高考数学必备—高考数学100个热点问题—第18炼 利用导数解函数的最值

1、高考资源网（） 您身边的高考专家第18炼 函数的最值一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最大值点，称为函数的最大值（2）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最小值点，称为函数的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。例如：，由单调性可得有最小值，但由于取不到4，所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到。没有最大值。（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如，其最大值点为，有无穷多个。2“

2、最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间上的函数的图象图中与是极小值，是极大值函数在上的最大值是，最小值是（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值3、结论：一般地，在闭区间上函数的图像

3、是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求在内的极值；（2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础 7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点（2）极小值点不会是最大值点，极大值点

4、也不会是最小值点8、最值点的作用（1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：，可通过导数求出，由此可得到对于任意的，均有，即不等式二、典型例题：例1：求函数的最值思路：首先判定定义域为,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值解：，令,解得：的单调区间为：，无最小值小炼有话说：函数先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。例2：已知函数,是的一个极值点，求：（1）实数的值（2）判断在区间上是否存在最大值和最小值解：（1） 是的一个极值点（2）思路，由第（1）问可得，进而求出单调区

5、间得到最值解： ,令,解得：或的单调区间为：计算 小炼有话说：在本题中，最小值的求解尽管不在所给区间中，但也需要代入到中计算，此时计算出的是函数左边界的临界值，如果，则函数就不存在最小值了。所以在求定义域为开区间的函数最值时，也要关注边界处的临界值。例3：已知函数,是否存在实数，使得在上取得最大值，最小值若存在，求出的值，若不存在，请说明理由思路：利用求出函数的单调区间，在根据单调区间判断最大最小值点的可能位置，进而根据最大最小值解出解：，（1）当时， 在单调递减 （2）当时， 在单调递增 或小炼有话说：本题在求最值时由于函数带有参数，从而在解单调区间的过程中涉及到对参数的分类讨论。从而确定最

6、值的选取（有关含参数单调区间的计算详见2.1）例4：求函数()的最值思路一：考虑去掉绝对值得到一个分段函数，在利用导数求出每段的最值，再进行比较解： 恒成立 当时，可得：在单调递增，在单调递减时,当时，在单调递减， 当时，可得函数的最值为，思路二：考虑先求出绝对值里表达式的值域，然后在加上绝对值求出最值。解：令 ,令，解得:或的单调区间为：的值域为 的值域为 ，小炼有话说：（1）第一种方法为处理含绝对值函数的常用方法，绝对值的函数中若绝对值内部比较简单，则通常先通过讨论绝对值内部的符号，将函数转化成为分段函数进行分析，而求分段函数的最值时可分别求出每一段的最值再进行比较（2）第二种方法用于当绝

7、对值内部的符号不易确定时（例如绝对值为0的点不好确定），也可考虑先求出内部的取值范围，再取绝对值进而得到值域。例5：已知函数的定义域为，求在上的最值思路：的单调区间可通过导数来确定，,是的极值点，而极值点是否在会影响最值点的选取，从而要依次进行分类讨论解：，令解得在单调递减，在单调递增 为的极小值点（1）当时，在单调递增 （2）当时， 在单调递减，在单调递增 下面比较的大小若时，当时，当时，综上所述：时，时，时，时，例6：已知函数在区间上取得最小值4，则_思路一： 函数的定义域为，当时，当时，为增函数，所以，矛盾舍去；当时，若，为减函数，若，为增函数，所以为极小值，也是最小值；当，即时，在上单

8、调递增，所以，所以（矛盾）；当，即时，在上单调递减，所以当，即时，在 上的最小值为，此时（矛盾）综上思路二：，令导数，考虑最小值点只有可能在边界点与极值点处取得，因此可假设分别为函数的最小值点,求出后再检验即可。答案：小炼有话说：（1）思路一为传统解法，即考虑函数是否有极值点，以及结合函数单调性分析最小值点的位置，但由于函数含有参数，导致解单调区间和极值点时要进行分类讨论，过程较为复杂（2）思路二的想法源于最值点的出处，即最值点只会在边界点与极值点处产生，而本题中的边界点与可能的极值点个数较少，故采取先算再验的手段，方法比较简便。例7：已知函数在上是增函数，函数.当时，函数的最大值与最小值的差

9、为，则_.思路：含有绝对值，故考虑利用分段函数去掉绝对值后寻找最值，先利用的条件确定的取值范围，由在上是增函数可得对任意的，恒成立 ，而，绝对值的分界点为，由及定义域需对是否在区间中进行分类讨论（1）当时，则 ，可判断出为减函数 ，故舍去（2）当时，时，单调递减，当时单增，。，所以。所以，从而有，解得。答案：例8：若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 思路：观察到真数部分为开口向上的抛物线，所以若取到最小值，则底数且 真数取到最小值，而真数部分恒大于零，所以只需有大于零的最小值即可。，从而，解得，另一方面，所以 答案：C例9：已知在区间上任取三个不同的数,均存在以为边长的三角形,则的取值范围是.思路：考虑三角形成立的条件：两条较短的边的和大于第三边，由于任取， 也可取值域中的任意值。要保证能构成三角形，满足两个条件： 均大于零，即， 极端情形短边均取最小值，和大于第三边即可。