2020-2021学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程学案新人教A版选修2-1

1、2020-2021学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程学案新人教a版选修2-12020-2021学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程学案新人教a版选修2-1年级：姓名：22椭圆2.2.1椭圆及其标准方程内容标准学科素养1.了解椭圆标准方程的推导2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程.利用直观想象发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第23页基础认识知识点一椭圆的定义在现实生活中，我们经常看到香皂盒、浴盆、体育场的跑道，油罐车的横切面，橄榄球等，这些物品都给我们以椭圆形的印象，那么如何设计出

2、这些椭圆形的物品呢？(1)取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？提示：圆(2)如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点f1，f2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？提示：椭圆(3)在问题(2)中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？提示：把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离和等于常数 知识梳理把平面内与两个定点f1，f2的距离的和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距几点说明：(

3、1)f1、f2是两个不同的定点(2)m是椭圆上任意一点，且|mf1|mf2|常数(3)通常这个常数记为2a，焦距记为2c且2a2c.(4)如果2a2c，则m的轨迹是线段f1f2.(5)如果2ab0)1(ab0)焦点(c,0)与(c,0)(0，c)与(0，c)a，b，c的关系c2a2b2自我检测1下列说法中，正确的是()a到点m(3,0)，n(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆b到点m(0，3)，n(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆c到点m(3,0)，n(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆d到点m(0，3)，n(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆答案：c2若椭圆方程为1，则其

4、焦点在_轴上，焦点坐标为_答案：x(2,0)，(2,0)授课提示：对应学生用书第24页探究一求椭圆的标准方程阅读教材p40例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)，并且经过点，求它的标准方程题型：待定系数法求椭圆的标准方程方法步骤：(1)根据条件设出所求椭圆的标准方程(2)根据已知条件建立a，b，c的方程(组)(3)解出a，b的值即可得出椭圆的标准方程例1根据下列条件，求椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)解析(1)法一：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab

5、0)因为2a10，所以a5.又c4，所以b2a2c225169，故所求椭圆的标准方程为1.法二：设所求椭圆的标准方程为1(ab0)因为椭圆过点(5,0)，所以1，即a225.又因为c4及b2a2c225169，故所求椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以解得故所求椭圆的标准方程为x21.方法技巧1.利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤：(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程2当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0)因为它

6、包括焦点在x轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算跟踪探究1.根据下列条件，求椭圆的标准方程(1)经过两点a(0,2)，b；(2)经过点(2，3)且与椭圆9x24y236有共同的焦点解析：(1)设所求椭圆的方程为1(m0，n0，且mn)椭圆过点a(0,2)，b， 解得即所求椭圆的方程为x21.(2)椭圆9x24y236的焦点为(0，)，(0，)，可设所求椭圆方程为1(m0)又椭圆经过点(2，3)，则有1，解得m10或m2(舍去)，即所求椭圆的标准方程为1.探究二椭圆的定义及其应用教材p42练习3题已知经过椭圆1的右焦点f2作垂直于x轴的直线ab，交椭圆于a，b两点，f1是椭

7、圆的左焦点(1)求af1b的周长；(2)如果ab不垂直于x轴，af1b的周长有变化吗？为什么？解析：由已知得a5，b4，所以c3.(1)af1b的周长为|af1|bf1|ab|af1|af2|bf1|bf2|，由椭圆的定义得|af1|bf1|ab|4a，所以af1b的周长为4a20.(2)当ab不垂直于x轴时，af1b的周长不会变化这是因为两式仍然成立，af1b的周长为20，这是定值例2设p是椭圆1上一点，f1，f2是椭圆的焦点，若f1pf260，求f1pf2的面积解析由题意知a5，b，c.设|pf1|m，|pf2|n，p是椭圆1上一点，f1，f2是椭圆的两焦点，mn10.在f1pf2中，由余

8、弦定理得m2n22mncos 604c2，即m2n2mn25，由得mn25，spf1f2mnsin 60.方法技巧1.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|mf1|mf2|2a(2a|f1f2|)，则点m的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点m到两焦点的距离之和必为2a.(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解2椭圆中的焦点三角形椭圆上一点p与椭圆的两个焦点f1，f2构成的pf1f2，称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形

9、的面积公式等知识求解跟踪探究2.椭圆方程为1，f1、f2为椭圆的焦点，p是椭圆上一点若sf1pf2，求f1pf2的大小，思考f1pf2可以等于90吗？解析：由已知得a2，b，c1设|pf1|m，|pf2|n，f1pf2，则2得mn(1cos )6， 得，即2，即，tan ，30，60，即f1pf260.cos 11，0，即不可能等于90.探究三与椭圆有关的轨迹问题 阅读教材p41例2、例3(1)如图，在圆x2y24上任取一点p，过点p作x轴的垂线段pd，d为垂足当点p在圆上运动时，线段pd的中点m的轨迹是什么？为什么？题型：代入法求轨迹方程方法步骤：(1)设出m的坐标(x，y)(2)确定点m的

10、几何性质(m是线段pd的中点)(3)由m的性质得出p点的坐标(x,2y)代入已知圆x2y24即得m的轨迹方程，从而得到m的轨迹是椭圆(2)如图，设点a，b的坐标分别为(5,0)，(5,0)直线am，bm相交于点m，且它们的斜率之积是，求点m的轨迹方程题型：直接法求动点的轨迹方程方法步骤：(1)设点m的坐标(x，y)(2)确定点的几何性质kamkbm.(3)将m的几何性质坐标化得出动点m的轨迹方程例3如图，在圆c：(x1)2y225内有一点a(1,0)，q为圆c上一点，aq的垂直平分线与c，q的连线交于点m，求点m的轨迹方程解析由题意知点m在线段cq上，从而有|cq|mq|mc|.又点m在aq的

11、垂直平分线上，则|ma|mq|，|ma|mc|cq|5.a(1,0)，c(1,0)，点m的轨迹是以a、c为焦点的椭圆，且2a5，c1，a，b2a2c21，故椭圆的方程为1.方法技巧1.求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为定义法2对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法3代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点p(x，y)与另一个已知曲线c：f(x，y)0上的动点q(x1，y1)存在着某

12、种联系，可以把点q的坐标用点p的坐标表示出来，然后代入已知曲线c的方程f(x，y)0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)跟踪探究3.点m与定点f(2,0)的距离和它到定直线x8的距离的比是12，求点m的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形解析：设点m的坐标为(x，y)，d是点m到直线x8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合p，由此得.两边平方，并化简得3x24y248，即1.所以，点m的轨迹是长轴、短轴分别为8、4的椭圆.授课提示：对应学生用书第25页课后小结(1)求椭圆的标准方程常用待定系数法首先，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，可用两种方法来解决问

13、题(2)求轨迹方程的常用方法：直接法当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件转换成x，y间的关系式，从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法相关点法(代入法)有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法素养培优1忽视椭圆定义中的条件致误到两定点f1(2,0)和f2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是()a椭圆b线段c圆 d以上都不对易错分析到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆的前提条件是定值大于两定点间的距