数学基础知识大全选修--

1、第一卷数学基础知识大全第一编：选修2-1第1章 ：常用逻辑用语 课程标准： （1）命题及其关系 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。 （2）简单的逻辑联结词 通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。 （3）全称量词与存在量词 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义。 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 第一节 命题及其关系课标解读（1） 了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若，则”的形式；进一步理解命题的概念。（2） 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题

2、的相互关系。知识清单一、 命题1、命题的概念：在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题。说明：（1）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准必须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一。（2）判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件。（3）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的真假。如：-2ab0）和定点A(0, b), B(0, -b), C是椭圆上的动点, 求ABC的垂心H的轨迹方程。解：设椭圆上C点(acos, bsin)，又A(0, b)、B(0, -b)。AC边

3、的高线的方程为：y = b ,而AB边的高线的方程为：y = bsin ,设H(x, y)，则点H适合 即 ，由cos + sin = 1得+= 1。又点C不能与A、B重合，所以y b 。故所求的轨迹方程为：+= 1 （x 0）。（9）极坐标法；根据题意建立极坐标系，引入动点的极坐标，寻找动点变量间的等量关系而求出动点轨迹的极坐标方程，再化极坐标方程为普通方程。如：已知AOB =2(0 2c)。若 ，,则点P的轨迹为椭圆。若 ，,则点P的轨迹为线段。若 ，,则点P的轨迹不存在。2、 标准方程及推导：取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）.则，又设M与距离

4、之和等于()（常数），化简，得 ，由定义,令代入，得 ，两边同除得 此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程 其中注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程 如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）焦点则变成,只要将方程中的调换，即可得，也是椭圆的标准方程 综上，方程叫做椭圆的标准方程，焦点在轴上，焦点是。方程 叫做椭圆的标准方程，焦点在y轴上，焦点是。说明：辨析焦点分别在轴、轴上的椭圆的标准方程的异同点:区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较与项分母的大小即可若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上反之亦然联系：它们都是二元二次方程，共

5、同形式为两种情况中都有3、椭圆的第二定义当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率对于椭圆，相应于焦点的准线方程是根据对称性，相应于焦点的准线方程是对于椭圆的准线方程是可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为；左焦半径公式为4、椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。焦点三角形的周长为定值：2a+2c。性质二：已知椭圆方程为左右

6、两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。证明：设,由焦半径公式可知：，在中， = 性质三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得： 命题得证。（2000年高考题）已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,于是得到的取值范围是性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。 由正弦定理得：由等比定理得：而， 。5、 求椭圆的标准方程的方法：（1） 待定系数法：定、设、求。定：焦点位置；设：椭圆方程（椭圆经过两点，设方程为）；求：a、b的值。（2） 定义法2、 椭圆的几何

7、性质范围：椭圆位于直线xa, yb所围成的矩形里原因：由标准方程可知，椭圆上的点的坐标（x,y）都适合不等式1, 1即 x2a2, y2b2所以 |x|a， |y|b即 axa, byb 2对称性：从图形上看：椭圆关于x轴、y轴、原点对称。椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。综上，椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的。这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。顶点研究曲线的上的某些特殊

8、点的位置，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与x轴，y轴的交点坐标.在椭圆的标准方程里，令x=0,得y=b。这说明了B1(0,b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理，令y=0,得x=a。这说明了A1(a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。因为x轴，y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。它们的长|A1A2|=2a,|B1B2|=2b (a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)观察图形，由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即|

9、B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|= a在RtOB2F2中，由勾股定理有来源:Zxxk.Com|OF2|2=|B2F2|2|OB2|2 ，即c2a2b2这就是在前面一节里，我们令a2c2b2的几何意义。 离心率定义：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率ac0，0e15、椭圆焦半径公式P是椭圆1上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，则（1），（2）。P是椭圆上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则（3）。推导：:法1：已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a -.由两点间距离

10、公式，可知：|PF1|= (1)从椭圆方程解出： (2)代（2）于（1）并化简，得：|PF1|= (-axa)同理有 |PF2|= (-axa)。:法2：P (x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（ac0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|.依题意，有方程组-得代于并整理得r1-r2= 联立，得 法3：用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.如图右，点P（x，y）是以F1（-c,0）为焦点，以l1：x=-为准线的椭圆上任意一点.PDl1于D.按椭圆的第二定义，则有即r1=a+ex,同理有r2=a-ex.3、 直线与

