 ） 因为 y=sinx 的对称中心为（k ，0），kz令 2x+2 =k ，解得 x= ，kz由于函数 y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令 =，解得 =，kz由 0 可知，当 k=1 时， 取得最小值【点评】本题主要考查了由 y=asin（ x+ ）的部分图象确定其解析式，函数 y=asin（ x+ ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查18（12 分）设等差数列a 的公差为 d，前 n 项和为 s ，等比数列b 的公比为n n nq，已知 b =a ，b =2，q=d

36、，s =1001 1 2 10（1）求数列a ，b 的通项公式n n（2）当 d1 时，记 c = ，求数列c 的前 n 项和 t n n n【分析】（1）利用前 10 项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当 d1 时，由（1）知 c = ，写出 t 、 t 的表达式，利用错位相减法n n n及等比数列的求和公式，计算即可【解答】解：（1）设 a =a，由题意可得 ，1解得 ，或 ，当当时，a =2n1，b =2n1；n n时，a = （2n+79），b =9 ； n n（2）当 d1 时，由（1）知 a =2n1，b =2n nn1，c = = ， nt =1+3 +5 n t

37、 =1 +3 n t =2+ +n+7+5+ +9+7+（2n1）+（2n3）（2n1），+（2n1）=3 ，t =6 n【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注 意解题方法的积累，属于中档题19（12 分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱 锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马 p abcd 中，侧棱 pd底面 abcd，且 pd=cd，过棱 pc 的中点 e，作 efpb 交 pb 于点 f，连接 de，df，bd，be（1）证明：pb平面 def试判断四面体 dbef 是否为鳖臑，若是，写出其每个 面的直角（

38、只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面 def 与面 abcd 所成二面角的大小为 ，求的值【分析】解法 1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出 pbef， defe=e，所以 pb平面 def，即可判断 de平面 pbc，pb平面 def，可知四 面体 bdef 的四个面都是直角三角形，确定直角（2）根据公理 2 得出 dg 是平面 def 与平面 acbd 的交线利用直线平面的垂直 判断出 dgdf，dgdb，根据平面角的定义得出bdf 是面 def 与面 abcd 所成 二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可解法 2）（1）以 d 为原点，射线 da，dc，dp 分

39、别为 x，y，z 轴的正半轴，建立空间直角 坐标系，运用向量的数量积判断即可2）由 pd底面 abcd，所以=（0，0，1）是平面 acdb 的一个法向量；由（）知，pb平面 def，所以=（，1，1）是平面 def 的一个法向量根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案【解答】解法 1）（1）因为 pd底面 abcd，所以 pdbc，由底面 abcd 为长方形，有 bccd，而 pdcd=d，所以 bc平面 pcd而 de 平面 pdc，所以 bcde又因为 pd=cd，点 e 是 pc 的中点，所以 depc而 pccb=c，所以 de平面 pbc而 pb 平面 pbc，所以 pbde又

40、 pbef，defe=e，所以 pb平面 def由 de平面 pbc，pb平面 def，可知四面体 bdef 的四个面都是直角三角形， 即四面体 bdef 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为deb，def，efb，dfb （2）如图 1，在面 bpc 内，延长 bc 与 fe 交于点 g，则 dg 是平面 def 与平面 acbd 的交线 由（）知，pb平面 def，所以 pbdg又因为 pd底面 abcd，所以 pddg而 pdpb=p，所以 dg平面 pbd 所以 dgdf，dgdb故bdf 是面 def 与面 abcd 所成二面角的平面角，设 pd=dc=1，bc=，有 bd= ，在 rt

41、pdb 中，由 dfpb，得dpb=fdb=，则 tan所以 =tandpf= = ，解得故当面 def 与面 abcd 所成二面角的大小为 （解法 2）时， = （1）以 d 为原点，射线 da，dc，dp 分别为 x，y，z 轴的正半轴，建立空间直角 坐标系设 pd=dc=1，bc= ，则 d（0，0，0），p（0，0，1），b（ ，1，0），c（0，1，0），=（ 1，1），点 e 是 pc 的中点，所以 e（0， ， ），=（0， ， ），于是 =0，即 pbde又已知 efpb，而 edef=e，所以 pb平面 def因 =（0，1，1）， =0，则 depc，所以 de平面 pbc

42、由 de平面 pbc，pb平面 def，可知四面体 bdef 的四个面都是直角三角形， 即四面体 bdef 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为deb，def，efb，dfb（2）由 pd底面 abcd，所以 =（0，0，1）是平面 acdb 的一个法向量；由（）知，pb平面 def，所以 量=（ ，1，1）是平面 def 的一个法向若面 def 与面 abcd 所成二面角的大小为则运用向量的数量积求解得出 cos=解得 所以所以 = =，= ，故当面 def 与面 abcd 所成二面角的大小为时， = 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的 垂直的转化，空间角的求

43、解，属于难题20（12 分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 a，b 两种奶制品生产 1 吨 a 产 品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1 吨 b 产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元要求每天 b 产品的产量不超过 a 产品产 量的 2 倍，设备每天生产 a，b 两种产品时间之和不超过 12 小时假定每天可获 取的鲜牛奶数量 w（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为w 12 15 18p 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利z（单位：元）是一个随机变量（1） 求 z 的分布列和均

44、值；（2） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超 过 10000 元的概率【分析】（1）设每天 a，b 两种产品的生产数量分别为 x，y，相应的获利为 z， 列出可行域，目标函数，通过当 w=12 时，当 w=15 时，当 w=18 时，分别求出目 标函数的最大获利，然后得到 z 的分布列求出期望即可（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可【解答】（12 分）解：（1）设每天 a，b 两种产品的生产数量分别为 x，y，相应的获利为 z，则有，如图 1，目标函数为：z=1000x+1200y当 w=12 时，表示的平面区域如图 1，三个顶点分别为 a（0，0），b（2.4，4.8）， c（6，0）将 z=1000x+1200y 变形为，当 x=2.4，y=4.8 时，直线 l