09.刚体的平面运动

1、第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动 刚体平面运动动画一：行星齿轮刚体平面运动动画一：行星齿轮 刚体平面运动动画二：车轮运动情况刚体平面运动动画二：车轮运动情况 9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解 1 1 平面图形平面图形 2 2 运动方程运动方程 tf tfy tfx O O 3 2 1 转角转角 基点基点 O 3 3 运动分析运动分析 =+ 平移坐标系平移坐标系 y xO 平面运动平面运动= =随随 的平移的平移+ +绕绕 点的转动点的转动 yxO O 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法 1 基点法基点法 动点：动点

2、：M 绝对运动绝对运动 ： 待求待求 牵连运动牵连运动 ： 平移平移 MOvvvv OreM 任意任意A,B两点两点 BAAAB vvABvv 动系动系 ： (平移坐标系平移坐标系)yxO 相对运动相对运动 ：绕：绕 点的圆周运动点的圆周运动 O 例例9-1 椭圆规尺的椭圆规尺的A端以速度端以速度vA沿沿x 轴的负向运轴的负向运 动，如图所示，动，如图所示，AB=l。 求：求：B端的速度以及尺端的速度以及尺AB的角速度。的角速度。 sin A BA v v sinl v l v ABA AB 解：解：1 AB作平面运动作平面运动,基点基点: A 。，求求：，已已知知： ABBA vlABv 方

3、向方向 ？大小大小? 2 A BAAB v vvv cot AB vv 例例9-2图所示平面机构中，图所示平面机构中，AB=BD=l=300mm。 在图示位置时，在图示位置时，BDAE，杆，杆AB的角速度为的角速度为=5rad/s。 求：此瞬时杆求：此瞬时杆DE的角速度和杆的角速度和杆BD中点中点C的速度。的速度。 lvvv BDBD s rad 5 l v DE v BD DE s rad 5 l v BD v BDB BD 解：解：1 BD作平面运动，基点：作平面运动，基点：B CDEAB vAEBDlDEBDAB，。求求：已已知知：s5rad,/,mm300 方向方向 ？大小大小? 2

4、l vvv DBBD 杆杆向向右右方方向向沿沿BD vvv CBBC s m 299. 1 22 CDEAB vAEBDlDEBDAB，。求求：已已知知：s5rad,/,mm300 ? 2 3 方向方向 ？大小大小ll vvv CBBC 例例9-3曲柄连杆机构如图所示，曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 。 如曲柄如曲柄OA以匀角速度以匀角速度转动。转动。 r3 的的速速度度。时时点点，求求：当当B 90060 解：解：1 AB作平面运动作平面运动,基点：基点：A 60 33230cosrvv AB 90 0, BAAB vrvv 0 0 B v 。求求：已已知知： BOA vrrAB

5、OA,3 方方向向 ？大大小小? 2 r vvv BAAB 例例9-4 图所示的行星轮系中，大齿轮图所示的行星轮系中，大齿轮固定，半固定，半 径为径为r1 ；行星齿轮；行星齿轮沿轮沿轮只滚而不滑动，半径为只滚而不滑动，半径为r2。 系杆系杆OA角速度为。角速度为。 求：轮求：轮的角速度的角速度 及其上 及其上B，C 两点的速度。两点的速度。 O 210 rrvv ADA 2 1 0 2 1 r r r v DA v ADA 解解: 1 轮轮作平面运动作平面运动,基点：基点：A 02 DAAD vvv 作纯滚动轮已知, 021 OA rr CB vv ,求 CAAC vvv4 作纯滚动轮已知,

6、021 OA rr CB vv ,求 21 22 2rrvvv OBAAB 方向方向 大小？大小？ 221 rrr vvv O BAAB 21 2rrvvv OCAAC 2 2 速度投影定理速度投影定理 BAAB vvv由 沿沿AB连线方向上投影连线方向上投影 AB AABB vv 同一平面图形上任意两点的速度在这两点同一平面图形上任意两点的速度在这两点 连线上的投影相等。连线上的投影相等。 例例9-5 图所示的平面机构中，曲柄图所示的平面机构中，曲柄OA长长100mm， 以角速度以角速度=2rad/s转动。连杆转动。连杆AB带动摇杆带动摇杆CD，并拖，并拖 动轮动轮E沿水平面纯滚动。沿水平面

