2020-2021学年高中数学 第二章 数列 2.4 第1课时 等比数列的概念和通项公式学案新人教A版必修5

1、2020-2021学年高中数学 第二章 数列 2.4 第1课时 等比数列的概念和通项公式学案新人教a版必修52020-2021学年高中数学 第二章 数列 2.4 第1课时 等比数列的概念和通项公式学案新人教a版必修5年级：姓名：2.4等比数列第1课时等比数列的概念和通项公式内容标准学科素养1.理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列2.掌握等比数列的通项公式并能熟练应用3.掌握等比中项的定义，并能够应用等比中项解决问题4.了解等比数列的通项公式与指数函数的关系.发展逻辑推理提升数学运算应用数学抽象授课提示：对应学生用书第35页基础认识知识点一等比数列的概念数列1,2,4,8，

2、是等差数列吗？后一项与前一项的比值是多少？(1)对于数列1,2,4,8，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_提示：同一常数(2)对于数列，1,20,202,203，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_提示：20.(3)对于数列1，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_提示：同一个常数 知识梳理等比数列的定义：(1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)(2)上述三个数列是(填“是”或“不是”)等比数列，其公比分别为2,20，.在数列an中，如果q(n2，nn*)(q0)成立，

3、则称数列an为等比数列，常数q称为等比数列的公比知识点二等比中项(1)是否存在实数g，使1，g,4成等比数列？提示：存在，g2.(2)是否存在实数g，使1，g，4成等比数列？提示：不存在 知识点三等比数列的通项公式知识梳理已知等比数列an的首项为a1，公比为q(q0)，则数列an的通项公式为ana1qn1.在等比数列a1，a2，am，an中，有anamqnm.自我检测1在数列an中，a12，an13an(nn*)，则a4_.答案：5422与2的等比中项是_答案：1授课提示：对应学生用书第36页探究一等比数列通项公式的应用阅读教材p51例3已知等比数列的某两项求其他项方法步骤：(1)用a1和q表

4、示已知项(2)联立方程组求a1和q.(3)写通项公式及其他项1等比数列基本量的求解例1在等比数列an中，(1)已知a39，a6243，求a5；(2)已知a1，an，q，求n.解析(1)法一：由a39，a6243，得a1q29，a1q5243.q327，q3，a11.a5a1q413481.法二：a6a3q3，q327，q3.a5a3q293281.(2)a1，an，q，n1.n13.n13，n4.方法技巧(1)已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意一项(2)在等比数列an中，若已知a1，q，n，an四个量中的三个，就可以求出另一个量跟踪探究1.设an是公比为负数的等比数列，a12，a

5、34a2，则a3()a2b2c8 d8解析：设等比数列an的公比为q0，a12，a34a2，2q242q，解得q1，则a32(1)22.故选a.答案：a2等比数列通项公式及变形的应用例2(1)已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于()a1 b1c32 d32解析设等比数列an的公比为q，a1，a3,2a2成等差数列，a3a12a2，a1q2a12a1q，q22q10，q1.an0，q0，则q1.q2(1)232.答案c(2)已知数列an为等比数列，若a22，a108，则a6()a4 b4c4 d5解析由题意可得q84，q42，a6a2q4224.答案c方法技巧

6、在已知等比数列中任意两项的前提下，利用anamqnm(q0)也可求出等比数列中的任意一项跟踪探究2.在等比数列an中，已知a36，a3a5a778，则a5()a12 b18c24 d36解析：设公比为q，a36，a3a5a778，a3a3q2a3q478，即66q26q478，解得q23，a5a3q26318，故选b.答案：b探究二等比中项的应用阅读教材p54习题第7题求下列各组数的等比中项：(1)73与73；(2)a4a2b2与b4a2b2(a0，b0)解析：(1)g2(73)(73)4，g2.(2)g2(a4a2b2)(b4a2b2)a2b2(a2b2)2，gab(a2b2)例3(1)已知

7、等比数列an的公比为正数，且a5a74a，a21，则a1()a. bc. d2解析因为等比数列an的公比为正数，且a5a74a，a21，所以a4a，即a62a4，所以q22，所以q，a1.答案b(2)已知a，b，c这五个数依次排列成等比数列，求a，b，c的值解析b26，b.当b时，ab2，解得a；bc210，解得c7.同理，当b时，a，c7.综上所述，a，b，c的值分别为，7或，7.方法技巧应用等比中项解题的两个注意点(1)要证三数a，g，b成等比数列，只需证明g2ab，其中a，b，g均不为零(2)已知等比数列中的相邻三项an1，an，an1，则an是an1与an1的等比中项，即aan1an1

8、，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程跟踪探究3.已知等比数列an中，a3a92a，且a32，则a5()a4 b4c2 d2解析：因为等比数列an中，a3a92a，且a32，所以2a92a.因为aa1a9，所以a11，由等比中项的性质得a1a5a，所以a54.答案：b4已知b是a与c的等比中项，且abc27，则b等于()a3 b3c3或3 d9解析：b是a与c的等比中项，acb2.又abc27，b327，解得b3.答案：b探究三等比数列的判定阅读教材p51例4方法步骤：证明是一个与n无关的常数例4已知数列an的前n项和为sn，sn(an1)(nn*)(1)求a1，a2；(2)求证：数列an

9、是等比数列解析(1)由s1(a11)，得a1(a11)，所以a1，又s2(a21)，即a1a2(a21)，得a2.(2)证明：当n2时，ansnsn1(an1)(an11)，得，又a1，所以an是首项为，公比为的等比数列延伸探究将本例的条件改为“a1，且an1an”，求证数列是等比数列证明：由an1an得an1an，即an1.a1，a10，an0，是以为首项，为公比的等比数列方法技巧判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法：若数列an满足q(q为常数且不为零)或q(n2，q为常数且不为零)，则数列an是等比数列(2)通项公式法：若数列an的通项公式为ana1qn1(a10，q0)，则数列a

10、n是等比数列(3)等比中项法：若aanan2(nn*且an0)，则数列an为等比数列跟踪探究5.已知数列an中，a1，an1ann1，求证：是等比数列，并求an的通项公式证明：令an1an1，则an1ann1.由已知条件知1，得a3，所以an13n1.又a1310，所以是首项为，公比为的等比数列于是an3nn1，故an3n2n.授课提示：对应学生用书第37页课后小结(1)对等比数列定义的理解定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项；每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征)；公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比，不要把分子与分母弄颠倒；等比数

11、列中的任何一项均不能为零；等比数列的公比可以是正数、负数，但不能为零(2)等比中项的两点认识在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项a，g，b成等比数列g2ab；若g2ab，则a，g，b不一定成等比数列，因为a，g，b中可能有等于零的(3)等比数列通项公式的应用根据等比数列的通项公式，已知四个量a1，n，q，an中的三个，就可以求出第四个由等比数列的通项公式可验证某数是否为等比数列的项素养培优1求两数的等比中项易丢解等比数列an中，a1，q2，则a4与a8的等比中项是()a4b4c d.易错分析a4，a8就是两个实数，其等比中项就是，不能为其一自我纠正a4a1q3231，a8a1q72716，a