矩阵理论应用论文

1、高维随机矩阵理论在数组信号检测与估计中的应用摘要本文中，我们展示了高维随机矩阵理论在频谱中的要素、相关源的检测并解决了在大 数组中的估计问题。这些结果适用于样本空间的协方差矩阵？冲所感测的数据。可以看出，可以实现的检测样品尺寸大小小于传统方法所要求的。如果确定了预定的方向， 可以通过给?设置限制条件，包括从高维随机矩阵理论中提出的，可以得到更加准确的估计。一组理论 用来解决可行性问题。讨论了一些没有解决的问题。问题声明我们认为，当p很大时，检测映射在数列 p( qp)的传感器上的q的数量以及他们的 到达方向是个问题。该模型的成像机制如下。在每个时间t的第j个信号出现在场景中时，第i个传感器的加

2、性噪声和在第 i个传感器接收到的数据可以分别用平方可积的复数值随机?变 量序列?)? ?和?表 示。随机向量(S(t) = ? ?) ,0, +8 , ? = 0和奇异空间的协方差矩阵？?= ?0)?0)?。此外，假设随机变量序列2(?t | 1 i p, ?0,+), e? 0 = 0 和 E | ? 0|= ?,?未知，与随机变量序列(？?t | 1 1 1 皆的经验分布函数?x IR1? ?= ?1-8,?( A? ?1是个随机过程。我们现在回顾的主要成果，发现一个极限定理:理论1设(?,?1是E | ?1 - ? | 2 = 1的独立同分布的实值随机变量。对IN?中的每一个与?独立，存

3、在一个整数序列（?1使得对IN?中每一个k有+ 1? =? ?T + OO0?满足克莱曼法则的充分条件，？? 1?2 ?= （1/ ?o依概率弱收敛于在离散函数?x I?S? ?=?-?=1+ ,有且仅有离散函数H在（!?）？?伞时。使F 当（？乡?）？肖,?1?1 ? ?! ?？ 1 ? ? QQQQ?1 ?= ?- ?+ 1 和?1 ?= k。此理论2当?= ?, F已知，代数密度在? 1 -内核遍历所有w的所有非负整数使得（?1 ? ?）使得外，此时唯一确定 Fo下面的理论在T?是单位矩阵的倍数时适用。_ 2 _ 2? ,? 1 +?是正实数。？?最大_ 2的特征值几乎可以肯定收敛各自概

4、率于? 1 +? ,m t + o当且仅当E? = 0, ?1 4 ? t 0,x t + O。此外，如果？?1 是标准高斯化，_ 2当y 1时，？?的最小特征值收敛于 ？ 1 -? o还几个有关于F的结果在14中提到，包括在yT0时，F收敛于H和通过y和H计算 F的方法。信号检测中的应用现有的方法，比如在信息论的基础上，依靠样本空间的协方差的噪声特征值之间的相 关性。在源的数量很大时， 为了获得很好的估计，需要很大的样本量（有时是无法得到的）。在信号上附加假设时（包括快照的独立性），定理1表明，p和n充分大时，有很大的可能性，经验离散函数F?接近于离散函数F,当m=p y=p/n和H= ?朋

5、+?。当H是这样时进一步的分析表明，可以计算的到？的值 0, ?当且仅当F可以被分解成至少2个间隔，当最左边的间隔具有质量（ p-q ） /p。例如，在模拟14中，p=50, ?的 结果为1.058，从而可以允许相对较小的样本大小。然而，模拟显示比起分解F特征值分解更加有效。因此，下面的数学验证这种现象是有效的，？会被分解成2个数量级与传感器相同的2组，每个组左依赖于真正的协方差举证的最小特征值重数。因此，检测可以以大大小于以前方法所要求的样本大小实现。方位估计中的应用在我们的基本假设下，波达方向可以通过MUSIC算法的空间协方差矩阵 R计算。在实践中，由于缺乏对 R的认识，必须在观察样本协方

