§11-3静电场的高斯定理

1、电通量11-3 静电场的高斯定理、 电场线电场线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在1、E 用电场线描述规定： E 方向：电力线切线方向大小： E 的大小 =该电力线密度 =垂直通过单位面积的电力线条数dN dsdNEds即：某点场强大小 =过该点并垂直于 E 的面元上的电力线密度。 )2、静电场中电场线性质不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。任意两条电场线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电 场强度通量，用 e 表示。下面分几种情况讨论。1、匀强电场平面 S与E 垂直。如图所示，由 E 的大小描述可知：平面 S与E 夹角为

2、 ，如图所示，由 E的大小描述知：e ES EScos E S (S Sn)式中n为 S的单位法线向量 2、在任意电场中通过任意曲面 S 的电通量如图所示，在 S上取面元 dS ， dS可看成平面， dS上E 可视为均匀，设 n 为 dS 单位法向向量， dS 与该处 E 夹角 E 为 ，则通过 dS 电 场强度通量为：d e E dS通过曲面 S 的电场强度通量为：e d e E dSs在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量e E dSs注意：通常取面元外法向为正。三、高斯定理高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电 通量 的定理，现在从一简单例子讲起。1、如图所示， q 为正点电荷， S为以

3、 q 为中心 以任意r 为半径的球面， S上任一点 p处E为：2、通过闭合曲面 S 的电场强度通量为：e E dSssq24 0r 2dS er s4 q0r2dSr、ds 同向）s 4 0rdSq4 0r 2dS qs0结论： e与r 无关，仅与 q有关 ( 0 const) 2、点电荷电场中任意闭合曲面 S 的电场强度通量 q在 S内情形如图所示，在 S内做一个以 q 为中心， 任意半径 r 的闭合球面 S1，由 1 知，通过 S1 的电场强度通量为 q 。通过 S1的电力线 0必通过 S，即此时 eses，通过 S 的es1电场强度通量为 e E dS q0 q在 S外情形。此时，进入

4、S 面内的电力线必穿出 S面，即 穿入与穿出 S 面的电力线数相等， e E dS 0s结论： S外电荷对 e 无贡献e q q在 S内 e00 q在 S 外3、点电荷系情况在点电荷 q1 ,q2,q3, qn 电场中，任一点场强为E E1 E2 E3En通过某一闭合曲面电场强度通量为：e E dSE1 E2 E3En dSE1 dS E2 dSE3 dSEn dS 1 qs s s s 0 S内即 e E dS 1 q s0 S内上式表示：在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的一切电荷的代数和除以 0 。这就是真空中的高斯定理。 上式为高斯定理数学表达式， 高 斯定理中闭合曲面称

5、为高斯面。 说明：以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯定理， 仅是为了便 于理解而用的一种形象解释，不是高斯定理的证明高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者适用范围比后者更 广泛。后者只适用于真空中的静电场，而前者适用于静电场和随时 间变化的场，高斯定理是电磁理论的基本方程之一。高斯定理表明，通过闭合曲面的电通量只与闭合面内的自由电荷代 数和有关，而与闭合曲面外的电荷无关。0 时，不能说 S内只有正电荷1当 e E dS q0 时，不能说 S 内只有负电荷s0 S内=0 时，不能说 S内无电荷注意：这些都是 S 内电荷代数和的结果和表现。1高斯定理说明 e E dS 1 q与 S内电

6、荷有关而与 S外电荷无关， s0 S内这并不是说 E 只与 S 内电荷有关而与 S 外电荷无关。实际上， E 是由 S 内、外所有电荷产生的结果。高斯面可由我们任选。四、应用高斯定理求场强面介绍应用高斯定理计算几种简单而又有对称性的场强方法。可以看到，应用高斯定理求场强比前面介绍的方法更为简单。1. 一均匀带电球面，半径为 R ，电荷为 q ，求：球面内外任一点场强。 解：由题意知，电荷分布是球对称的，产生的电场是球对称的，场强方向沿半径 向外，以 O为球心任意球面上的各点 E 值相等。球面内任一点 P1 的场强以 O 为圆心，通过 P1 点做半径为 r1 的球面 S1 为高斯面，高斯定理为：

7、E dS 1 q s10 S1内 E与dS同向，且 S1 上E 值不变2 E dS E dS E dS E 4 r12 s1s1s112E 4 r12 0 E 0 即均匀带电球面内任一点 P1 场强为零。q0 0 S1 内注意： 1）不是每个面元上电荷在球面内产生的场强为零，而是所有面元上电荷在球面内产生场强的矢量和 =0。2）非均匀带电球面在球面内任一点产生的场强不可能都为零。 （在个 别点有可能为零）球面外任一点的场强以 O为圆心，通过 P2点以半径 r2 做一球面 S2 作为高斯面，由高斯定理有：2E 4 r22q4 0r 2方向：沿 OP2 方向（若 q 0，则沿 PO 方向）结论：均

