线性代数-考研笔记

1、学习资料收集于网络，仅供参考第一早行列式性质1行列式与它的转置行列式相等。性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。推论如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。性质3行列式的某一行（列）中所以的元素都乘以同一个数：，等于用数：乘以此行列式。第 行（或者列）乘以，记作（或）。推论行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。第行（或者列）提出公因子：，记作 （或 ）。性质4 行列式中如果两行（列）元素成比例，此行列式等于零。性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第列的元素都是两数之和，则 ：等于下列两个行列式之和：口 11a12(呵+%)alnaua1

2、2 -aUaiTi11a12 口 1ft21 22仏十%)小a2n+aZ2a2i!口肋十a21a22沖a2n-anl an2 (% +%)叫1叫2% 一%flJilflT|21 n -wni%D =性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。aua21+ 口e a2i ：.rav a2nq + kc5a21iau + ka a2i + aZj 1”叫+al?l2nF C - i!“Jljnnanl1 Q + ifitJ “ ia出%(i 丰 j)(巧 + fccywrcj + kt j)定义在阶行列式，把元所在的第行和第列划去后，留下来的I阶

3、行列式叫做 元的余子式,记作；记心：-，叫做 元的代数余子式。引理一个阶行列式，如果其中第 行所有元素除元 外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即卩- 定理3 （行列式按行按列展开法则 ）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。如知+ ai2A/2 + + %曲盘=0G工“和口1内j + a2iA2/ + +片討咼=0（：工力范德蒙德行列式克拉默法则2 2 2 H XXX学习资料raLlxl + a12 + +- bllxl + a22x2 + + a2n - b2+

4、口血勺 + amicn 如 如果线性方程组的系数行列式不等于零，即5口用那么，方程组有唯一解其中 1-是把系数行列式矩阵中第：列的元素al. J- I1. M 1 aln+tBtB4+*anr /-I bn %J+1%就称两个矩阵= 用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即昕1定理4如果非齐次线性方程组的系数行列式，则非齐次线性方程组一定有解，且解是唯一的。定理I如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。定理5如果齐次线性方程组的系数行列式 I- I =定理：如果 I- I 11，则它的系数行列式必为零 第二章矩阵级其运算定义1由*个数 ：- 排成的-行列的数表，

5、称为-行 列矩阵;a1la12口 1ft*=畑a22i!%+a?nldam2 +以数为一 元的矩阵可简记作：或矩阵I也记作。行数和列数都等于的矩阵称为 阶矩阵或 阶方阵。 阶矩阵也记作，。特殊定义：两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们是 同型矩阵同型矩阵I和 的每一个元素都相等,相等，| ；元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作；注意不同型的零矩阵是不同的。特殊矩阵阶单位矩阵，简称单位阵。特征：主对角线上的元素为，其他元素为；rl0OiTo1p0.00：对角矩阵，特征：不在对角线上的元素都是0，记作 Ml 001竝4 定义2矩阵的加法设有两个矩阵I 和、，那么矩阵|与的和记作|，规定为a2 +

6、 12an(+ &lnA + B =a21 + 21Cl 7 9 丰 bbaZn + b2nJ+aml十 mlam2 + bmn2I. I. (7+ 百注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算; 矩阵加法满足运算律（设 |矩阵）(i.)(ii.)A+B=B+A(山 + C =片 + G定义3数与矩阵相乘数乘矩阵满足下列运算规律（设仏尸隹*矩阵，.为数）（i.）二/ ；（ii.）.二：_：；，；（iii.）A（_A + B）=AA +AB（iv.）.；.二定义4矩阵与矩阵相乘设I是一个 矩阵，丫是一个-矩阵，那么规定矩阵与矩阵 的乘积是一个矩阵Scij = cilclj +

7、Ci2c2j + + ciscsj = yaikbkj = 1 -乙，m j = lt 2,，n） C= S，其中合，并把此乘积记作二注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘；矩阵的乘法性质（不满足交换律）(i.)(i :-(EG(ii.)A (AB)=(AA) B=A iAB)(iii.)A (B4-O =AB + AC, (R + S a =ba+ca(iv.)EA = AE = A(v.)AA = A (XE)性质:(i.)(ii.)(iii.)(iv.)歸21=1222”Fi!定义：lnI2n仏伴随矩阵的各个元素的代数余子式矩阵的转置定义

8、5 把矩阵的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做|的转置矩阵，记作! o(j4 + B)r = (J4/+ (&)r (AA)t-AAt(伯t=?W定义6由阶方阵的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称方阵|的行列式，记作 det A;（| 为阶方阵，为数）(i.)=(ii.)(iii.)=- 定义7 对于 阶矩阵I,如果有一个 阶矩阵，使:，则说矩阵是可逆的，并把矩阵 称为的逆矩阵, 简称逆阵。定理1若矩阵I可逆，则11定理2 若.，则矩阵|可逆，且|是可逆矩阵的充分必要条件是推论 若则;：二二方阵的逆阵满足下述运算规律：MlA = AA 1 其中4 *为矩阵眉的伴随阵。（i.） 若可逆

