数学在经济方面的应用举例 毕业论文

1、 （ 本科毕业论文本科毕业论文 学校代码：学校代码： 1012810128 学学 号：号： 200820905043200820905043 题题 目目： 数学在经济方面的一些应用数学在经济方面的一些应用 学学生生姓姓名名 ： 学学 院院 ： 理理 学学 院院 系系 别别： 数数 学学 系系 专专 业业： 信信 息息 与与 计计 算算 科科 学学 班班 级级： 信信 计计0 0 8 8 - - 2 2 指指导导教教师师 ： 内蒙古工业大学本科毕业论文 摘摘 要要 在经济迅猛发展的今天，数学在经济上的应用越来越重要，数学越来越被人们关 注并加以应用，并产生了事半功倍的效果.不敢预测也不可能断言，

2、在未来的经济学 理论研究中数学会占据统治地位，但是数学越来越渗透到经济学研究中并且发挥着 越来越重要的作用已成为事实.而且还应当说，经济学不仅应用了数学，而且还会不 断地应用着数学中最新的成果.因为数学家也在致力于解决能够描述复杂现象的数学.经 济学家与数学家的合作，将会推动经济学与数学的共同发展. 本文通过大量资料，采用研究总结与案例结合的方法，阐述了数学在经济方面的 应用的应用历程以及数学在经济方面的重要应用与出现的问题；探讨了微分、积分、 导数等方面在经济中的应用，并论证了数学在经济方面作用，得出了未来数学将在 经济领域起到的作用会越来越大. 关键词：微分；积分；导数；经济 内蒙古工业大

3、学本科毕业论文 目目 录录 引 言.1 第一章 数学在经济学中的应用历程及作用.2 1.1 数学在经济学中的应用历程.2 1.2 数学在经济方面重要的作用.3 1.2.1 早期数学在经济方面的重要作用.3 1.2.2 近代数学在经济方面重要的应用.4 1.3 经济数学化下的走向.6 第二章 数学在经济方面的一些应用.8 2.1 导数在经济中的应用.8 2.1.1 导数的概念.8 2.1.2 导数在经济方面的应用.8 2.2 微分在经济方面的一些应用.10 2.2.1 微分的概念.10 2.2.2 微分在经济方面的一些应用.10 2.3 积分在经济方面的应用.11 2.3.1 积分的概念.11

4、2.3.2 积分在数学方面的应用.12 2.4 多元函数的应用.20 2.4.1 多元函数的定义.20 2.4.2 多元函数的实际应用.21 结 论.27 参考文献.28 谢 辞.29 内蒙古工业大学本科毕业论文 1 引引 言言 随着社会的发展，数学与经济学相互促进共同发展已被越来越多的人认识 和接受.在现代信息社会，数学与经济的结合日益密切，数学对经济研究的发展、 深化无论在过去、现在还是将来都起到不可忽视的作用，滥用数学和盲目摒弃 都不是可取之路，必须科学地、高水平地将数学应用于经济学中，才能促进经 济学的长远发展.无数经济问题需要数学来解决，包括经济预测管理、决策优化、 资源开发与环境保

5、护、信息处理和质量控制、设计与制造和大型工程.在解决这 些问题中，高等数学中的导数、微分、积分等数学知识起了重要作用.同时应用 经济的发展又不断向数学提出新的挑战.不敢预测也不可能断言，在未来的经济 学理论研究中数学会占据统治地位，但是数学越来越渗透到经济学研究中并且 发挥着越来越重要的作用已成为事实.而且还应当说，经济学不仅应用了数学， 而且还会不断地应用着数学中最新的成果.因为数学家也在致力于解决能够描述 复杂现象的数学.经济学家与数学家的合作，将会推动经济学与数学的共同发展.我 们数学人应努力投入到数学经济的研究中，为国家经济做贡献. 内蒙古工业大学本科毕业论文 2 第一章第一章 数学在

6、经济学中的应用历程及作用数学在经济学中的应用历程及作用 1.1 数学在经济学中的应用历程 最早应用数学方法解决经济问题的，有资料证明可追溯到十七世纪后期， 当时英国最著名的古典经济学创始人威廉配第(见图一，william.petty， 16231687 年)在政治算术中提到“通过引入算术、量化等手段对经济结 构和政治事件进行分析，进而得出英国有可能成为世界贸易霸主”的结论，这 是经济学家首次在在经济中应用数学方法. 图 1.1 威廉配第 之后，数学在经济学中的应用呈快速发展的趋势，尤其是在近代以来，从 近年来诺贝尔经济学奖的获得者中可以看出这一结论.在获得诺贝尔经济学奖中 的经济学家中，他们的

7、论著中绝大多数都用到了数学工具，而一些获奖者他们 本身就是出色的数学家，其它的也大多有着深厚的数学功底. 从威廉配第第一次将数学方法应用到经济学中开始至今，数学在经济学 中的应用范围不断扩大，越来越触及更高层次的经济领域，从而促进经济的发 展.这与人类认识这个世界，改造这个世界的进程是一致的. 十七世纪末到十九世纪初，经济研究中引入了数学，经济学者开始一点一 点尝试与数学结合，实现经济研究方法上的进一步发展.这一期间的应用一般以 初级数学为主，经济学家开始用初等函数构建最普通、最基础的模型视图来解 决、发现经济问题.此外，他们还通过曲线运动，表格，等式等形式来表达当时 的经济变量.那时比较典型

