中心极限定理教学设计

1、概率论与数理统计教学设计课程名称经济应用数学 C课时50+50=100 分钟任课教师李飞专业与班级人力资源管理 B1601-02市场营销 B1601课型新授课课题中心极限定理学习 目 标知识与技能掌握棣莫弗拉普拉斯中心极限定理和列维林德伯 格中心极限定理 （ 独立同分布中心极限定理 ） 的结论和 应用条件，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概 率;过程与方法1. 中心极限定理产生的历史背景。2. 中心极限定理的提法 .3. 林德伯格 勒维中心极限定理4. 隶莫弗拉普拉斯定理5. 林德贝格中心极限定理6. 李雅普诺夫中心极限定理7. 中心极限定理在管理中的应用情感态度与价 值观1. 培养学生能

2、够自觉地用极限定理的视角观察生活，将 统计方法用于分析和探讨生活中的实际问题，提高认知 能力和水平 .2. 中心极限定理名称的得来是由于随机变量和的分布 收敛于正态分布的极限定理的研究在长达两个世纪的 时间内成了概率论研究的中心课题，因此也得到了中心 极限定理的名称3. 让学生懂得，量变与质变的辩证关系。 .教学分析教学内容1. 中心极限定理产生的历史背景。2. 中心极限定理的提法 .3. 林德伯格 勒维中心极限定理4. 隶莫弗拉普拉斯定理5. 林德贝格中心极限定理6. 李雅普诺夫中心极限定理7. 中心极限定理在管理中的应用教学重点1. 隶莫弗拉普拉斯定理；2. 李雅普诺夫中心极限定理 ;教学

3、难点1. 隶莫弗拉普拉斯定理；2. 李雅普诺夫中心极限定理 ;教学方法 与策略课堂教学设计思路本课从随机变量序列的各种收敛与它们间的关系谈起， 通过对概率论的经典定理中心极限定理在独立同分 布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述， 揭示了随机现象最根本的性质平均结果的稳定性经 过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的 分布可以用正态分布来表示的理论依据同样中心极限 定理的内容也从独立同分布与独立不同分布两个角度 来进行讨论 ; 最后给出了一些中心极限定理在数理统 计、管理决策、近似计算、以及保险业等方面的应用， 来进一步地阐明了中心极限定理在各分支学科中的重 要作用和应用价值板

4、书设计教学进程教学意图教学内容教学环节1.极大似然估计的原理与思想（ 10 分钟）概率统计学是一门研究随机现象统计规律性1 的数学学科，它的应用十分广泛，涉及自然科学、社会经济 学科、工程技术及军事科学、农医学科、企业管理部门 等而大数定律和中心极限定理是概率论中最重要的内时间： 10 分 钟中心极限定 理的提法容之一，甚至可以说概率论的真正历史开始于极限定理 的研究，在这以前概率论还仅局限于古典概率的直接计 算，而且主要是赌博中的概率计算 2 极限定理最早的 成果有 : 伯努利大数定律，棣莫佛一拉普拉斯定理和泊 松定理，这些定理开辟了概率论中的重要研究方向大 数定律、中心极限定理及以正态分布

5、和泊松分布为代表 的无穷可分分布的研究概率论中讨论随机变量序列部 分和的分布渐近于正态分布的一类定理是概率论中最 重要的一类定理，有广泛的实际应用背景在自然界与 生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影 响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响 可以看作是服从正态分布的中心极限定理就是从数学 上证明了这一现象最早的中心极限定理是讨论n 重伯努利试验中，某事件 A出现的次数渐近于正态分布的问 题 1716 年前后，棣莫佛对 n 重伯努利试验中每次试 验事件 A 出现的概率为 1/2 的情况进行了讨论，随后， 拉普拉斯和李亚普诺夫等进行了推广和改进自莱维在 1919-1925 年系统

6、地建立了特征函数理论起，中心极限 定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定 理和局部极限定理等无论是在概率论的发展史上还是 在现代概率论中，极限定理的研究都占特别重要的地 位，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完 美长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分 析方法，影响着概率论的发展同时新的极限理论问题 也在实际中不断产生这样中心极限定理在概率论中占 有重要的地位，同时极限定理的研究引起了现代概律论 的发展，并且在统计分析和近似计算等方面具有一定的 应用，所以中心极限定理的研究具有一定的理论和实际 意义直观上，如果一随机变量决定于大量 （ 乃至无穷多 个） 随机因素的总合，

