一类具免疫控制的SIR传染病模型的稳定

1、一类具免疫控制的 SIR 传染病模型的稳定性信息与计算科学专业 学生：肖宪伟 指导教师：宫兆刚摘 要：利用微分方程理论研究了具有免疫控制的数学模型， 考虑总人口数是常数输入 的影响，讨论了模型无病平衡点和地方病平衡点的存在性，利用特征值方法和 Jacobi 矩阵 得到了无病平衡点和地方病平衡点的局部稳定性。 构造 Dulac 函数的方法， 得到了无病平衡 点和地方病平衡点的全局稳定性充分条件，利用 Matlab 软件进行了数值模拟。关键词： 免疫控制 ; Jacobi； Dulac；平衡点；全局稳定性1 引言面对传染病长期严峻的威胁和日益出现的新的疫情， 其严重的危害着人类健康与社会经 济的发

2、展。又由于人们不能在人群中进行传染病的试验，因此，对各类传染病的流行趋势、 发病规律的预测以及防治策略的重要性日益突出。 根据疾病的发生、 发展以及与之有关的阐 述流行过程的特征， 利用动力学的方法来研究传染病模型是十分重要的， 目前对传染病的研 究方法主要有描述性方面的研究、 理论性方面的研究、 分析性方面的研究和实验性方面的研 究。传染病动力学 1 是对传染病进行理论性定量分析的一种非常重要的方法， 通过对动力学 性态的定性分析和模拟实验 2 ，来显示疾病的发展过程，揭示起流行规律，分析疾病流行的 原因和关键因素，预测其变化发展趋势，为预防和控制的最优策略提供了有力的理论依据。在早期的传染

3、病动力学中大多数传染病模型都是假设种群的总是常数状态而保持人口数 不变， 而没有考虑到其它方面的因素， 但这种假设仅存在于一些环境状态封闭， 人口的生育 率和自然死亡率相平衡， 且不考虑其它各方面等因素的理想状态下成立。 随着传染病模型的 不断发展和研究的不断深入， 对各方面因素做了大量的研究， 极大地丰富了传染病动力学理 论。程晓云，胡志兴等在 2007 年考虑了具有阶段结构因素研究了一类具有阶段结构的自治 传染病模型的稳定性 3；徐为坚研究了一类具有种群 Logistic 增长饱和传染率的 SIS 模型的 稳定性和 Hopf ；杜艳可，徐瑞，段立江在经典的传染病模型上考虑了标准发生率4-5

4、的因素，研究了一类具有标准发生率的传染病模型的全局稳定性； 李健全， 马知恩研究了一类带有一 般接触率和常数输入的流行病模型的全局分析；付景超等在 2008 年研究了一类具有垂直传 染和连续预防接种的 SIRS 传染病模型 6-8 ，得出了垂直传染和连续预防接种的稳定性分析； 徐文雄，张仲华等研究了一类具有预防接种免疫力的双线性传染率 SIR 流行病模型全局稳 定性；高淑京，滕志懂在 2008 年研究了一类具有饱和传染力和常数输入的 SIRS 脉冲接种 模型研究 9-11 。2 具有免疫控制的 SIR 模型2.1 模型的建立本文将基于经典的具有常数输入率的 SIR 模型，建立一类具有免疫控制的

5、 SIR 传染病1)模型，将人群分为易感染者( Susceptible)、感染者( Infective )、移出者( Removed )三类， 则所研究的数学模型如下：dS SIB u1 SuSdt1IdISIu I rI2dt1IdRrI u R uS3dt其中 S(t)， I(t)， I (t)分别表示 t 时刻易感染者、感染者、移出者的数量，u1，u2，u3分别表示各阶段的死亡率， u 表示接种率， 表示传染率， r 表示移出率，系统中的所有参数 均为正值。系统( 1)的前两个方程不依赖于第三个方程，因此本文中仅考虑由系统(1)的前两个方程构成的系统为：dS SI B u1 SuSdt

6、1 I(2) dI SIu2 I rIdt 1 I对系统 (2)作变换 dt (1 I )d ，仍记 d 为 dt，则 (2)化为：dSB(1 I) u1S(1 I) SI uS(1 I) P(S,I )dt(3)dISI u2I(1 I) rI (1 I) Q(S,I)?dt考虑到系统( 1)，( 2)，( 3)的实际上的生物意义，其 S，I 只能为非负数，因此本文只在区 域 W = ( S, I ) | S 0， I 0 中讨论问题。2.2 平衡点的存在性对系统( 3)我们令 ：P(S, I) 0 B，当 I 0 时，得出无病平衡点 E1, 0 ；Q(S, I ) 0u1 u(u1 u)(