8、的代表人物是弗朗斯瓦魁奈(francois quesnay16941774 ） ，李嘉图（david ricardo17721823）和亚当斯密 内蒙古工业大学本科毕业论文 3 （adam smith，17231790 年）.他们通过自己的努力开创了将数学应用到经 济学中的先河，这段时间被认为是数学在经济学中应用的萌芽时期. 图 1.2 李嘉图 十九世纪二十年代到四十年代是数学在经济学中应用的形成时期.在这一阶 段，经济学中开始广泛地应用高等数学，线性代数、概率论、微积分等.经济学 通过数学解决了一些实际问题的同时，开拓了新的研究领域，为一些新的研究 方法的诞生奠定了基础. 二十世纪四十年代开

9、始至今是数学在经济学中应用的广泛发展时期.各领域 的数学思想应用到经济研究中，产生了大量新的研究理论，出现了巨量的成果， 也因此衍生出其他很多学派.研究的问题从最初简单变为复杂，复杂贴近于现实.边 际分析，回归分析，博弈论分析，均衡分析、经济增长模型等都广泛地被作为 解释、研究经济问题的数学工具. 1.2 数学在经济方面重要的作用 1.2.1 早期数学在经济方面的重要作用早期数学在经济方面的重要作用 数学被誉为科学的皇冠，对人类改善世界，发明创造，自然科学的发展都 做出了重大贡献，同样，数学在经济学研究中也起了非常重要的作用.从某种意 义上来说，是数学加快了经济学的发展，无论是从古典经济相信古

10、典经济学的 转变，还是从“边际革命”到凯恩斯主义的转变，都与数学的应用有重要的关 系.早期数学在经济学中的作用有着以下几点： 1. 作为论证经济学理论的重要工具.一个经济理论的产生，通常提出后 内蒙古工业大学本科毕业论文 4 还要不断地通过论证才能证明其价值性.数学有很强的逻辑性和推理性，用数学 可以对经济学理论进行推导，如果在数学上通不过，肯定其中存在一定的问题， 就需要再重新思考理论.这时可以通过数学文字来进行论证，需要大量的篇幅， 但仍然没有较强的说服力，如果借助数学方法，经过数学论证的理论，就更容 易被接受.如凯恩斯（john maynard keynes18831946）的就业、利息

11、、货 币通论经过凯恩斯学派的发展成为 is-lm 模型，间或了其中的推论过程，让 结果更加直接、明显.用数学方法虽然不是万能的，但它可以至少保证经济理论 在逻辑上不出现错误，有助于正确理论的产生. 2作为简单明了的表达工具.数学最直观的特点就是简明扼要.如果用文字 的表达方式，由于不同的学者所使用的语言，翻译时存在的障碍，表达上存在 的歧义，理解上的偏差等等都致使对研究成果造成误解，曾经就有一些学者因 为表达方式不当使得他们的研究成果发表很长一段时间后都得不到其他人的认 可.而使用数学语言，可以简单明了的表达所要的思想.如宏观经济学上的国民 收入可以简明的列为 y=c+i+g+(x-m),这样

12、就可以用一个等式表明影响它的各个 变量，继而研究各个变量的变化对总体的影响，通过这样的方法，可以简化研 究时一些不必要的程序. 3. 提供量化的工具.传统的经济研究，通过用思辨式的议论方法得出结论， 这样定性的分析只能提供大概、总括的估计，其中存在着众多的不确定性，不 利于让人信服，不利于政策的实施执行，不利于具体问题的解决.二通过量化这 样的思路，可以将那些看似杂乱无章的资料整理加工起来，综合考察经济活动 中的各个变量，进而研究经济现象，探索经济活动中存在的规律.例如在微观经 济学中的边际、均衡等问题中，通过衡量就可以得出具体的数据，对时间有很 大的指导意义.另外还可以看到数学在金融产品，衍

13、生工具定价的问题中所起的 重大作用，就是量化所提供的强大功能. 1.2.2 近代数学在经济方面重要的应用近代数学在经济方面重要的应用 在现代信息社会，数学与经济的结合日益密切，无数经济问题需要数学来 解决，经济的发展又不断向数学提出新的挑战.博弈论大师、著名数学教授约 翰纳什提出的“纳什均衡”及其后续理论不仅影响了数学界，而且改变着整 内蒙古工业大学本科毕业论文 5 个经济学乃至整个社会科学的面貌.1994 年，约翰纳什（johnf nash 1928） 教授因为对“非合作博弈均衡分析以及对博弈论的贡献，荣获诺贝尔经济学奖. 世界经济体制在信息社会中正处于深刻的变革时期，数学已经迎来了无限光明

14、 的前途.近代数学在经济学中的作用有着以下几点： 1应用于经济预测管理与决策优化 在经济和管理中，预测非常重要.是管理资金投放、商品产销、人员组织等 方面的决策依据.经济的发展需要各种资源的优化组合，需要抉择目标和抉择经 营管理方式，在多种策略中选取其一以获得最大利益.这要求数学的目标函数达 到极大，目标函数也可代表损失，于是要求它达到极小.这类问题往往化为求目 标函数的条件极值或者化为变分问题.优选法、线性规划、非线性规划、最优控 制等都致力于发展优化问题. 2应用于资源开发与环境保护 通过数学理论和万法，可以分析人工地震的数据，以推断地质的构造，为 探寻我国石油、天然气的储藏位置提供依据.