7、其中每个随机因素的单独作用中心极限定 理的名称最 早是由仆里 耶 （1920 年 ） 提出来的，中 心极限定理 的一般形式 最早是 由切 比雪夫 （1821 年 1894 年） 提出来的下 面我们介绍 四个主要定 理 :1） 林德伯 格一勒维定 理 2） 棣莫弗 一拉普拉斯 定理 2） 林德 伯格定理 3） 李雅普诺夫 定理其中林 德伯格定理 是最一般的，微不足道，而且各因素的作用相对均匀，那么它就服从( 或近似地服从 ) 正态分布，下面我们将按严格的数学形 式来表述这一直观在许多情形下， 一随机变量 X 可以表示为或近似地表示为大量独立随机变量之和，X 1 2 n (a)这里，每个 i 直观

8、上表示一种随机因素的效应，假如式 (a) 包含了决定 X 的充分多的随机因素的效应 ( 即 nn 充分大 ) ，则 i 的分布就近似于 X 的分布中心极 i1限定理就是要说明，在什么条件下大量独立随机变量之 和近似地服从正态分布， 即， 在什么条件下， 当 n 时，独立随机变量之和的极限分布是正态分布的其它情形可 以看作它的 推论累计 10 分钟引入中心极 限定理的基 本思想中心极限定理有多种不同的形式，它们的结论相 同，区别仅在于加在各被加项1 , 2, 上的条件不同独立同分布随机变量列的中心极限定理，是中心极 限定理最简单又最常用 （ 特别在数理统计中 ） 的一种形 式，通常称做林德伯格

9、勒维定理历史上最早的中心极限定理一棣莫弗一拉普拉斯 （ 积分 ） 定理是它的特 殊情形设 k（k 1,2, ） 的方差 D ，大于 0，令nak E k,b2 D k, Bn2bk2k1（1）我们说，随机变数列 k 服从中心极限定理，如 果关于 x R1 均匀的有t21 n 1 x t2 lim P （ k ak ） x e 2 dt. nBn k 1 k k 2（2）时间 :5 分钟用足球比赛 事件引 入达 到以下目的： 吸引学生 注意力， 使学 生尽快进入 上课状态； 帮助学生深 入浅出的理 解极大似然 估计的基本 思想.累计 20 分钟1n(2) 表示：随机变量数 ( k ak) 的分布

10、函Bn k 1数关于 x均匀的趋于正态分布 N (0,1) 的分布函数教学意图教学内容教学环节独立同分布的两个定理：林德伯格 勒维中心极限定理设 x1,x2, ,xn, 相互独立，服从同一分布，具 有数学期望和方差： E(xi ) ,Var ( xi )2 0. 记YX1 X 2 . Xn nYnn则对任意实数 y ，有1 y t2lim p(Yn y) (y) e 2 dt. n2(3)证明 为证( 1)式，只须证 Yn* 的分布函数列 若收敛于标准正态分布又由定理4 3 43 ，只须证Yn* 的特征函数列 收敛于标准正态分布的特征 函 数为此设 Xn的特征函数为 (t) ，则Yn* 的特征

11、函时间 20 分钟提问：如何度 量样本值出现的可能性？数为又因为 E( Xn2(0) 0 ，(0)于是特征函数 (t) 有展开式林德伯格 勒维中心(t ) (0) (0)t(0)t2(t2)1 12 2t2(t2)从而有lim Y* (t)nnlim 1 nt22n(nt2)nt2t2而e 2正是 N (0,1)分布的特征函数，定理得证例 1 某汽车销售点每天出售的汽车辆数服从参数为2 的泊松分布 若一年 365 天都经营汽车销售 , 且每 天出售的汽车数是相互独立的 , 求一年中售出 700 辆以 上汽车的概率解: 设 x某汽车销售点每天出售的汽车辆数 ,则Y x1 x2x365 , 为 一

12、 年 的 总 销 量 由E(xi ) Var ( xi ) 2E(Y) Var (Y) 365 2 730 利用林德贝格 - 勒 维中心极限定理可得,700 730P(Y 700) 1 P(Y 700) 1 ( ) 1730这表明一年中售出 700 辆以上汽车的 概率为08665( 111) 0.86累计 40 分钟隶莫弗拉普拉斯定理（ 10 分钟）教学意图教学内容教学环节在 n 重贝努里试验中，事件 A 在每次试验中出现 的概率为 p（ 0p1）， n为 n次试验中事件 A出现的次 数，且记时间 10 分钟Ynnp且对任意实数 y ，有nlim p(Yny)n此定理由定理1 马上就得出， 也