7、纯滚动。 求：此瞬时点求：此瞬时点E的速度。的速度。 已知：已知：CD=3CB，图示位置时，图示位置时A，B，E三点恰在三点恰在 一水平线上，且一水平线上，且CDED。 解：解： 1 AB作平面运动，基点：作平面运动，基点：A AABB vv OAvB 30cos sm2309. 0 30cos OA vB EOA vEDCDOA。求：。求：已知：已知：, s2rad,mm100 2 CD作定轴转动，转动轴：作定轴转动，转动轴：C sm6928. 03 B B D vCD CB v v 3 DE作平面运动作平面运动 sm8 . 0 30cos 30cos D E DE DDEE v v vv

8、vv EDCDCBCD s rad OA OA ,3,2,mm100已知 E v求 9-3 求平面图形内各点的瞬心法求平面图形内各点的瞬心法 1 定理定理 基点：基点：A MAAM vvv AMvv AM A C v ACv 0 一般情况下一般情况下,在每一瞬时在每一瞬时,平面图形上都唯一平面图形上都唯一 地存在一个速度为零的点。称为瞬时速度中心，地存在一个速度为零的点。称为瞬时速度中心， 简称速度瞬心。简称速度瞬心。 基点：基点：C CMvv MCM 2 平面图形内各点的速度分布平面图形内各点的速度分布 平面图形内任意平面图形内任意 点的速度等于该点随点的速度等于该点随 图形绕瞬时速度中心图

9、形绕瞬时速度中心 转动的速度。转动的速度。 3 3 速度瞬心的确定方法速度瞬心的确定方法 BABA vvvv不不平平行行于于且且的的方方向向已已知知：, B A ABA v v BC AC ABvvv 且,/ MAB ABBA ABAB vvv v vvv 00 瞬时平移瞬时平移( (瞬心在无穷远处瞬心在无穷远处) ) ABvv BA 且且不不垂垂直直于于,/ 纯滚动纯滚动( (只滚不滑只滚不滑) )约束约束 运动方程运动方程( (例例6-6)6-6) try ttrx cos1 sin trv trv y x sin cos1 Cv k 瞬心0 2 刚体平面运动动画二：车轮运动情况刚体平面运

10、动动画二：车轮运动情况 例例9-7 用瞬心法解例用瞬心法解例9-1。 BAB A v lABv , , 求求： 已已知知： BABA vlABv,求：求：已知：已知： 解：解：AB作平面运动，速度瞬作平面运动，速度瞬 心为点心为点C。 sinl v AC v AA AB cot AABB vBCv 例例9-8 矿石轧碎机的活动夹板长矿石轧碎机的活动夹板长600mm ，由，由 曲柄曲柄OE借连杆组带动，使它绕借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。轴摆动，如图所示。 曲柄曲柄OE长长100 mm，角速度为，角速度为10rad/s。连杆组由杆。连杆组由杆 BG，GD和和GE组成，杆组成，杆BG和和

11、GD各长各长500mm。 求：当机构在图示位置时，夹板求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。的角速度。 解解: 1 杆杆DE作平面运动作平面运动,瞬心为瞬心为 C1 mm3591 15sin 0 1 OG GC srad2968. 0 11 EC OE EC vE GE sm066. 1 1 GCv GEG AB GDBCOEAB : ,mm500, srad10,mm100,mm600 求求 已已知知： mm4 .92915sinmm500mm800 OG mm3369 11 OEOCEC 2 杆杆BG作平面运动作平面运动,瞬心瞬心 为为C2 2 GC vG BG 60cos 2 2 2

12、 GC BC vBCv GBGB srad888. 0 60cos AB v AB v GB AB 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 A ：基点：基点 n r t reB aaaa n BA t BAA aaa ABABa A 平面运动平面运动 = 随基点随基点的平移的平移 + 绕基点绕基点A的转动的转动 Axy ：平移动参考系：平移动参考系 例例9-9 如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系 杆以匀角速度杆以匀角速度1绕绕O1转动。大齿轮转动。大齿轮固定，行星轮固定，行星轮 半径为半径为r，在轮，在轮上只滚不滑。设上只