9、，则亦可逆，且|（肠）_ 1 = 4 1 （ii.） 若可逆，数则可逆，且（iii.） 若|为同阶矩阵且均可逆，则 亦可逆，且 -： ： 分块矩阵的运算法则（i.）分块矩阵的加法 矩阵的加法（ii.）数与分块矩阵相乘数与矩阵相乘（iii.）分块矩阵与分块矩阵相乘=矩阵与矩阵相乘（iv.）分块矩阵的转置：设产 11 AlrA =4=Ar =: ;! * Asl Asr4/研（v.） 设为阶矩阵，若的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为非零矩阵，且在对角线上的子 块都是方阵，即九J其中儿农=4 z*內都是方阵，那么称卫为分块对角矩阵I汕=克拉默法则对于个变量、个方程的线性方程组anxl+

10、a2x2+1 + a22 + + a2n = b2珂ID + 口说勺十 + 附阿=如n)=1T仝 xi=D+J凸1如果它的系数行列式：:，则它有唯一解1 1勺=3耳=0血G +切如+虬為）（其中右.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（i.）对调两行（对调 丿两行，记作*1勺）；（ii.） 以数.乘某一行中的所有元素（第 行乘：，记作）；(iii.)把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去(第行的：倍加到第行上，记作；把定义1中的“行”换成“列”，即得矩阵的 初等列变换 的定义(所用的记号是把“换成“匸”)矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换

11、如果矩阵|经有限次初等行变换变成矩阵 如果矩阵|经有限次初等列变换变成矩阵，就称与行等价，记作|;；，就称与列等价，记作|:;如果矩阵|经有限次初等变换变成矩阵，就称与列等价，记作|；矩阵之间的等价关系具有下列性质：(i.)反身性.1 - . -(ii.)对称性若1:，则;(iii.)传递性.：.:! - r 贝行最简形矩阵，特点：非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为0。定理1设为 矩阵，那么：(i.)川旧的充分必要条件是存在阶可逆矩阵；使:-(ii.)川B的充分必要条件是存在阶可逆矩阵；使;-(iii.)-的充分必要条件是存在-阶可逆矩阵：及阶可逆矩阵，使; = :推

12、论 方阵可逆的充分必要条件是1.2.3.4.5.6.7.8.行变换三个应用：(iii.)有无限多解的充分必要条件是 求解线性方程组的步骤(i.)对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵化成行阶梯形，从的行阶梯形可同时看出和。若R(A) ：+ 十有解线性表示的充分必要条件是矩阵A= * 的秩等于矩定义 2设有两个向量组 及B:*若B组中的每个向量都能由向量A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示，若向量组 A与向量组B能相互线性表示，则称这两个 向量组等价。定理 2向量组B:：能由向量组A:=* 线性表示的充分必要条件是矩阵A=，：的秩等于矩阵(A, B)推论向量组- 与向量组B：叱智I吒等价的

13、充分必要条件是 y 二门二宀口，其中A 和B是向量组A和B所构成的矩阵。定理 3 设向量组 B:1 能由向量组 A:= 线性表示，则定义4 给定向量组A:* ：如果存在不全为零的数,使!， f 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。定理4向量组A:：-线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A= *的秩小于向量个数m ;向量组线性无关的充分必要条件是：辻叮二=定理5 若量组A:-线性无关，则向量组 B: 二 |也线性相关。反言之，若向量组B线性无关，则向量组 A也线性无关。（2） m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数 m时一定线性相关。 特别地，n+1个n维向量一定线性相关。 设

14、向量组A：线性无关，而向量组 B:* =，b线性相关，则向量 b必能由向量组A线性表示，且表示式是惟一的。定义5设有向量组|，如果在中能选出个向量：i .七:-，满足i. 向量组1 - 线性无关；ii. 向量组冲任意个向量（如果冲有个向量的话）都线性相关那么称向量组是向量组|的一个最大线性无关组（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数称为向量组|的秩, 记作。只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.定理6矩阵的秩等于它的列向量的秩，也等于它的行向量的秩。推论（最大无关组的等价定义）设向量组 I 是向量组的一个部分组，且满足向量组!线性无关；向量组|的任一向量都能由向量组呦线性表示，

15、 那么向量组便是向量组|的一个最大无关组。定理.向量组能够由向量组 -线性表示的充分必要条件是农勺,口严.，（眄，a2t amf bA, b2,bj定理.若向量组 能由向量组线性表示，则性质1若 =：=为:-的解，则 也是几二打的解。 性质2若 为二门的解，为实数，则也是二门的解。齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。定理7 设矩阵I的秩=，贝U元齐次线性方程组 J二匚的解集 的秩.性质3 若为丄“二；的解，则 =-为对应的齐次线性方程组 丄“二门的解。定义6设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于向量的加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合为向量空间。“封闭”，是指

