第一次习题课第八章向量代数与空间解析几何(一)说课材料

1、精品文档第八章 向量代数与空间解析几何(一)练习题练习题1证明：三点A,B,C共线的充分必要条件为：存在不全为零的数使得UJU0,并且OAuuu OBUUT TOC 0,其中O是任意点参考证明：UJUUJU必要性.若A,B,C共线AB/ACuuuujur存在实数,使得AB AC,即jjj juu uuLT uurOB OA OC OA ,亦即uur uu uur T(1)OA OB OC 0.OC充分性.若存在不全为零的数uuuOA)代入上式,得uiuOAuuuOCuuuOBuiuTOC 0,精品文档uuT 即CAUU TCB 0,由于，不全为零，因此,不全为零,故A,B,C共线.练习：四点A

2、, B,C,D共面的充分必要条件为：存在不全为零的数， ujuuuu uuTuuLT T使得0,并且OA OB OC OD 0,其中O是任意点.uuu练习题2证明:对任意三个共面向量Ti,T2,Ta,有uTi IfuTiuuruTiITT2uuT3uT3 uT30.丨3 MU LT _参考证明:三个向量Ti,T2,T3共面的充分必要条件是存在不全为零的数UITiTu u u ,将A, t2, t3分别与(i)式左右两端做内积UTiu,使得uTiTa,得u UTi T20,(1)TiT2 T2 u ITu urTiT3u uT2 Ta u uTaT3将(2)视为关于，的三线性齐次方程组，由于，不

3、全为零，因此uTiuTiuTi uTiuTiuT3u0.练习3 设ai j,b jk,ck i，试求a b， ab，a (b c)和(ab) c.解：因为i, j,k是直角坐标系的三个单位向量，故i ij jk k 1i j j kki 0 因此，a b(i j)(j k) i ji kj j jk 1.当然，利用坐标表达式可得a b1,1,0) 0,1,1 1.同样，利用iij j kk 0，ij k, j k i,kij，可知a b (i .i)(j k) ij ik jj j k k ji1, 1,1a (b c)(ij) (j k) (ki)(i j) (j k jik k ki)=(

4、i j) (ikj) i ii ki jj i j k jjk j iki j .直接利用坐标表达式计算i jka b (1,1,0) (0,1,1)1 10ijk 1, 10 11ijk(a b) c (1, 1,1) (1,0,1)111i k 1,0,1101注意：a (b c) (a b) c!注：计算向量的内积、外积可直接利用坐标表达式的公式，或根据单位向量i, j,k的内积和外积的运算规律计算.练习题4已知三个单位向量a,b,c满足条件a0，试求b c c a之值,并证明a b b c c a.解：注意到2(a b c) (ab c) a2a b2b c2c a1-a b 2因为a

5、 b c 0，两边与b作外积，得a b b b c b 0，即 a b同理，若两边与c作外积，就有c所以a b b c c a2 (a2c )练习证明:向量a与向量(a c)bc.b c，于是a.r r r rr(a b)c和ba都垂直。练习题5设S是 ABC的面积，p是 ABC的周长之半，试证:(1 )正弦定理，即asin Absin Bcsi nC(2)三角形面积的海伦公式：S.p(p a)(p b)(p c)；(3)如果 A(1, 1,2), B(5, 6,2), C(1,3, 1)，试求 ABC 的面积.uuu uuuuunuuuuuuuuur2 ABC =CACB=BABC=ABAC

6、，解：(1 )由向量积的几何意义有即abs inCacsinB bcsinA，同时除以 abc，即得sin Asin B泌，从而casin Absin Bcsin C(2)根据内积的定义及余弦定理，有(a b)22(a2 b2 c2)2，于是42 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2S2 -a b-(a2b2 (a2 b2 c2)2)444=(2ab a2 b2 c2)(2ab a2 b2 c2)161= (a b c)(a b c)(c a b)(c a b)16=p(p a)(p b)(p c).故 S , p(p a)(p b)(p c).urn(3) BAuuur(4, 5,0)，B