6、差矩阵的基础上就行计算。因为？往往是R的较差的近似，该方法可以在应用于 MUSIC前通过以一个满足上述先验约束的矩阵来代替 ?通过调用一套理论来估算和（竖?1話?皆表示的约束，这个可行性问题可以归结为找到子集中的一个R?S=? ?= ?| Q 满足竖？?1在一般情况下，直接找到一个在S中的点是不可能的。使 n ?投影映射到？?？ n?是在？?中距离Q最近的(为了使计算可追踪，我们应采取Frobenius距离)。在特定的集合和初始点 ？?), 序列(？?？?守将收敛于？其中?+1 口 ？?(？?？。在这个方案中，集合(？?仁?周期性的更新， 通过当前集合预测下一集合。首先，我们可以在R-空间带来

7、的问题构建一套真正的协方差矩阵的估计。根据上述驾驶假设，R的秩为q是一个明显的先验约束。因此，可以考虑(封闭的，非凸)矩阵？?的秩最多为q。其他的限制可能会从这个几何数组中出现。因此，如果等间距的传感器阵列是线 性的，R将有一个Toeplitz 矩阵结构，并可取？?是Toeplitz 矩阵的子空间。几个在阵列处 理中使用投影到?的应用已经被报道，列入9，通常被称为Toeplitzation。文献2提出通过？?和？?交替预测。应该指出的是，在这样的过程中，可能会出现正定性的损失。因此， 应该加入第三个集合，即正定矩阵。在模拟中，通过使用协方差矩阵约束？而不是他原是对应的？已经被报道，特别是当样本

8、数目n的信噪比很低时。在上述方法中，想要直接估计R,这限制了对噪声提供的信息利用。另一种方法是估计无噪声p*n的数据矩阵H = ?1/2 ?模型中X= AS+ N4。H的估计值？可以通过各种约束条 件合成。然后可以形成约束估计A?,例如，R = H?,对它使用 MUSIC现在让我考虑可以施加到H上的约束。为此目的，对给定的H估计值？?定义了剩余矩阵Y ? = X- ?%2?。注意到，我们有YH = N。因此，所有涉及到 N的统计信息可以加在 ？?上并可以根据这个 规则建立几个集合。举例来说，在我们的假设下，Y(?3应该看起来像零均值、均方差为？的独立同分布。一个直接用于分析样品均值的应用将导致

9、一组类型2?= ?丨?i? ?=1其中Y(?是通过层叠得到的矢量的实部和虚部。以类似的方式，可以得到Y(?的其他统计。H-空间框架也使得运用高维随机矩阵的性质变得可能。事实上，根据理论2,可以通过Y(?的最大奇异值获得一个限制(在高斯情况下也为最小)。在最大奇异值的情况下，可 以获得, 2 2 2?=?|? ? ?分析1/m表明收敛速度1/m，支持通过限制行为可以不需要很高 的m这个观点。这里提到了 2 个另外的问题。预测计算 集合论建议的方法来确定到达方向是有一个缺点，在涉及到计算每次迭代预测的数值时单调乏味。一般情况下，集的形式由？?= ?| ? ?给出，其中？?是一个给定的函数。通过求解

10、最小化问题得到矩阵Q在?上的投影m?n ? - ?服从? = ?可以通过拉格朗日乘法器得到。但是，在?不是凸面的情况下，可能会出现局部最小值。在这种情况下，应该提出高效的综合方法来结局最小化问题。收敛的可行点 由于存在非凸集，一个可行点的连续投影算法的收敛性不能保证任何的初步估计。虽然用提供的的迭代点开始是个明智的选择(例如，？= ?在R-空间方法，或者? = ?1/2在H-空间方法)，但它并不能保证收敛。因此，收敛性问题值得进一步调查。参考文献1 Z. D. Bai, J. W. Silverstein, and Y. Q. Yin, “ ANote on the Largest Eigen

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