7、u2 r )令 I 0 时，当( nc B mc )nc B mc ) 4nc ( mc B)u2 r，m u1 u ，时，得出地方病平衡点 E (S ,I ) ，其中：S c(1 I )，2B2n cn uu1 。2.3 平衡点的稳定性分析a其中： a11(u1 u) ，a210，B a12B (u1u )u1 uBa22=u2 r ，u1 u(u r )(uu)B定理 2当 0 2时，无病平衡点 E1,0是局部渐近稳定的。Bu1 uB证明：系统( 3)在 E1,0处的 Jacobi 矩阵为：u1u2则系统( 3)所对应的特征方程为：p q 0 ，B 其中： p (a11 a22 ) (u1

8、 u) (u2 r)u1 u2 B (u1 u) (u2 r )(u1 u) 1 2 1 u1 u B Bq a1 1a 2 2 a a1 2 2 (1u1 u )(u r2B)u1 u1B (u2 r )(u1 u) 2 1 u1 u(u2 r)( u1 u)当 0时，有 p 0， q 0 ，所以其特征根为负实根，从而无病BB平衡点 E1, 0 是局部渐近稳定的。1u1 u定理3 令m min u2r,u1 u，当0 m， (u1u)(u2r )时，地方病平衡BB点 E2(S ,I ) 是局部渐近稳定的。证明：系统( 3)在地方病平衡点 E2(S ,I )处的 Jacobi 矩阵为：aJ1

9、aa2其中：a11(u1 u)(1b b 4n c( mc B)b b 4n c( mc B)2nt2n ca12bB(u1u ) t(124n c( mc B)，2nca21b b 4n c( mc B)，b b 4n c(mc B )t(1 ) (u2 r) (2 u2 2 r ) 2ncb b 4n c( mc B)2n c其中：b nc B mc ，则系统( 3)所对应的特征方程为：其中：p (u1u)(1 I ) I c(1 I ) (u2 r ) (2u2 2 r)I(u1u)(1 I ) (u222rI ) ( u2 r)I， q ( u1u)(1 I ) I ( u2 r) 2

10、 (u2 r )I (ur )(1I)( u1u )t(1I ) B I22 I (u1 u)(u2 r )(1 I ) 2 (u2 r)I (ur ) B I令 m minu(u1 u)(u2 r ) ，当 0 m ，B时，有 p 0， q 0 ，所以其特征根为负实根，从而地方病平衡点E (S , I )是局部渐近稳定的。2.4 平衡点的全局渐近稳定性分析(u2 r)(u1 u)定理 4 当 0 时，无病平衡点 E1,0 在区域u1 uW= ( S, I) | S 0， I 0 内是全局渐近稳定的。(u r)(u u)证明：当0 时，系统( 3)在区域 W=(S,I)| S 0，I 0W 内

11、不内仅存在唯一的一个无病平衡点 E1 ，并且可以得出平衡点在其边界上，所以在区域 存在有闭轨线，而且系统( 3)从区域 W 内出发的轨线都不会超出 W ，又考虑到区域 W 的 有界性，则对任给区域 W 内的一个初始值，系统( 3)的满足初始值的解( S,I)最终都将趋向于平衡点 E1，又因为平衡点 E1的局部渐近稳定性，可得出 E1 是全局渐近稳定的。这表明，在所给群体中无论初始值的染病者会有多少，传染病都将不会流行且会逐渐消失。(u u)(u r) 定理 5 当 0 m 且成立时，地方病平衡点 E2 (S ,I )在区域 W= (S,I)| S 0，I 0 内是全局渐近稳定的。证明： 要证明