15、运用数理统计、fourier 分析、时 间序列分析等数学方法，我国成功地开发了具有先进水平的地震数据处理系统. 近年来还用波动方程解的偏移叠加、逆散射等方法处理地震数据等.另外，建立 了一套地下水资源评价的理论和方法，取得了实际效益，并在农田灌溉及理论 发展上得到许多成果.数学工作者对江、湖、河口的污染扩散、土壤洗盐等问题 成功地进行了分析和模拟；对于城市的交通、管理自然条件和社会的容纳力进 行深入的发展预测和评价. 3应用于信息处理和质量控制 电子商务已经成为经济发展的重要平台，在信息通讯中运用数学由来已久， 如传统的编译码、滤波、呼唤排队等.近年来，长途电话网络系统、移动通讯系 统、国际互

16、联网系统中出现的数学问题更为可观.目前，我国应用数学原理，发 展了计算机指纹自动识别，发展成功了新一代图像数据压缩技术，发展成功了 计算机视觉，创造了从单幅图像定量恢复三维形态的代数方法、应用模式识别 和信息论，在时间序列和信号分析的发展中取得新的进展.应用代数编码，使计 算机本身具有误差检测能力，提高了计算机的可靠性.提高产品质量是国民经济 中的一个关键问题，针对工业系统性能可靠性要求，产生了可靠性抽样检查、 质量控制等新的数学方法，收到了良好的效果. 4应用于设计与制造和大型工程 内蒙古工业大学本科毕业论文 6 数学在制造业中的应用进入了新阶段.数学设计技术和计算机技术密不可分， 数学设计

17、技术成果可应用于飞机、汽车、船体、机械模具、服装、首饰等设计. 可以运用数学原理，对各项工程设计以周密的计算来提供精确的数据，大型工 程尤其如此.我国数学家设计了一批工程计算专用程序，在国家重点工程建设中 发挥了作用，如三峡水利工程是举世关注的超大型工程，其中一个严重的施工 问题是大体积混凝土在凝结过程中化学反应产生的热，它使得坝体产生不均匀 应力甚至形成裂缝，危害大坝安全.以往的办法是花大量财力进行事后修补.现 在我国已研制成可以动态模拟混凝土施工过程中温度、应力和徐变的计算机软 件.人们可用计算方法分析、比较各种施工方案以实现工程最优化，还可用它来 对大型工程建成后的运行进行监控和测算以保

18、障安全. 5应用于农业经济 我国数学工作者在分析了我国传统的生态农业思想与人类开发关系等问题 之后，提出了一个生态农业经济发展及整治的理论框架与行动措施，建立了许 多数学模型.其中包括：一般水环境整治与扩建水电能源的投入产出与经济系统 的优化、林业开发与土地资源开发等优化模型.同时，我国运用数学、生物、化 学与经济发展交叉的发展成果，建立了平原农业资源配置的数学模型和资源配 置规划.运用线性规划、对策论参数规划等数学工具，建立了多地区的种植业和 畜牧业，制定最优的结构布局方案，采用模糊聚类分析方法，建立了水产业最 优结构的模型，为农村剩余劳力提出了合理转移方案. 1.3 经济数学化下的走向 数

19、学被广泛地应用到经济研究中，使得经济学的领域不断扩大.经济理论更 加成熟和丰富，其成果也更具有可操作性和现实性，然而同时我们也须看到它 存在的不足和可能导致的不良现象，因此必须加以防范，促进经济学的发展. 首先，要辩证地看待数学在经济学中的作用.既不要迷信它，也不要盲目地 加以否定.俗话说：“知其然亦知其所以然” ，既要明白它的优越性，同时也要 看到它的不足，真正地做到取长补短. 其次，要给予经济思想足够的重视.经济思想决定经济研究大的原则方向， 对促进研究的正确持续顺利进行有着重大意义，如果迷失大的原则方向，可能 导致研究的最终失败. 内蒙古工业大学本科毕业论文 7 第三，简单、实用、科学原

20、则.在应用数学的过程中，应该明确它只是一个 工具，而该工具的作用就是让经济研究变得简明、清晰、科学.能用简短文字表 达的就使用文字表述清楚，需要借用数学形式的，要用简单科学的方式表达， 而不是为了现实理论的深奥、追赶时髦而被动地应用，那样会起到画蛇添足的 作用. 第四，要善于学习先进的数学方法，并将其应用到实践当中.数学作为经济 研究的重要工具，已经产生了巨大的成就，这显然是极大的生命力，而且也是 可行的.所以要认真学习先进的数学方法，利用数学逻辑的严密性，数学符号的 简明性，为解决经济问题，解释经济现象做好铺垫. 内蒙古工业大学本科毕业论文 8 第二章第二章 数学在经济方面的一些应用数学在经