13、就是说定理 2 是定主要依据上 边的例题，归 纳总结离散 型总体下似 然函数的构 建.理 1 的推论隶莫弗 拉普拉斯定 理例 2 某保险公司多年的统计资料表明 , 在索赔户中 被盗索赔户占 20,以 x表示在随意抽查的 100 个索赔 户中因被盗向保险公司索赔的户数(1) 写出 x 的分布列 ;(2) 求被盗户不少于 14 户且不多于 30 户的概率近 似值解 :(1) x 服 从 n 100,p 0.2 的 二 项 分 布 b(100,2) ,即p(x k) n 0.2k0.8100 k ,k 1,2, ,nk(2) 利用隶莫弗 - 拉普拉斯中心极限定理 , 有p(14 x 30) p(13

14、.5 x 30.5)30.5 100 0.2)0.8)( 100 0.2(13.5( 100(2.625) ( 1.625) (2.625) 1 (1.625) 0.99565100 0.20.2 0.81 0.9480.9437累计 50 分钟这表明被盗户不少于 14户且不多于 30 户的概率近似值 为 0 9437课间休息 10 分钟3. 极大似然估计法应用（ 15 分钟）教学意图教学内容教学环节对于独立同分布随机变量序列1, 2, 只要它们的方差有穷，中心极限定理就成立而在实际问题中说 诸 i 具有独立性是常见的， 但是很难说诸 i 是“同分布” 的随机变量， 正如前面提到的测量误差 Y

15、n 的产生是由大时间 5 分钟林德贝格中心极限定理量“微小的”相互独立的随机因素叠加而成的，即nYni 则 i 间具有独立性，但不一定同分布，所以i1我们有必要讨论独立不同分布随机变量和的极限分布 问题，目的是给出极限分布为正态分布的条件林德伯 格 (Lideberg) 于 1922 年找到了独立随机变量服从中心 极限定理的最一般的条件，通常称做林德伯格条件231 林德贝格中心极限定理设独立随机变量序列 X n 满足林德贝格条件， 则对任意的 x ，有21 n 1 x t2lim P( X i i ) x e 2 dt .nBn i 1 2为证此，先证下列三个不等式：对任意实数a ，有eia

16、1 a ；(4)2ia ae 1 ia2!(5)ia a ae 1 ia2 3!(6)实际上，对 a 0 上三式明显设 a 0 ，则ia a ixe 1 e dx a ；0通过指数分 布(连续型) 参数的极大 似然估计，进 一步巩固极 大似然估计 的方法与步 骤，同时体现 极大似然估 计法在工作 生活中有着 很广泛、很重 要的应用 .ia a ix aa2eia 1 ia（ eix 1）dx xdx ；0 0 2!iaa2a ixia ixe 1 ia （e 1 ix ）dx22 a ix a x a e 1 ixdx dx 0 0 2! 3!利用 eia cosa i sin a ，可见（

17、4）（5）（6）方都 是 a 的偶函数，故他们对 a 0 也成立累计 15 分钟李雅普诺夫中心极限定理时间 15 分钟如对独立随机变数列k，存在常数0 ，使当 n 时有221n EB2 n k 1 Ekak0（25）则（ 2）对 x 均匀的成立证只要验证林德贝格条件满足，由（25）1n2B2nk1 xakBn(xak) dFk(x)1n22x a Bx ak2 dFk(x)B2n( B)k1x ak Bn211n2Ek ak0,(n )B2 nk1李雅普诺夫中心极限定例3 一份考卷由 99个题目组成 ,并按由易到难顺理序排列 某学生答对第 1题的概率为 099; 答对第 2题的概率为 098;

18、 一般地，他答对第i 题的概率为 1 i 100, i 1,2,L 加入该学生回答各题目是相互独 立的，并且要正确回答其中 60 个题目以上 (包括 60 个) 才算通过考试试计算该学生通过考试的可能性多大？解设1，若学生答对第 i题；Xii0，若学生答错第 i 题.于是 Xi 相互独立，且服从不同的二点分布：p( Xi 1) pi 1 i 100, p(Xi 0) 1 pi i 100,i 1,2, ,99而我们要求的是99p( Xi 60) i1为使用中心极限定理，我们可以设想从 X100 开 始的随机变量都与 X99 同分布且相互独立下面我们 用 1 来验证随机变量序列 X n 满足李雅