12、点 E2(S ,I )在区域 W内是全局渐近稳定的， 只需要证明在区域 W内不存在系统( 3)的闭轨线即可11 ，构造 Dulac 函数 V(S,I )1，有 I(VP)(VQ)SI(u1 u)(1 I) I1 (ur) (u1 u) ( 1 I ) I 1 (u(VP) (VQ)所以 保持常号，且其不在区域 W 内任何子区域内恒为零，则系统(3)在区域SIW内不存在闭轨线，所以地方病平衡点 E2(S,I )在区域 W内是全局渐近稳定的。这表明，S ， I ，从而一旦有患病者，疾病就会流行而最终的易感者和患病者都将分别稳定为数量 形成地方病。3 数值模拟下面用 Matlab 数学软件进行数值模

13、拟，通过模拟能够清晰了解模型轨线的走向，并验 证定理 4 和定理 5 的正确性，进而更好的了解无病点和地方病的发展趋势。取参数0.1，B 1，0.1，u 0.2， u1 0.3 ，u2 0.4 ，r 0.5 ，则系统 （ 3）为：dtdt(u r)(uu)满足条件 0，运用 Matlab 软件由定理 4 可dI 2B0.1SI 0.9I 0.09 I ?dt知，无病平衡点 E1 在区域W 内是全局渐近稳定的（见图1）。dS0.5S 0.1I 0.15SI 1图1 无病平衡点 E1的数值模拟Fig.1 The disease-free equilibrium E1 found by numeri

14、cal simulation取参数0.9，B 1，0.1，u 0.2 ，u1 0.3 ，u2 0.4 ，r 0.5 ，则系统( 3)为：dS0.5S 0.1I dt0.95SI 1满足条件当20.9SI 0.9I 0.09I ? dt0 m且 (u1 u)(u2r)，运用 Matlab软件B由定理 5 可知，地方病平衡点E2 （S ,I ）在区域 W 内是全局渐近稳定的（见图2）。图 2 地方病平衡点 E2(S , I )的数值模拟Fig.2 The endemic equilibrium E2(S , I ) found by numerical simulation4 结语传染病动力学模型

15、为人类的传染病的预防控制提供了有力的理论依据和指导，本文在 参考了一些相关的文献和书籍资料，研究了一类具有免疫控制的 SIR 传染病模型，运用了 特征值方法， Jacobi 矩阵， Dulac 函数， Matlab 软件等方法得到了无病平衡点和地方病平衡 点所具备稳定性的条件，根据这些条件能够为传染病的预防和控制提供了有效的理论依据。【参考文献】1 马知恩 ,周义仓 ,王稳地等 .传染病动力学的数学建模与研究 M. 北京 :科学出版社， 2004.2 李健 ,张娟 ,马知恩 .一类带有一般接触率和常数输入的流行病模型的全局分析J.应用数学和力学 ,2004,25(4):359 -367.3 程

16、晓云 ,胡志兴 .一类具有阶段结构的自治传染病模型的稳定性J. 石家庄学院学报 ,2007,9(3):23-27.4 徐为坚 .具有种群 Logistic 增长饱和传染率的 SIS 模型的稳定性和 Hopf 分支 J. 数学物理学 报,2008,28:578-584.5 Moghadas SM.Two core group models for sexual transmission of diseaseJ. 数 学 的 实 践 与 认 识,2009,39(10):140-144.6 周天明 ,江宏远 ,鲁立刚 .传染病学的数学模型及其应用 J.黑龙江医学科学 ,2002,25(3):20-2

17、2.7 李健全 ,马知恩 .一类带有一般接触率和常数输入的流行病模型的全局分析J. 应用数学和力学,2004,18(4):359-367.8 付景超等.具有垂直 传染和连续 预防接种的 SIRS 传染病模型的研究J.生物数学学 报,2008,23(2):273-278.9 马知恩 ,周义仓等 .传染病动力学的数学建模与研究 M. 北京:科学出版社 ,2004.10 薛颖,熊佐亮.具有免疫控制且总人口规模变化的SIR 传染病模型的稳定性 J.应用泛函分析学报,2007,9(2):71-76.11 高淑京 ,滕志懂 .一类具有饱和传染力和常数输入的SIRS 脉冲接种模型研究 J.生物数学学报,20

18、08,23(2):208-217.Stability of a SIR Epidemic Model with Immune ControlInformation and Computational MajorName： XiaoXianwei Tutor:GongZhaogangAbstract: The dissertation study on mathematical model with immune control by using the theory of differential equations, consider the total population is the effect of a constant input, model existence the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium is discussed, by using the eigenvalue method and the Jacobi matrix to get the local stability of the disease-free equilibrium and the endemic