7、Cuuu uuu(4,9, 3)，BA BC(15,12,16)，故uurr uuur f222BA BC V15 121625， ABC =12.5.练习：用向量法证明三角形三条中线的长度的平方和等于三边长度的平方和的练习题6已知7a 5b与a 3b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求cos a,b ，其中a,b 为非零向量解：利用两向量垂直的充要条件有(7a 5b) (a 3b) (a 4b) (7a 2b)0，即27 a27 a216a b 15b030a b 8b20两边除以a|b，并令x a|/|b， y7x2 16xy7x2 30 xy150，解得xy8 01 22，X1，即 x 1

8、,y因此匕cos a,b12，故 a，b练习：已知向量a, b, c两两的夹角为r r ru,且 | a | 4,| b | 2,| c | 6,求向量 pa b C的长度练习题7已知向量a 2, 3,6和b 1,2, 2有共同起点，c 3 42，试确定沿 着向量a和b间夹角的平分线方向的向量c的坐标.分析：所求向量c的模已知，关键是确定它的方向.向量a和b直接相加减，均得不到沿 角平分线的向量，但由简单的几何知识可知，菱形的对角线平分两邻边之夹角由此可考虑取a和b的单位向量a0和b0，则与c同向的向量Ga0 b0必平分 a, b解:0 a a = a1,22 ( 3)2622, 3,6172

9、, 3,6，b0b1.( 1)2 22 ( 2)2(1,2, 23 1,2, 2.2 13 2 6 2, , 7 3 73 73c1a0b0设c q穿仲,且。，c 3无，2所以 2( 1)2 52 42 (3、42)2，由此得 63.21故 c 3,15,12.a b a b ba注：向量C1 a0 b =一 T 表示向量a和b夹角的角平分线的方向.|a| |b|a|b|练习题8 已知a i,b j 2k,c 2i 2j k，求一单位向量 ，使 c,且 与a,b 共面.解：设所求的向量=x,y,z，依题意 1, c， 与a,b共面，可得2 2 2x y z 1 ；（ 1）c 0，即 2x 2y

10、 z 0 ；(2)a,b, 0，即2y Z0.(3)13，Z注：欲求一个向量，即是求满足一定条件的向量的坐标由（1） （ 2） （ 3）式联立解得x23，ym2，所以32 1 2?3, 3.（1）当所求向量平行于向量a ax,ay, az（或与之共线）时，可设所求向量为P ax, ay, az，然后利用其他条件求得（2） 当所求向量垂直于向量a时，可设所求向量为P x,y,z，由此得方程，再与其他两个条件所建立的方程联立，求得x, y, z.（3） 当所求向量同时垂直于两个向量a和b时，即说明所求向量平行于向量a b，故可设所求向量为P （a b），然后利用其他条件求得练习题9求过直线L1:-

11、 1 ，且平行于直线L2:- 2 工 -的平 1 0 1 2 1 1面的方程分析：求平面方程一般考虑用点法式方程，即要求出平面的法向量注意到该法向量同时垂直于两条直线，故法向量可取这两条直线的方向向量的外积 如果已知平面过一条已知 直线，经常可考虑用平面束方程求得 解：方法1根据题意，平面 过直线L1，所以 过直线L1上的点（1,2,3） 又因为平面ijk过直线L1且平行于直线 L2，所以平面的法向量为n1011, 3,1，因此平211面方程为 1 (x 1) 3 (y 2) 1 (z 3)0,即 x3yz20方法2将直线L1 : x 1 y 2 z 3变为一般式y2.故可设所求平面的1 0

12、1xz40方程为y 2(x z4）0，即x y z 2 40，其法向量为 ,1, 由/ L2 得 21 1 10，解得1故平面的方程为3x 3y z 20 练习题10求由平面x 2y 2z60 和 4x y 8z80构成的二面角的平分面方程分析：两个平面构成的二面角有两个，所以本题的解为两个平面本题的解法也有两种，一是利用平分面上任一点到已知二平面的距离相等；二是利用平面束方程解：方法1设M（x, y,z）为所求平面上的任一点，根据题意，M到两已知平面的距离相等，所以x 2y 2z 612 22 ( 2)24x y 8z 8 即42( 1)2 82 3x 2y 2z 6 4x y 8z 8 ,