21、济方面的一些应用 2.1 导数在经济中的应用 2.1.1 导数的概念导数的概念 在经济和管理中，预测非常重要.是管理资金投放、商品产销、人员组织等 方面的决策依据.经济的发展需要各种资源的优化组合，需要抉择目标和抉择经 营管理方式，在多种策略中选取其一以获得最大利益.这要求数学的目标函数达 到极大，目标函数也可代表损失，于是要求它达到极小.这类问题往往化为求目 标函数的条件极值或者化为变分问题.优选法、线性规划、非线性规划、最优控 制等都致力于发展优化问题. 定义定义 2.12.1 设函数 ，在附近有定义，对应于自变量的任一该变量，( )yf x 0 xx 函数的该变量为 ，如果极限 00 (

22、)()yf xxf x 00 00 ()() limlim xx f xxf xy xx 存在，则此极限值就称作函数在点的导数（也叫微商）,记为，这( )f x 0 x 0 ()fx 时我们就说在点导数存在，或者说在点可导.( )f x 0 x( )f x 0 x 函数 在 的导数 就是函数 在 的平)(xfy 0 x)( 0 x f )(xfy , 00 hxx 均变化率的极限，即函数 在 的变化率， 刻画了当自变量)(xfy 0 x)( 0 x f 在 有 1 个单位的改变时，函数 在 相应地有 个单位 0 xy),( 21 qqrr )( 0 x f 的改变. 导数在很多实际中有应用，利

23、用导数与经济学的联系，可以解决一些经济 经济学中的实际问题. 2.1.2 导数在经济方面的应用导数在经济方面的应用 如果某公司生产某种商品的总成本函数为 ，其中 为该商品的)(xcc x 生产量， 为生产 个单位该商品的总成本，则导数 表示当产量在 c)( 0 x c 有 1 个单位的改变时，该公司的总成本在 将会有 个单位的改变. 0 x)( 0 xc)( 0 x c 内蒙古工业大学本科毕业论文 9 如果某公司生产某种商品的平均成本函数 ，其中 为该商品的)(xcc x 生产量， 为生产 个单位该商品的平均成本，则导数 表示当产量在cx)( 0 x c 有 1 个单位的改变时，该公司的平均成

24、本在 将会有 个单位的 0 x)( 0 xc)( 0 x c 改变. 如果某公司销售某种商品的总收入函数为 ，其中 为该商品的)(xrr x 销售量， 为销售 个该商品的总收入，则导数 表示当销售量在 rx)( 0 x r 0 x 有 1 个单位的改变时，该公司的总收入在 将会有 个单位的改变.)( 0 xr)( 0 x r 例例 1 1 某公司某产品的日生产能力为 500 台，某日产品的总成本 c（千元）是日 产量 x（台）的函数： .求)5000(52400)(xxxxc （1）当产量为 400 台时的总成本； （2）当产量为 400 台时的平均成本； （3）当产量为 400 台时总成本的

25、变化率. 解 （1）当产量为 400 台时，总成本为 130040054002400)400(c （2）当产量为 400 台时，平均成本为 25. 3 400 1300 400 400 )400( ）（c c （3）因为 ，所以当产量为 400 2 1 ) 2 1 (5252400)( xxxxc）（ 台时总成本的变化率为 125. 2400) 2 1 (52)400( 2 1 c 上式中， 表示当日产量为 400 台时，若再多生产 1 台，总成125. 2)400(c 本将增加 2.125 千元. 例例 2 2 设某家具的需求函数为 ，其中 为家具的销价格，单位为pq31200p 元， 为q

26、 2 0 ( )(0.00030.1220)800 x c xxxdx 32 0.00010.0620800 xxx 该家具的需求量，单位为件.求当销售量分别为件时总收入的变化率，并解释所 得到的结果. 解 由需求函数 ，得价格 pq31200 1 400 3 pq 内蒙古工业大学本科毕业论文 10 总收入函数为 2 11 400400 33 rr qpqq qqq 2 12 (400)400 33 r qqqq 所以 2 450400450100 3 r 2 6004006000 3 r 2 (750)400750100 3 r 上述计算表明：当家具的销售量为 450 件时，再多销售 1 件

27、家具，那么总 收入将增加 100 元；当家具的销售量为 600 件时，再多销售 1 件家具，那么总 收入不会增加；当家具的销售量为 750 件时，再多销售 1 件家具，总收入反而 减少 100 元. 2.2 微分在经济方面的一些应用 2.2.1 微分的概念微分的概念 微分是数学专业一门重要的分支，其解法和理论已经很完善，可以为分析 和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分具有极大地普遍性、 有效性和非常丰富的数学内涵. 定义定义 2.22.2 设函数在的邻域内有定义，及在此区间内.( )yf xx 0 x 0 xx 如果函数的增量可表示为（其中 a 是不 00 ()()yf xxf

28、x ()ya xox 依赖于的常数） ，而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可xo xx( )f x 0 x 微的，且称作幻术在点相应于自变量增量的微分，记作，即a x 0 xxdy dyx 当充分小时，.利用此关系可以简化运算，这是微分的近似计算.xdyx 2.2.2 微分在经济方面的一些应用微分在经济方面的一些应用 例例 1 1 某种载重卡车行驶 500mile 路程的总成本（美元）是其平均速率( )c v 内蒙古工业大学本科毕业论文 11 的函数(/ )v mile h 4500 ( )125c vv v 试求当平均速率由 55 mile/h 增加到 58 mile/h 时, 其总成本改