8、匀带电球面外任一点的场强，在该点产生的场强一样。如图电荷全部集中在球心处的点电荷E 0 (r R)q 2 (r R)4 0r2有均匀带电的球体，半径为 R ，电量为 q ，求球内外场强（ 8-13）。 解：由题意知，电荷分布具有球对称性，电场也具有对称性，场强方向由球心 向外辐射，在以 O为圆心的任意球面上各点的 E 相同。（1）球内任一点 P1的 E ?以 O为球心，过 P1点做半径为 r1 的高斯球面 S1，高斯定理为：1E dS q s10 S1内 E 与 dS 同向，且 S1 上各点 E 值相等， E dS E dS E dS E 4 r12 s1s1s11q0 S1内43r13q0R

9、33r10 4 R33q4 0R3r1EE 沿OP方向。（若q 0，则 E沿P1O方向）结论： E r1注意：不要认为 S1外任一电荷元在 P1 处产生的场强为 0，而是 S1外所有电 荷元在 P1 点产生的场强的叠加为 0。2）球外任一点 P2的 E ?以 O为球心，过 P2点做半径为 r2 的球形高斯面 S2，高斯定理为：E dS 1 qs 20 S2内由此有：E 4 r 22q4 0 r2(r R)E 沿OP2 方向结论： 均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷全部集中在球心处的点电荷产生的场 强一样。E q 3 r1 (r1 R)4 0R 3E r 曲线如左图。3无限长均匀带电圆柱面，

10、半径为 R ，电荷面密度为 0 ，求柱面内外任一点 场强。解：由题意知，柱面产生的电场具有轴对称性，场强方向由柱面轴线向外辐射， 并且任意以柱面轴线为轴的圆柱面上各点 E 值相等。1)带电圆柱面内任一点 P1的 E ?以 OO为轴，过 P1点做以 r1为半径高为 h 的圆柱高斯面， 上底为 S1，下底为 S2，侧面为 S3 。高斯定理为：1 E dS q s0 S内在此，有：E dS E dS E dS E dSs1s2s3s在 S1、S2上各面元 dS1 E ，上式前二项积分 =0，又在 S3上dS与 E同向，且 E=常数， E dS EdS E dS E 2 r1h s1q00 S内E 2

11、 r1h 0 E 0结论： 无限长均匀带电圆筒内任一点场强 =02）带电柱面外任一点场强 E ?以 OO为轴，过 P2点做半径为 r2 高为h 的圆柱形高斯面，上底为 S1，下 底为 S2，侧面为 S3。由高斯定理有：1E 2 r1h2 Rh02RE2 0r2 2 R 2 R 1 =单位长柱面的电荷（电荷线密度） = E ， E 由轴线指向 P2。0 时， E 沿 P2 指向轴线2 0r2结论：无限长均匀带电圆柱面在其外任一点的场强， 如全部电荷都集中在带 电柱面的轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强一样。4. 无限大均匀带电平面，电荷面密度为 ，求平面外任一点场强。 解：由题意知，平面产生的

12、电场是关于平面二侧对称的，场强方向垂直平面，距 平面相同的任意二点处的 E值相等。设 P为考察点，过 P点做一底面平行于平面 的关于平面又对称的圆柱形高斯面，右端面为 S1，左端面为 S2，侧面为 S3，高斯 定理为：1sE dSq0 S内在此，有：E dS E dS E dS E dS在 S3上的各面元 dS E ，第三项积分 =0又 在 S1、S2上各面元 dS与E同向，且在 S1、S2上 E =常数，有：dS EdS EdS E dS E dS ES1 ES2 2ES1 s1s2s1s2即：1q0 S内1 S10E 2S1 1 S10E （均匀电场）20E 垂直平面指向考察点（若0 ，则 E 由考察点指向平面） 。5. 有二平行无限大均匀带电平板 A、B，电荷面密度分别为 1） , ；2） , 求：板内、外场强。解：设 P3 为二板内任一点，E EA EB即 E EA EBA B 2 0 2 0 0设 P4为 B右侧任一点（也可取在 A 左侧）E EA EB即：E EA EB 2 0 2 0 0上面，我们应用高斯定理求出了几种带电体产生的场强， 从这几个例子看出， 用高斯定理求场强是比