13、滚不滑。设A和和B是轮缘是轮缘 上的上的 两点，点两点，点A在在O1O的延长线上，而点的延长线上，而点B在垂直于在垂直于O1O的的 半径上。半径上。 求：点求：点A和和B的加速度。的加速度。 解解: 1 轮轮作平面运动作平面运动,瞬心为瞬心为 C r l r vO 0 d d t 。求求：纯纯滚滚动动。已已知知： BAOO aarrlOO, 111 1 2 选基点为选基点为 ? 0? 2 2 2 1 方向 大小rl aaaa n AO t AOoA )1 ( 2 1 2 1 2 2 1 00 r l l r l l aaa n AA 。求求：纯纯滚滚动动。已已知知： BAOO aarrlOO,

14、 111 1 ? 0? 3 22 1 方方向向 大大小小 rl aaaa n BO t BOoB 2 2 1 2 2 1 r l l aaa n BOoB l r a a Bo o arctanarctan 0 。求求：纯纯滚滚动动。已已知知： BAOO aarrlOO, 111 1 例例9-10如图所示，在椭圆规机构中，曲柄如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以以 匀角速度匀角速度绕绕O 轴转动。轴转动。ODADBDl。 求：当时，尺求：当时，尺AB的角加速度和点的角加速度和点A的加速度。的加速度。 60 解解: 1 AB作平面运动作平面运动,瞬心为瞬心为 C 。求求： 已已知知： AAB O

15、D a lBDADODC , ,60, 0 l l CD vD AB 轴投影轴投影轴和轴和分别沿分别沿 n ADDA aaa2coscos sincossin0 n AD t ADD aaa 0 0 2 AD a a la t AD AB t AD A 解解得得 2 2laD D 为基点，为基点，选选 。求求： 已已知知： AAB OD a lBDADODC , ,60, 0 方向方向 大小？大小？ 22 ?ll aaaa n AD t ADDA 求：车轮上速度瞬心的加速度。求：车轮上速度瞬心的加速度。 例例9-11 车轮沿直线滚动。已知车轮半径为车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R， 中心中心O

16、的速度为，加速度为的速度为，加速度为,车轮与地面接触车轮与地面接触 无相对滑动。无相对滑动。 O v O a 解解: 1 车轮作平面运动车轮作平面运动,瞬心瞬心 为为 C 3 3 选选为基点为基点 。求求：已已知知： COO avaR, R vO 2 Rt v Rt OO d d1 d d ？方方向向 ？大大小小 2 RR O n CO t COOC 2 R n COC 9-5 9-5 运动学综合应用举例运动学综合应用举例 1 1 运动学综合应用运动学综合应用 ： 机构运动学分析机构运动学分析 2 2 已知运动机构已知运动机构 未知运动机构未知运动机构 连接点运动学分析 3 3 连接点运动学分

17、析连接点运动学分析 平面运动铰链连接 合成运动接触滑动 求：该瞬时杆求：该瞬时杆OA的角速度与角加速度。的角速度与角加速度。 例例9-12图示平面机构，滑块图示平面机构，滑块B可沿杆可沿杆OA滑动。滑动。 杆杆BE与与BD分别与滑块分别与滑块B铰接，铰接，BD杆可沿水平轨道杆可沿水平轨道 运动。滑块运动。滑块E以匀速以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆沿铅直导轨向上运动，杆BE长长 为。图示瞬时杆为。图示瞬时杆OA铅直，且与杆铅直，且与杆BE夹角为。夹角为。 l 2 45 解解: 1 杆杆BE作平面运动作平面运动,瞬心在瞬心在O点点 l v OE v BE vOBv BEB 。，求求： 。已已知知：

18、 OAOA E OEOAOBElBECvv ,45,2, 取取E为基点为基点 方向方向 大小大小BE aaaa E n BE t BEE B 2 ?0? 沿沿BE方向投影方向投影 l va a l v aa n BE B n BEB 2 2 2 45cos 2 45cos 。，求求： 。已已知知： OAOA E OEOAOBElBECvv ,45,2, 绝对运动绝对运动 ： 直线运动直线运动(BD) 相对运动相对运动 ：直线运动：直线运动(OA) 牵连运动牵连运动 ： 定轴转动定轴转动(轴轴O) 动点动点 ：滑块：滑块B 动系动系 ： OA杆杆 方方向向 大大小小?v vvv re a 沿沿B