29、变量的 近似值. 解 55,58553vvdv 所以 55 2 45004500 ( )(1)|3(1) 31.46 3025 v cdcc v dv v 计算结果表明：当平均速率由 55 mile/h 增加到 58 mile/h 时, 其总成本将减 少 1.46 美元.这可以部分解释许多独立行使的载重卡车的平均速率会超过 55 mile/h（最高限速）的原因. 例例 2.2.某公司的广告的支出（千元）与总销售额（千元）之间的函数关系x( )s x 为如果该公司的广告支出从 100000 32 ( )0.0020.6500 (0200),s xxxxx 元（）增加到 105000 元（） ，试

30、估计该公司销售额的改变量.100 x 105x 解 即求销售额的改变量的近似值， 所以 2 100100 ( )|( 0.0061.21)|5 xx sdss xdxxx ( 60 120 1) 5305 销售额大约增加 305000 元. 2.3 积分在经济方面的应用 2.3.1 积分的概念积分的概念 定义定义 2.32.3 若在某一区间上，则在这个区间上，函数叫做函 ( ) ( )f xf x( )f x 数的原函数.( )f x 我们把函数的原函数的一般表达式称为该函数的不定积分. 定义定义 2.42.4 设是定义在上的有界函数，在中任意插入若干个分( )f x, a b( , )a b

31、 点 011nn axxxxb 来划分区间，并在每一个部分区间中任取一点，作和式个区间，(1,2, ) i inn 内蒙古工业大学本科毕业论文 12 1 ( ) n ii i fx 其中，设为中的最大数，即 1iii xxx 1,2, ( )max i in x (1,2, ) i x in 1,2, ( )max i in x 当时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖于的选择，也不依赖( )0 与对区间的分法，就称此极限值为在上的定积分，记作, a b, a b b a f x dx 即 1 lim( ) n b ii a i f x dxfx 2.3.2 积分在数学方面的应用积分在数学方

32、面的应用 随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济类问题显得越来越重要. 在经济分析中，我们常用积分来求某经济总量及变动值，并通过对经济总量变 动值的综合分析对比，对企业的经营决策及时做出正确的调整.本文结合几个经 济分析中的实际问题，谈谈定积分在广告策略，消费者剩余和生产者剩余，国 民收入分配及无穷积分在仓库供应的订货分析中的应用. 一需求函数和供给函数 （1）设需求函数，其中是需求量，是价格，当时，需求 ( )qq p qp0p 量最大.设最大需求量为，即. 0 q 0 (0)qq 若已知边际需求函数为，则总需求函数为 ( ) q p( )q p ， ( )( )q pq p dp 其

33、中，积分常数可由条件确定. c0 (0)qq 也可由定积分求得需求函数 . 0 0 ( )( ) p q pq p dpq （2）设供给函数，其中是供给量，是价格当时，供给量 ( )qq p qp0p 为 0. 若已知边际供给函数为，则供给函数为 ( ) q p( )q p ， ( )( )q pq p dp 其中，积分常数可由条件确定. c (0)0q 内蒙古工业大学本科毕业论文 13 也可由定积分直接求出供给函数 0 ( )( ) p q pq p dp 例例 1 1 某企业每月销售额是 10000 元，平均利润是销售额的 10%.根据企业以往经 验，广告宣传期间月销售额的变化率近似地服从

34、增长曲线（t 以月为 0.02 10000 t e 单位），企业现需决定是否举行一次类似的总成本为 1300 元的广告活动.按惯 例，对超过 1000 元的广告活动，若新增销售额产生的利润超过广告投资的 10%,则 决定做广告.试问该企业按惯例是否应该做此广告？ 解 12 个月后总销售额是当 t=12 时的定积分，即总销售额为 （元） 0.02 12 0.02120.24 0 0 10000 10000500001135600 0.02 t t e edte 公司的利润是销售额的 10%，故新增销售产生的利 （元）135600 120000 10%1560 由于 1560 元是花费了 1300

35、 元的广告费而得到的，因此，广告所产生的实 际利润是 1560-1300=260（元），这表明盈利大于广告成本的 10%，故企业应 该做此广告. 例例 2 2 已知某产品总成本关于产量的变化率为，( )4c qq()万元/ 百台 ，求：固定成本为(0)2()c万元 （1）总成本函数；( )c q （2）当产量从 2 百台增加到 4 百台时，成本增加了多少？q 解 （1） 2 1 ( )( )(4)44, 2 c qc q dqq dqdqqdqqqc 由即代入上式得到，(0)2,c0,( )2qc q2c 所以成本函数 2 1 ( )42() 2 c qqq万元 （3）当产量从 2 百台增加到

36、 4 百台时，成本增加量为q 22 11 (4)(2)(4 44 )(4 22 )14 22 cc 故成本函数为，当产量从 2 百台增加到 4 百台，成本增加 2 1 ( )42 2 c qqqq 了 14 万元. 例例 3 3 某杂志目前的发行量为每周 3000 本，总编辑计划从现在开始，杂志 周发t 内蒙古工业大学本科毕业论文 14 行量的增长率为（单位：本/周） ，求从现在起 75 周该杂志的发行量将是 2 3 45t 多少？ 解 设从现在起 周该杂志的发行量为，由已知可得 周发行量的增长率t( )s tt 为 2 3 ( )45,(0)3000,s tts且 所以 2 3 ( )( )