19、普诺夫条 件( 25)，因为BnVar(Xi)pi (1 pi ),(n )i 1 i 13 3 3E(Xi pi 3) pi3(1 pi) pi(1 pi)3 pi(1 pi)， 于是1 n 3 1B13E(Xi pi 3)n 1 12 0Bn i 1 npi (1 pi)i1(n ) ，即 X n 满足李雅普诺夫条件 (25)，所以可以使用中心极限定理又因为999999iE( Xi )pi(1 i ) 49.5i1i 1i 11009999B929Var(Xi )(1 i )( i ) 16.665i 1i 1100 100所以该学生通过考试的可能性为9999 Xi 49.599 i 1

20、i 60 49.5p( Xi 60) p i 1 60 49.5i 1 i 16.66516.6651 (2.5735) 0.005 由此看出： 此学生通过考试的可能性很小， 大约只有千分之五累计 30 分钟中心极限定理在商业管理中的应用（ 20 分钟）教学意图教学环节假设某高校有学生 5000 人，只有一个开水房，由时间 10 分钟于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向学校后勤集团公司提议增设水龙头假设后勤集团公司经过调查，发现每个学生在傍晚一般有 1的时间要占用一个水龙头，现有水龙头数量为 45 个，现在总务处遇到的问题是：（1）未新装水龙头前，拥挤的概率是多

21、少？提问，请学生（ 2）需至少要装多少个水龙头，才能以95以上思考.的概率保证不拥挤？解：（ 1）设同一时刻， 5000 个学生中占用水龙头的人数为 X ，则水房拥挤问题X B（ 5000，0 01）拥挤的概率是p(4545) 1 p(0 45) 1C5k000 0.01k 0.k05000 k99直接计算相当麻烦，我们利用隶莫佛 - 拉普拉斯定理 已 知 n=5000,p=0 01 ， q=0 99 ，np50, npq 7.04.故45 50 0 50 P(0 45)7 .047.04从而 p( 45) 1 0.2389 0.7611 怪不得同学们有不少的抱怨拥挤的概率竟达到76 11%(

22、 2)欲求 m，使得P(045) 0.95即m 500 500.957.04 7.04由于0 507.09 07.04即m 500.957.04m 50 1.645 查标准正态分布表， 得7.04即 m 61.6故需要装 62 个水龙头问题的变形：( 3)需至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？解：欲求 m，使得0.71 7.0.2389.P（045） 0.99即m 500 500.997.04 7.04由于0 507.09 0 767.04即m 500.997.04查标准正态分布表，得 m 502.3257.04即 m 66.4故需要装 67 个水龙头（ 4）若条件中已有水

23、龙头数量改为 55 个，其余的条件不变 ,1,2 两问题结果如何？解 ： （ 1 ）55 50p（ 55） 1 （ ） 1 （0.71） 0.2389 7.04（ 2） 同上（ 5）若条件中的每个学生占用由 1%提高到 15%，其余的条件不变，则（ 1），（ 2）两问题结果如何 ?解： （1） 设同一时刻， 5000 个学生中占用水龙头的人数为 X ，则X B(5000， 0 015)，已 知 n=5000,p=0 015 ， q=0 985 ， np 75, npq 8.60.拥挤的概率是 45 75P( 45) 1 1 3.49 1.8.60拥挤的概率竟达到 100%(2) 欲求 m，使得

24、P(0 45) 0.95即m 75 0 750.958.60 8.60由于 0 75 08.60即m 750.958.60查标准正态分布表，得 m 75 1.6458.60即 m 89.14故需要装 90 个水龙头累计 40 分钟盈利问题盈利问题 5 ：假设一家保险公司有 10000 个人参加 保险，每人每年付 12 元保险费，在一年内一个人死亡 的概率为 0006，死亡时， 家属可向保险公司领得 1000 元，问(1)保险公司亏本的概率有多少？( 2)保险公司一年的利润不少于 40000 元，60000 元， 80000 元的概率各为多少？解： 设 X 为一年内死亡 的 人数 ，则 X B(10000,1.06) ，即由德莫佛拉普拉斯中心极限定理(1) 1 (7.77) 0. 7