13、因此 3x 6y 6z 18(4x y 8z 8),故所求平面方程为x 7y 14z 260，或 7x 5y 2z 10方法2 设所求的平面方程为 x 2y 2z 6(4x y 8z 8)0,其法向量为n 1 4 ,21,2, 2, n2 4,1,8，根据题意，n与m所夹锐角和n nn与n2所夹锐角相等，所以一-n qnn2n|n2解得-，故所求平面方程为3x 7y 14z 260，或 7x 5y 2z 100.练习题11 一平面通过点（1,2,3），它在正x轴，y轴上的截距相等，问当平面的截距为何值时，它与三个坐标面所围成的空间体的体积最小？并写出此平面的方程分析：这是求最小值的问题.先写出

14、体积表达式，再利用求最值的方法求解x y za b c解：设此平面的截距式方程为根据题意,故平面方程为1，因为点（1,2,3）又在平面上，所以 a c设此平面与三个坐标面所围成的空间体的体积为aV，则解得c3aa 33aa -a 3.3. _2kb，令Va皆0，得 a 09（舍去），或a -2所以当ab f,C9时，此平面与三个坐标面所围成的空间体的体积最小练习题12设一直线过点P（1,0,5），并与平面:3x y 2z 15平行，又与直线z相交，试求此直线方程解:方法1设所求直线与已知直线 L的交点为M0（X0,y0,Z0），因为M。在直线L上,故有仏4UJULUT故向量F0M0y。22Z0

15、，于是有 X0 1 4t,y。 22t,Z0 t.因所求直线过点F0与M。，X01, y0 , Z05是它的一个方向向量.又因为所求的直线与平面平行，故uuuuur向量F0M0与平面的法向量n 3,1,2垂直，于是ujujurn F0Mc3(Xo 1) yo2(zo5) 12t (2 2t) 2(t 5) 0.由此解得t 1,故xo 5, yo 4,zo 1，即交点Mo(5,4,1).故由两点式得所求的直线方程% x1yOz5为，即 x 1 y 5 z.514O15方法2过点Po(1,O,5)，且与平面平行可作一平面1 ；过点Po(1,O,5)与直线L也可作一平面 2.显然，所求直线为平面1与

16、2的交线.过点FO(1,O,5)，且与平面平行的平面1的方程为3(x 1) y 2(z 5) O，即 3x y 2z 13 O.UULUJU直线L上点Qo(1,2,O)与点Po(1,O,5)构成向量PQo0,2, 5，直线L的方向向量s 4,2,1，则平面 2的法向量nUJUJUPQ0 s 43, 5, 2，于是由点法式方程得平面的方程为 3(x 1) 5y 2(z 5) O,即 3x 5y 2z 7 O.因此，所求的直线方程为3x y 2Z 13 将它化为点向式方程即为方法1的结果.3x 5y 2z 7 Ox练习题13试求直线L:xO在平面O:x y z O上的投影直线l方程,并将它写为点向

17、式方程解：方法1过直线L且垂直于平面的平面记为1，1的法向量记为n1，显然n1垂直于平面的法向量n 1,1,丫，又垂直于直线L的方向向量s，而s同时垂直于构成直线L的两张平面的法向量，故有 s 1,1, 1 1, 1,1O,2, 2.于是厲 n s 1,1,1 O, 2, 2O, 2, 2.再在直线L任取一点，如取点(O,1,O)，于是过直线 L且垂直于平面 的平面1的方程为2( y 1) 2z O 将它与平面的方程联立即得L在上的投影直线方程y z 1 Ol .x y z O投影直线l的方向向量s,O,1, 1 1,1,12,1, 1，并在I上任取一点(1,1,O)，则精品文档)0.投影直线