37、(45)s ts t dttdt ， 33 55 3 4543 5 ttcttc 将，代入上式得到 (0)3000s3000c 故从现在起 周的发行量为 t 3 5 ( )433000s ttt 因此 3 5 (75)4 753 7530008925s 所以，从现在起 75 周的发行量为 8925 本. 例例 4 4 某商品需求量是价格的函数，最大需求量为 100，已知边际需求为qp ，求需求量与价格的函数关系. 30 ( ) 1 q p p 解 由求需求函数的不定积分公式可求得 30 ( )( )30ln(1) 1 q pq p dpdppc p 再由，代入上式，求得，所以需求量与价格的函数

38、关系是(0)100q100c ( )30ln(1) 100q pp 或者 由求需求函数的定积分公式可直接求得 0 00 30 ( )( )10030ln(1) 100 1 pp q pq p dpqdpp p 例例 5 5 某种名牌女士鞋价格（元）关于需求量（百双）的变化率为，px 12 qqq 如果销售量（百双）时，每双售价为 500 元，求这种名牌女士鞋的需求函3x 数.( )p x 解 由已知可求出价格和需求量的函数关系px 内蒙古工业大学本科毕业论文 15 3 22 2 3 2 2 11 22 22 2 250250 ( )( )(16)(16) 2 (16) 250 2250 (16

39、)250(16) 2 16 x p xp x dxdxxdx x xcxcc x 由已知时，代入上式422 2 2 22 qqc50p ，求得， 1 2 500250(169)c 450c 得到需求函数为 2 250 ( )450 16 p x x 显然，价格越低，需求量越大，这与我们日常生活想吻合的. 例例 6 6 若上例中女士鞋单价（元）关于日供给量（百双）的变化率为：px ，如果每双的售价为 50 元时，供给量为 200 双/天（） ，求 2 240 ( ) (5) x p x x 2x 这种名牌女士鞋的日供给函数. 解 由已知可求出价格和供给量的函数关系px 2 2121 )(6)(7

40、4qqqq 当时，代入上式得2x 50p ，求得 1200 50240ln3 3 c350240ln3c 所以 1200 ( )240ln |5|350240ln3 5 p xx x 整理得 |5|1200 ( )240ln350 35 x p x x 二总成本函数 设产量为时的边际成本为，固定成本为，则产量为时的总成q ( ) c q 0 cq 本函数由前面的边际分析可得到 ， ( )( )c qc q dq 其中，积分常数可由条件确定.c 0 (0)cc 也可由定积分求出总成本函数 0 0 ( )( ) q c qc q dqc 其中，是固定成本，为可变成本. 0 c 0 ( ) q c

41、q dq 内蒙古工业大学本科毕业论文 16 例例 7 7 如果某企业生产一种产品的边际成本为，固定成本， 0.02 ( )4 q c qe 0 80c 求总成本函数. 解 由定积分求总成本的公式可得 0.02 0 00 0.020.02 0 ( )( )480 4 |80200120 0.02 qq q qqq c qc q dqcedq ee 例例 8 8 某跨国公司制造一种便捷式烤炉，生产这种烤炉的日边际成本为 ，表示这种产品每天的生产量，生产这 2 ( )0.00030.1220()c xxx美元/ 台x 种产品的固定成本为 800 美元/天. （1）求总成本函数 （2）该公司生产该产品

42、为 300 台/天时，总成本是多少？ （3）日产量由 200 台变化到 300 台时，公司的生产成本是多少？ 解 1 （1）由不定积分有 2 32 ( )( )(0.00030.1220) 0.00010.0620 c xc x dxxxdx xxxc 由已知有固定成本为，代入上式，得到，(0)800c800c 得总成本函数为 32 ( )0.00010.0620800c xxxx （2）由（1）求出的成本函数得到 32 (300)0.0001(300)0.06(300)20(300)8004100()c美元 （3）日产量从 200 台变到 300 台时，生产成本为 (300)(200)410

43、03200900()cc美元 解 2 （1）利用定积分有 2 0 32 ( )(0.00030.1220)800 0.00010.0620800 x c xxxdx xxx （2） 300 2 0 (300)(0)(0.00030.1220)3300ccxxdx 所以有 (300)3300(0)33008004100()cc美元 （3） 300300 2 200200 (300)(200)( )(0.00030.1220)ccc x dxxxdx 32300 200 (0.00010.0620 )|900()xxx美元 三总收入函数 内蒙古工业大学本科毕业论文 17 设销量为时的边际收入，则销

44、量为的总收入函数可由q ( ) r qq ( )( )r qr q dq 求得，其中积分常数由销量为 0 时总收入为 0，即求出.也可由定积分(0)0r 的方法求得 0 ( )( ) q r qr q dq 例例 9 9 已知生产某产品单位时的边际收入为（百元/单位） ，求生q ( ) 1002r qq 产 40 单位时的总收入及平均收入，并求再生产 20 个单位时所增加的总收入. 解 由定积分求总收入函数公式可得 00 22 0 ( )( )(1002 ) (100)|100 qq q r qr q dqq dq qqqq 所以生产 40 个单位时的收入为， 2 (40)100 404024