16、在集合中可以进行向量的加法及乘数两种运算，具体说，就是：若：二人：匸，则 ;若a E P/ E K 贝Aa EV一般的，由向量组所生成的向量空间为=甘=；1宀；-! W定义7设为向量空间，如果个向量：,且满足i. 线性无关；ii. 中任一向量都可由-线性表示，那么，向量组 就称为向量空间 的一个基， 称为向量空间 的维数，并称 为.维向量空间。定义8如果在向量空间，中取一个基,那么 中任一向量 可惟一地表示为学习资料收集于网络，仅供参考iii.iv.v.i.ii.iii.iv.az*b.| aA规范正交化:2 = a2九X 几1码十“2口2十十九口厂，数组， 毎称为向量X在基眄 化4* * *

17、 *,叫中的坐标。特别地，在维向量空间中取单位坐标向量组 - : - 为基，则以厂： 二为分量的向量，可表示为- J |H；- U：，可见向量在基 中的坐标就是该向量的分量。因此，叫辽.一:.汎叫做中的自然基。第五章相似矩阵及二次型定义1设有维向量xlx2,y =丹1 - J -令I-=! ! .，称为 与 的内积，内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数,用矩阵记号表示，当 与 都是列向量时，有内积具有下列性质（其中 为 维向量， 为实数）：I丨匚八；x +yt z = xt z + yf z当；c = 0时，氐x = U ;当恵H U时，耳x 尸畀：冬J.引尸H施瓦茨不等式r i 维

18、向量 的长度（或范数）。=1时，称为单位向量向量的长度具有下述性质:非负性 当xHO时，阔当工=0时，II划=匕 齐次性丨I H I ；三角不等式 _ .d，： + LJ当c M J时，称向量与正交。定理1若维向量叫 、珀是一组两两相交的非零向量，则 血、 、碍线性无关；定义3设维向量-門，弓是向量空间匸叭 的一个基，如果 J% ”J弓两两正交，且都是单位向量，则称 : 是的一个规范正交基。111学习资料斗 巧，ar叽叽如久-11如如b2单位化r IIMI学习资料收集于网络，仅供参考定义4如果阶矩阵满足!I ! 那么称为正交矩阵，简称正交阵。方阵为正交阵 的充分必要条件 是 I的列向量都是 单

19、位向量，且两两正交；定义5若：为正交矩阵，则:称为正交变换称为矩阵I的特征值，定义6设I是 阶矩阵，如果 和维非零列向量 使关系式成立，那么，这样的数非零向量 称为|的对应于特征值 的特征向量。特征方程为:Ax = Njtu（沖-AE）x = On - Afil = OoaA2alnI- 是矩阵的特征多项式，记作 设 阶矩阵I ;的特征值社-不难证明（i.）人1 十屯 + = I I + 口科 + -十 ann ；（ii.）2込如=Ml定理2设是方阵的个特征值依次是与之对应的特征向量，如果 各不相等，贝U -线性无关。定义7设 都是阶矩阵，若有可逆矩阵,使则称：学工的相似矩阵，或说矩阵与相似。

20、对|进行 运算 称为对|进行相似变换。可逆矩阵:称为把宀*三它的相似变换矩阵。定理3若阶矩阵|与 相似，则|与 的特征多项式相同，从而与 的特征值亦相同。推论若阶矩阵|与对角阵必111九丿相似，则心如即是启的忆个特征值。定理4阶矩阵I与对角阵相似（即I能对角化）的充分必要条件是 I有 个线性无关的特征向量。 推论 如果 阶矩阵的个特征值互不相等，则I与对角阵相似。定理5 对称阵的特征值为实数。定理6设 是对称阵|的两个特征值，- 是对应的特征向量。若|，则正交；定理7 设|为 阶对称阵，则必有正交阵,使 *; 其中 是以的个特征值为对角元的对角阵。推论 设I为 阶对称阵， 是I的特征方程的：重

21、根，则矩阵）-汪的秩门止汁1 =，从而对应特征值 恰有：个 线性无关的特征向量。对称阵|对角化的步骤：（i.） 求出|的全部互不相等的特征值* ：,它们的重数依次为（ii.） 对每个 重特征值，求方程|的基础解系，得个线性无关的特征向量。再把它们正交化、单位化，得 个两两正交的单位特征向量。因,故总共可得个两两正交的单位特征向量。_ 1T（iii.）把这个两两正交的单位特征向量构成正交阵，便有;。注意 中对角元的排列次序应与中列向量的排列次序相对应。定 义 8含 有 个 变 量 的 二 次 齐 次 函 数- 称为二次型,取:些贝则2码严旳二毎严込j + a护严：，于是f（g S “ 咛）=旳詔 + tt12xlx2十“十aln