19、D方向投影方向投影 l v OB v v vvv e OAr ae 0 。，求求： 。已已知知： OAOA E OEOAOBElBECvv ,45,2, 方方向向 大大小小? 2 2 2 l l v aaaa OA r n ee a 沿沿BD方向投影方向投影 2 2 2 2 2 l v OB a l v aa t e OA a t e 。，求求： 。已已知知： OAOA E OEOAOBElBECvv ,45,2, 求：此瞬时杆求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。的角速度及角加速度。 例例9-13 在图所示平面机构中，杆在图所示平面机构中，杆AC在导轨中以在导轨中以 匀速匀速v平移，通过铰链平

20、移，通过铰链A带动杆带动杆AB沿导套沿导套O运动，导套运动，导套O 与杆与杆AC距离为距离为l。图示瞬时杆。图示瞬时杆AB与杆与杆AC夹角为。夹角为。 60 解解: 1 动点动点 ： 铰链铰链A 动系动系 ： 套筒套筒O 绝对运动绝对运动 ： 直线运动直线运动(AC ) 相对运动相对运动 ： 直线运动直线运动(AB ) 牵连运动牵连运动 ： 定轴转动定轴转动(轴轴O ) ABABAC lCvv,60,求求：已已知知： 方向方向 大小大小? 2 v vvv rea 2 60cos 2 3 60sin v vv vvv ar ae l v AO ve AB 4 3 ABABAC lCvv,60,求

21、求：已已知知： 方向方向 大小大小 reo Cr n e t e vAO aaaaa a 2?0 2 方向投影沿 t e a l v aa aa c t e C t e 4 3 0 2 2 2 8 33 l v AO a t e AB ABABAC lCvv,60,求求：已已知知： 另解另解: 1 取坐标系取坐标系xoy 2 A点的运动方程点的运动方程 cotlxA 3 速度、加速度速度、加速度 vlxA 2 sin 2 sin l v 2sinsin2sin 2 2 2 l v l v 2 sin l v AB 从从而而 2 2 8 33 l v AB ABABAC lCvv,60,求求：已

22、已知知： 例例9-14 图所示平面机构，图所示平面机构，AB长为长为l，滑块，滑块A可沿可沿 摇杆摇杆OC的长槽滑动。摇杆的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度以匀角速度绕轴绕轴O转动，转动， 滑块滑块B以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅铅 直，直，AB与水平线与水平线OB夹角为。夹角为。 求：此瞬时求：此瞬时AB杆的角速度及角加速度。杆的角速度及角加速度。 lv 30 解解: 1 杆杆AB作平面运动，基点作平面运动，基点 为为B ABBA vvv n AB t ABBA aaaa ABABBOC OBOClvClAB，。求求：已已知知：, 动点动点 ： 滑块滑块A 动

23、系动系 ： OC杆杆 绝对运动绝对运动 ：未知：未知 相对运动相对运动 ：直线运动（：直线运动（OC） 牵连运动牵连运动 ：定轴转动（轴：定轴转动（轴O） 方方向向 大大小小?lOA vvvvv ABBreA 方向投影方向投影沿沿 B v 2 30sin 0 l vvv eABB ABABBOC OBOClvClAB，。求求：已已知知：, lvvv eBAB 2 l vAB AB 方方向向投投影影沿沿 r v lvv ABr 2 3 30cos 0 方向 大小lv l aaaaaaaa ABrAB n AB t ABBCr n e t eA 22 ?02? 2 0 ABABBOC OBOClv

24、ClAB，。求求：已已知知：, 方向投影方向投影沿沿 C a 00 30cos30sin n AB t ABC aaa 2 33la t AB 从从而而 2 33 AB a t AB AB 例例9-15 在图所示平面机构中，杆在图所示平面机构中，杆AC铅直运动，铅直运动， 杆杆BD水平运动，水平运动，A为铰链，滑块为铰链，滑块B可沿槽杆可沿槽杆AE中的直槽中的直槽 滑动。图示瞬时滑动。图示瞬时 。 22 mm/s10,mm/s50,mm/s310 ,mm/s310,30,mm60 BBA A ava vAB 求：该瞬时槽杆求：该瞬时槽杆AE的角速度的角速度 、角加速度及滑块、角加速度及滑块B 相对相对AE的加速度。的加速度。 解：解：1、动点：滑动、动点：滑动B,动系：杆动系：杆AE )( )( baaaa avvv Crea rea BrAEAE BBA A v ava vAB , ,smm10, smm50,smm310