45、00()r百元 平均收入为 ， (40)2400 60(/) 4040 r 百元单位 如果再增加生产 20 个单位，则总收入增加为 22 (60)(100 6060 )(100 4040 )0rr（40） 可见，增加生产量，收入不一定会增加.如何安排生产，使收入最大化， 是值得重视的问题. 例例 1010 劳力士表公司的管理者证实，该公司每天销售旅游手表的边际收入函数 为其中是销售量， ( ) 0.00912(/)r xx 单位：美元块x （1）求出收入函数 （2）求出需求函数（旅游手表销售数量和销售单价的关系） 解 （1）由定积分有 2 0 ( )( 0.00912)0.004512 x r

46、 xxdxxx （2）设销售单价为，则有，p( )r xpx 又由（1）有， 2 ( )0.004512r xxx 所以 ， 2 0.004512pxxx 故所求需求函数为 ( )0.004512p xx 四利润函数 设某产品边际收入为，边际成本为，则边际利润 ( ) r q ( ) c q 内蒙古工业大学本科毕业论文 18 ， ( )( )( )l qr qc q 所以有利润 0 00 0 00 00 00 ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) qq qq qq l qr qc qr q dqc q dqc r q dqc q dqc r qc q dqcl q

47、dqc 即有 ， 0 0 ( )( ) q l ql q dqc 其中，称为销售为时的毛利润，即没有计算固定成本时的利润. 0 ( ) q l q dq q 例例 1111 已知某产品的边际收入，边际成本固定成本 ( ) 252r qq ( ) 134c qq 为，求当时的毛利润和纯利润. 0 10c 5q 解 由已知，得边际利润， ( )( )( )122l qr qc qq 由求销量为时毛利润的公式得到当产量时的毛利润为q 0 ( ) q l q dq 5q ， 5 25 0 0 (122 )12|85q dqqq 又固定成本为，所以纯利润为. 0 10c 85 1075 五已知边际经济函

48、数，求该经济函数的增量 已知边际经济函数，求其原经济函数当自变量从变化到时原函( )f xxab 数相应的增量： 由不定积分先求出原函数 ，( )( )f xf x dx 则增量 .( )( )( )f xf bf a 由定积分可直接求得增量为 ( )( )( )( ) b a f xf bf af x dx 例例 1212 设某产品的生产是连续生产的，总产量是时间 的函数，如果总产量的qt 变化率为（单位：吨/日） ，求投产后从到这 27 天的总 9 2 324 ( ) t q te t 3t 30t 产量. 解 内蒙古工业大学本科毕业论文 19 9 3030 2 33 9999 30 30

49、 303 3 3 0.33 324 (30)(3)( ) 3249 ()36|36() 9 36()20.043 t tt qqq t dte dt t e deee t ee 例例 1313 某种产品的销售增长率服从，式中 以年为单位，求前( )1340850 t f tet 5 年的总销售量. 解 设销售量关于时间的函数为，由已知有所以 ( )f t ( ) 1340850 t f te 5 0 55 0 (5)(0)(1340850) 1340850|58508505855.73 t t ffedt tee 六由边际函数求最优化问题 根据求函数极值的方法，下面我们讨论经济中的一些最优化问

50、题. 例例 1414 已知某商品的边际成本为（万元/台） ，固定成本为 100 万元， ( ) 2 q c q 又已知该商品的销售收入函数为（万元） ，求( )100r qq （1） 使利润最大的销售量和最大利润 （2）在获得最大利润的销售量的基础上，再销售 20 台，利润将减少多少？ 解 （1）设利润函数为，由已知有( )l q ， ( )( )( )(100 )100 22 qq l qr qc qq 令求得唯一驻点 ( ) 0l q 200q 所以当时，利润最大 1 ( )0, 2 l q 200q 又 2 0 ( )( )100100 4 q q c qc q dq 故 2 ( )(

51、)( )100100 4 q l qr qc qq 所以最大利润为（万元）(200)9900l 例例 1515 某精密机器公司在一个月的生产周期内生产全自动电子闪光灯，估计边 际利润函数为：-0.004+20（元/件） ，生产量是件，该公司生产和销售这些xx 电子闪光灯的总成本是 16000 元.问为何值时，该公司在一个月内的收入可达x 内蒙古工业大学本科毕业论文 20 到最大？收入的最大值是多少？ 解解 设利润函数为，由已知有( )l x 所以边际收入函数 =-0.004x+20,( )( )( )r xl xc x 由，得唯一驻点=5000.( )0r xx 又，所以当 x=5000 件时

52、，收入最大，最大收入为( )0.040rx )(50000| 20002.20004 . 0 )5000( 5000 0 5000 0 2 元xxdxxr 2.4 多元函数的应用 2.4.1 多元函数的定义多元函数的定义 定定义义 2 2. .5 5 设为一个非空的 元有序数组的集合，为某一确定的对应规dnf 则.若对于每一个有序数组，通过对应规则 f，都有唯一确 12, ( ,) n x xxd 定的实数与之对应，则称对应规则为定义在上的元函数.记为yfdn ） ，. 变量称为自变量；称为 12, ( ,) n yf x xx 12, ( ,) n x xxd 12, , n x xxy 因