11、椭圆1点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上；点P在椭圆内部；点P在椭圆外部。2直线与椭圆的位置关系判断直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系判断方法：由消去y(或x)得到一个一元二次方程位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解=0相离无解1 )的点的轨迹叫做双曲线.定点F叫焦点，定直线 叫准线，常数e叫做双曲线的离心率. 。双曲线有两个焦点，两条准线。分别为：， 和 ，。准线方程：，两准线间的距离：，焦准距：.5、焦点三角形双曲线焦点三角形的几个性质在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为,分别为

12、它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，则有：性质1、若则特别地，当时，有V性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与相切于实轴顶点；且当P点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P点在双曲线右支时，切点为右顶点。证明：设双曲线的焦点三角形的内切圆且三边，于点A,B,C，双曲线的两个顶点为所以A点在双曲线上，又因为A在上，A是双曲线与x轴的交点即点性质3、在双曲线中A，B在双曲线上且关于原点对称，P为椭圆上任意一点，则性质4、双曲线离心率为e，其焦点三角形的旁心为A，线段PA的延长线交的延长线于点B，则=证明：由角平分线性质得性质5、双曲线的焦点三角形中，当点P在双曲线右支上时，有ab-=+当点P在双曲线左支

13、上时，有2、 双曲线的简单几何性质1范围、对称性 由标准方程可得，当时，y才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2顶点顶点： 特殊点：实轴：长为2a, a叫做半实轴长 虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程中，令y=0得，故它与x轴有两个交点，且x轴为双曲线的对称轴，所以与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点

14、)，而对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长，它的长是2a.在方程中令x=0得，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y轴没有交点。但Y轴上的两个特殊点，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用 把线段叫做双曲线的虚轴，它的长是2b 要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3渐近线过双曲线的两顶点，作Y轴的平行线，经过作X轴的平行线，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是（），这两条直线就是双曲线的渐近线 分析：要证明直线（）是双曲线的渐近线，即要证明随着X的增大，直线和曲线越来越靠拢 也即要证曲线上的点到直线的距离MQ越来越短

15、，因此把问题转化为计算MQ 但因MQ不好直接求得，因此又把问题转化为求MN 最后强调，对圆锥曲线而言，渐近线是双曲线具有的性质 （）求双曲线的渐近线方程通常要以下两种方法若已知双曲线方程，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即可得渐近线方程。利用这个方法，可以避免把渐近线方程记错。求双曲线的渐近线方程的目标就是求与的比值，故可以建立一个关于、方程，通过该方程确定与的比值即可。4、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率，范围：双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5

16、、等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 6、共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 7、共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线， 区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同，共用一对渐近线，双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1。8、双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线 ，是其左右焦点则

17、由第二定义：， 同理 即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式： （ 其中分别是双曲线的下上焦点）9、双曲线的草图利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线。3、 直线与双曲线1直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.设双曲线方程，直线Ax+By+C=0, 将直线方程与双曲线方程联立,消去y得到关于x的方程mx2+nx+p=0, (1)若

18、m0,当0时,直线与双曲线有两个交点；当=0时,直线与双曲线只有一个公共点；当0）那么，焦点的坐标为（,0）,准线l的方程为x = . 设抛物线上的任一点 （x,y），点到直线l 的距离为d根据定义，抛物线就是点的集合P=M| |MF|=d因为，所以将上式两边平方并化简，得： 。 我们把方程叫做抛物线的标准方程。根据不同的建系方法 得到如下几个标准方程：标准方程图形焦点坐标准线方程说明：（1）表示焦点F到准线的距离； （2）抛物线标准方程，左边为二次，右边为一次。若一次项是x，则对称轴为x轴，焦点在x轴上；若一次项是y，则对称轴为y轴，焦点在y轴上；（对称轴看一次项） （3）标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向坐标轴正方向；若一次项前面的系数为负数，则开口方向为坐标轴负方向；（符号决定开口方向）.3、焦半