18、I的点向式方程为山 土2 1 1L为轴的平面束方程是方法2由直线L的一般式方程知，以直线(x y z 1) (x y z 1) 0，即( )x ( )y ( )z (选出一张平面与平面垂直，即1 () 1 ()1 ()0,故从而把它代入平面束方程得 y z 10，将它与平面的方程联立便得如方法1的投影直线的方程练习题14判断下列各题中两条直线的位置关系 交点的坐标若共面求出所确定的平面方程(是否平行、相交或重合)若相交求出3t2t解：(1)L1的方向向量03,2,4，它通过点M, 3, 1,2)， L2的方向向量3 S 3,1,2，它通过点 M2(8,1,6).因为兰3行也不重合，只需再判断是

19、异面直线还是相交,24，所以s与S?不共线，即L1与L?不平1 2不难算出皿側2 (s1 s2)0，由此知L1与L2共面又已知L1与L2不平行，故它们相交为求出交点的坐标，利用参数方程L1与L2的精品文档参数方程分别为:3t133t28则直线L1与L2相交方程组2t11t21有解不难解得t!4t122t26入即得交点坐标为(8,竖与3316，从而代3x3t13x3t28y2t11，yt21z4t12z2t26(2)L1与L2的方向向量分别为S, 2, 1,1S2 4,2, 2并且分别通过点Md1,1, 1)皿2( 2,2,0)，因为24所以s,与s2共面，又M1不在L2上，于是ujujum与L

20、2平行故通过M1(1, 1, 1)与 M1M2 3,3,1, $2, 1,1平行的平面是精品文档x 1 y 1 z 13310，即 4x 5y 3z 20.2 1 1它就是平行直线L1与L2所确定的平面方程.练习题15求M1(4,3,10关于直线L:、-2 三卫的对称点.245解：过M 1作平面 垂直L ,即作平面 过Mj，以2, 4,5为法向量，它的方程是2( x 4)4(y 3) 5(z 10)0.L的参数方程为x 2t 1,y 4t 2,z 5t 3，代入平面的方程得45t 45，由此解得 t 1，于是得L与 的交点(3,6,8)，设M1关于直线的对称点为(x,y,z)，由中点公式得4

21、x 3 y 10 z3,6,8,由此解得(x,y,z)(2,9,6).2 2 22x3y9z 4 0练习题16证明下列三个平面：3x2yz 10相父于条直线2xyz 0证明：方法1先求出前两个平面的交线L的方程：s 2,3, 9 3,2, 153, 5, 1，再令z 0，由前两平面方程可求得x 1,y2，x 3t 1故交线过点(1, 2,0)，于是交线L的参数方程为y 5t 2.将L的方程代入第三个平面z t的方程得2(3t 1) 5t 2 t0 这说明L在第三个平面上，故三平面交于一条直线.方法2先证明这三个平面的法向量共面事实上，因为2 393 212 3 3 5 9 ( 1) 0，所以这

22、三个法向量共面设平面与此法向量都平2 1 13x 2y 10行.再证明这三个平面有一个公共点令z o,由后两个方程得，解得2x y 0x 1,y2 而 x 1, y2,z 0也满足第一个方程，因此这三个平面有公共点(1,2,0).最后，因为相应的三个法向量两两不平行，所以这三个平面两两相交得三条交线，且其中任意一条交线都与平面垂直，于是这三条交线共线 又由前面的讨论知，每条交线都通过同 一点(1, 2,0)，故此三条交线重合，即三个平面交于一条直线方法3由后两个方程消去 z得5x 3y 1 0，由前两个方程消去 z也得5x 3y 1 0.因此已知方程组与方程组5x2x3y3y1 09z 42 3 (05，所以三个平面相交J3条直线.x 3t3练习题17设有两平面1 :2x3y 70, 2： y z10及两直线L1:y 2t2z tx 3t 6,L2 : y 2t 12，求与两平面 1及2都平行与两直线L,及L2都相交的直线L的方程.z 2t 8解：设直线L，L1，L2的方向向量分别为s,S|, s?.平面1与2的法向量分别为 n与n2.由