《微分几何》作业

1、微分几何作业微分几何作业一. 填空题1. 曲面的第一基本形式为（ ）。2. 空间曲线的基本公式是（ ）。3. 曲面在任一点（u，v）的单位法向量公式为（ ）4. 空间曲线的切向量为（ ）。5. 曲线的主法向量总是指向曲线（ 凹入方向 ）。6. 曲面上正常点满足的条件为（ ）7. 曲线的挠率表达式为（ ）。8. 曲面上曲率线满足的微分方程为（ ）。9. 在曲面S: 上，线的微分方程是( )。10.设， 若 则 ( )。11.可展曲面上每一点都是 ( 抛物点或平点 )点。12.曲线在点的切线方程为（ ）。13 设曲线C： =(s), 则C在s处的主法线方程是 14 设，是曲线C：=(s)的三个基本

2、单位向量， 则=0 15 设=1，0， 0， =0，2，0， =0，0，6，则（，2）= 24 16 若向量函数=(t)的终点始终在中心为坐标原点, 半径为2的球面上， 则 = 0 17 若曲线在一点的挠率0, 则曲线在该点是 右 旋的18 在曲面上一点，如果对于任意方向，法曲率都是零，则该点是曲面上的 平 点19 已知向量, 若,则 20 设是非零向量,且, 则= 0 21 曲线在处的密切平面方程是 。22 设曲线的曲率是,则= 23 空间曲线论基本公式是 ,24根据曲线论的基本定理，在可以相差一个空间位置的情况下，唯一决定一条空 间曲线的两个不变量是曲线的 和 二. 判断题1. 空间内两自

3、由向量一定共面。（ ）2. 可展曲面上没有双曲点。（ ）3. 曲面上曲线在一点的测地曲率是该曲线在这一点切平面上正投影线在这一点的曲率。（ ）4. 若，则是平面曲线。（ ）5. 空间曲线的形状（不考虑位置差别）完全由它的曲率和挠率唯一确定。（ ）6. 曲面上任一点的单位法向量为。（ ）7. 曲面在正常点处一定有切平面和法线。（ ）8. 曲线 C： =与曲线：=在处有相同的曲率。（ ）9. 表示线的切方向。（ ）10.向量函数满足 则必有一常向量，满足.（ ）11.曲面上点都是椭圆点，则高斯曲率恒大于零. （ ）12.高斯曲率K0的曲面一定是某一条曲线的切线曲面. （ ）三. 选择题1. 平行于

4、固定平面与（）=0的关系是：BA：充分条件； B：充要条件； C：必要条件。2. 在曲线=上一点的切线和其邻近一点决定一平面，当 时的极限平面存在，是：CA：从切平面； B：法平面； C：密切平面。3. 曲线的曲率和挠率与参数的选择关系是（ B ）.A:有关系 B: 无关 C: 无法判定。4. 下列等式成立的是（ A ）：A：； B； C。5. 挠率曲率的曲线是( A )A半径为4的圆； B.半径为的圆；C半径为2的圆 ； D.半径为的圆。6. 可展曲面与（ A ）等距等价：A.球面； B.平面； C.正螺面。7. 具有固定方向与=0的关系是（ C ）： A.必要条件； B.充分条件； C.充

5、要条件。8. 如果所有密切平面垂直于某个固定直线，那么曲线是（ B ）：A.一般空间曲线； B.平面曲线； C.不确定。9. 球面上的法截线是（ A ）：A.大圆； B.一般圆； C.一般曲线。10. 高斯曲率表达式错误的为：（ C ）A. ； B.； C.。11. 若向量函数的终点在通过原点的一条直线上，则(B )A； B. 是定向的； C。12. 在曲线=上一点及其邻近一点决定一直线，当 时的极限直线存在，是：AA切线； B主法线； C副法线。13. 曲率线满足的条件是（ C ）。 A ； B; C 。 14. 在线为测地线的半测地坐标网时，曲面的第一基本形式为：AA; B ; C。 15

6、. 若曲面S在每一点的高斯曲率为，则它可以与半径为( B )的球面贴合A ； B. 2； C. 。 16.如果是曲面上的测地三角形，则公式为：AA.； B.； C.； D.以上三种都对。17.设均为非零向量，且，则（B）.线性相关； .线性无关；.可以由线性表示； D.可以由线性表示18.空间曲线的形状( A )决定A由曲率和挠率 B. 仅由曲率C仅由挠率 D. 由参数的选取19.设S 是球面， 则( D )AS上每一点是双曲点； B. S上每一点是抛物点；CS上的圆的指向球心； D. S上的测地线的指向球心.20.第二类克氏符号只与（ A ）有关： AE，F，G； BL，M，N； CE，F，

7、G，L，M，N； D都无关。四. 证明题1. 证明：曲线是平面曲线。证明：因为，所以为平面直线 所以是平面曲线。2. 证明是可展曲面。 证明：=，所以曲面是可展曲面。3. 如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。证明：设切线方程为，求导得：，所以 为直线。4. 如果曲面上曲线既是测地线又是曲率线，则它是平面线。 证明：因为曲线是测地线 有 微分得，又因为曲率线有，所以，曲线为平面曲线。5. 设C是半径为的球面上半径为的圆， 是曲线C上各点的测地曲率.证明： .曲线C的曲率为，法曲率为，由，得 。6. 证明不是可展曲面。证明：=，所以曲面不是可展曲面。7. 证明：如果曲线的所有主法线都

8、经过一个固定点，则曲线是以固定点为圆心的圆.证明：设定点的向径为，则有，求导得：。有 。所以常数。则曲线是以固定点为圆心的圆.8. 可展曲面上的直母线是曲率线.证明：曲率线满足的条件为 ；可展曲面上的直母线满足，因此它满足行列式方程。即可展曲面上的直母线是曲率线.9 试证:如果曲线的所有密切面都经过一个固定点,则曲线是平面曲线 证明：设固定点的向径为，由题意得，对于任意，都有 而 ， 所以 ，即 因此， ， 这说明是平面曲线，所以也是平面曲线10. 证明：曲面: 在每一点的切平面都通过坐标原点证明： 设是切平面上点的流动坐标，则曲面上任一点的切平面方程是 展开即 可以看出，切平面通过原点， 因

9、此，曲面在每一点的切平面都通过原点五. 计算题1. 求曲线 的曲率和挠率。解：；2. 求曲线在点的法平面方程。解：；。3. 求曲线在处的副法线和从切平面方程。解：； ； 副法线为，从切平面方程为。4. 求正螺面的第一、第二基本形式，并计算曲线和方向的交角。解：=， =； 。5. 求曲线 的曲率和挠率。解：；6. 求曲线在点的密切平面方程。解：；。7. 求曲线C：= , 的曲率和挠率.解： ,。所以8. 求曲面S：=的高斯曲率解：，。 9 求曲线C：=上从到这一段弧的长度解 10 求曲线C：=在处的和解 所以 ， 11 求曲线的曲率和挠率解 ， ， ， ，所以 ， 12 求曲线C：在处的切线方程解 ，所以，曲线上点的坐标是（1，