53、变量.当时，为一元函数，记为;当时，为二元函1n ( ),yf x xd2n 数，记为，二元及以上的函数统称为多元函数 .( , ),( , )zf x yx yd 2.4.2 多元函数的实际应用多元函数的实际应用 多元函数条件机制在不等式证明、物理、生产销售、证券投资分析、多元 统计分析学里判别分析和组成分析等问题上都有广泛的应用. 到目前为止，我们所讨论的函数都是关于一个变量的函数，但在许多实际 应用中，常常需要考虑两个或两个以上变量的函数. 例如某公司生产销售 a 型、b 型、c 型三种不同的纪念品，销售一件相应纪 念品的利润分别为 6 元、5 元、4 元，分别以、 表示相应纪念品的销售

54、xyz 量，则利润函数为 （元）654pxyz 就是三个变量的函数.p 在生产中，产量与投入的劳动q 力和资金之间有关系式lk ,16000)(,20004 . 0 )( xcxxl 内蒙古工业大学本科毕业论文 21 ，qal k 其中，、为常数.是两个变量、的函数，该函数称为0a00qlk 柯布(c.w.cobb)-道格拉斯(paulh.douglas)生产函数. 某扩音器制造生产的扩音器系统既可以整套出售，也可以散件出售供消费 者自己组装使用.假设扩音器系统整套、散件每周的需求量分别为套、套，xy 零售价分别为元/套、元/套，每周的需求方程为pq ， 11 300 48 pxy 13 24

55、0 88 qxy 则每周该公司的收入函数为 ,r x yxpyq 22 1113 300240 4888 131 300240 484 xxyyxy xyxyxy 就是两个变量的函数.,r x y 购买大宗商品（如住房、汽车等） ，一般需要向银行抵押贷款，按月偿还. 一笔总额元的贷款， 年还清，年利率为 ，每月的还款额为atr （元） 12 , , 1211 12 t ar pfa r t r 这里是三个变量、 、 的函数.例如一笔 90000 元的住房贷款，30 年还清，part 年利率，每月的还款额为10 （元） 360 90000 0.1 90000,0.1,30789.81 0.1 1

56、211 12 pf 考虑柯布-道格拉斯生产函数 qal k 假设资金保持不变，则产量可以看作是劳动力的一元函数，由一元函数kql 求导公式，可得 1 l qalk 类似地，假设劳动力保持不变，则产量可以看作是资金的一元函数，由lqk 内蒙古工业大学本科毕业论文 22 一元函数求导公式，可得 1 k qal k 这种由一个变量变化、而其余变量保持不变所得到的倒数，称为多元函数的偏 导数. 例例 1 1 第二次世界大战结束后，某个国家在经济恢复时期的生产函数为 21 33 ,30fx yx y 其中为同期投入的劳动力数量，为同期投入的资金数量.xy （1）试计算，； x f y f （2）当某时刻

57、劳动力投入 125（单位） 、资金投入为 27（单位）时，分别求关 于劳动力、资金的边际产量.并解释所得到的结果. 解解 （1） 1 11 3 33 2 3020 3 x y fxy x 2 22 3 33 1 3010 3 y x fxy y （2）当、时，125x 27y 1 3 27 (125,27)2012 125 x f 其含义表示：当劳动力投入 125（单位） 、资金投入为 27（单位）时，劳动力再 增加投入一个单位，生产量将增加 12 个单位. 2 3 125250 (125,27)10 279 y f 其含义表示：当劳动力投入 125（单位） 、资金投入为 27（单位）时，资金

58、再增 加投入一个单位，生产量将增加个单位.所以在战后恢复经济期间，增加资 250 9 金的投入可以更快速有效地增加生产，恢复经济. 例例 2 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择 一种进行销售若只在国内销售，销售价格 （元/件）与月销量 （件）的函数yx 关系式为，成本为 20 元/件，无论销售多少，每月还需支出广 1 150 100 yx 告费 62500 元，设月利润为（元） w内 若只在国外销售，销售价格为150 元/件，受各种不确定因素影响，成本为 a 元/件（为常数，） ，当月销量为 x（件）时，每月还需缴纳a1040a 元的附加费，设月利润为 w外（元）

59、 2 1 100 x 内蒙古工业大学本科毕业论文 23 （1）当 = 1000 时， = 元/件，w内 = 元；xy （2）分别求出 w内，w外与 x 间的函数关系式（不必写 x 的取值范围） ； （3）当为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最x 大值与在国内销售月利润的最大值相同，求 a 的值； （4）如果某月要将 5000 件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策， 选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？ 解（1）当时，1000 x 2 2 1 150 100 1 1501040 100 140 yx a 1000 1 (150)2062500 100 1 (15

60、0) 100020 100062500 100 57500 wxxx 内 1000 （2） 2 1 (150)2062500 100 1 13062500 100 wxxx xx 内 2 1 (150) 100 wa xx 外 （3）由（2）可知 2 1 (6500)360000 100 wx 内 所以当时，在国内销售的月利润最大.6500 x 当时，取最大值 360000.解得50 (150)xa 2 1 (150) 100 wa xx 外 30a （4）当时，5000 x 2 1 (6500)360000337500 100 wx 内 当时，可解得337500w 外 32.5a 所以当时，