2020-2021学年高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介学案新人教A版选修4-4

1、2020-2021学年高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介学案新人教a版选修4-42020-2021学年高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介学案新人教a版选修4-4年级：姓名：四柱坐标系与球坐标系简介考纲定位重难突破1.理解柱坐标系和球坐标系的概念和结构.2.掌握空间点的三种坐标的互相转化公式.重点：空间直角坐标与柱坐标、球坐标的转化关系. 难点：空间一点的球坐标与其他坐标的互相转化公式.授课提示：对应学生用书第11页自主梳理1空间直角坐标系、柱坐标系与球坐标系(1)空间直角坐标系：在空间选定一点o，作两两垂直的三条数轴ox，oy，oz，使xoy135，yoz9

2、0，这就是空间直角坐标系有序实数组(x，y，z)叫点p的直角坐标(2)柱坐标系：空间直角坐标系oxyz中，设p是空间任意一点，它在oxy平面的射影为q，用(，)表示点q在平面oxy上的极坐标，点p的位置可用有序数组(，z)表示这就是柱坐标系有序数组(，z)叫点p的柱坐标其中0,02，z.(3)球坐标系：空间直角坐标系oxyz中，设p是空间任意一点，连接op，记|op|r，op与oz轴正向所夹的角为.p在oxy平面的射影为q，ox轴按逆时针方向旋转到oq时所转过的最小正角为.这样点p的位置就可以用有序数组(r，)表示这就是球坐标系有序数组(r，)叫做点p的球坐标其中r0,0，00，y0，点在第一

3、象限，点a的柱坐标为.探究二直角坐标与球坐标的互化例2(1)设点m的球坐标为，求它的直角坐标；(2)已知点m的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标解析(1)r2，zrcos 2cos，xrsin cos 2sincos1，yrsin sin 2sinsin1，点m的直角坐标为(1,1，)(2)由互化公式得r2，由rcos z，得cos ，又tan 1，且x0，y0，点m的球坐标为.应用互化公式与可实现点的球坐标与直角坐标的互化已知球坐标化直角坐标时，把r，代入互化公式即可；直角坐标化球坐标时，先求r，再利用zrcos 求出，最后求，但应注意的值由直角坐标中的x，y的值来确定2(1)将点的球坐标

4、化为直角坐标；(2)将点的直角坐标(0，2,0)化为球坐标解析：(1)因为点的球坐标(r，)化为直角坐标为(x，y，z)(rsin cos ，rsin sin ，rcos )，所以化为直角坐标为(1，2)(2)由(x，y，z)(0，2,0)，得r2.由zrcos (0)，得cos 0，得；又(02)角的终边过点(0，2)，得.所以点的直角坐标(0，2,0)化为球坐标为.探究三球坐标与柱坐标的应用例3已知球坐标系oxyz中，点m，点n，求|mn|.解析方法一由题意知，|om|on|6，mon，mon为等边三角形，|mn|6.方法二设点m的直角坐标为(x1，y1，z1)，则x16sincos，y1

5、6sinsin，z16cos3.点m的直角坐标为，设点n的直角坐标为(x2，y2，z2)，则x26sincos，y26sinsin，z26cos3.点n的直角坐标为，|mn|6.怎样求球坐标或柱坐标两点之间的距离已知球坐标或柱坐标的两个点，求这两点间的距离时，可用坐标的几何意义研究这两点与原点构成的三角形特征，用解三角形的方法求出两点间距离当这个三角形的几何特征不便于求两点间距离时，可将球坐标或柱坐标化为空间直角坐标，用空间直角坐标的方法求两点间距离3已知点p1的球坐标是p1，p2的柱坐标是p2，求|p1p2|.解析：设p1的直角坐标为(x1，y1，z1)，则p1点的直角坐标为.设p2的直角坐

6、标为(x2，y2，z2)，则p2的直角坐标为.|p1p2| .忽视球坐标的顺序致误典例直线坐标(，2)化为球坐标为_解析由(x，y，z)(，2)，得r4.由zrcos (0)，得cos ，得；又tan ，且(02)角的终边过点(，0)，得.所以点的直角坐标(，2)化为球坐标为.答案错因与防范(1)点(x，y，z)的球坐标是(r，)，而不是(r，)，解答本题时常因为没有注意，的顺序而把球坐标写成而致误(2)在空间坐标系中，将点的直角坐标化为柱坐标重点是求极径和极角；将点的直角坐标化为球坐标，重点是求半径、高低角与极角其中由三角函数值求角是难点，突破这一难点的关键是明确角的取值范围以及角的终边所在的象限，如本例中计算角，容易出现得到第三象限角的错误随堂训练对应学生用书第14页1若点m的直角坐标为(1，3)，则它的柱坐标是()a.b.c. d.解析：2，tan ，结合点m的坐标知，z3，点m的柱坐标为.答案：c2若点m的直角坐标为(1，1，)，则它的球坐标为()a. b.c. d.解析：由坐标变换公式，得r2，cos ，.tan 1，.点m的球坐标为.答案：b3点p的柱坐标为(4，3)，则点p到原点的距离为_解析：xcos 4c