理论力学-动力学：d-ch6 刚体动力学(二)E

1、作业作业: 6-7: 6-7、6-176-17、6-186-18 6-46-4、一般运动刚体的运动学与动力学、一般运动刚体的运动学与动力学 2021-5-41 刚体或刚体系一般运动的实例刚体或刚体系一般运动的实例 问题：问题：如何确定自由刚体在空间的位置？如何确定自由刚体在空间的位置？ 2021-5-42 6-4-1 6-4-1 刚体一般运动的运动学刚体一般运动的运动学 一、刚体一般运动的运动方程一、刚体一般运动的运动方程 x y z 定参考系定参考系 111 zyx 平移参考系平移参考系 1 x 1 y 1 z o x y z o r 一般运动一般运动 = = 平移运动平移运动 + + 定点

2、运动定点运动 )( )( )( 3 2 1 tfz tfy tfx O O O )( )( )( 3 2 1 tf tf tf 自由运动刚体的广义坐标为：自由运动刚体的广义坐标为：, OOO zyx 2021-5-43 6-4-1 6-4-1 刚体一般运动的运动学刚体一般运动的运动学 二、刚体一般运动时其上点二、刚体一般运动时其上点M的速度和加速度的速度和加速度 re vvv M re aaa M rv o ) ( rrao 动点：动点：M，动系：，动系： 111 zyox（平移动系）（平移动系） 1 x 1 y 1 z o r x y z r o r M 刚体的一般运动刚体的一般运动：随基点

3、的随基点的平移平移和绕基点的和绕基点的定点运动定点运动的合成的合成 刚体上点刚体上点M 的速度的速度 刚体上点刚体上点M 的加速度的加速度 2021-5-44 6-4-1 6-4-1 刚体一般运动的运动学刚体一般运动的运动学 例：例：半径为半径为R的保龄球在地面上的保龄球在地面上纯滚动纯滚动，已知该球绕铅垂轴的角，已知该球绕铅垂轴的角 速度是速度是 ，绕水平轴的角速度为，绕水平轴的角速度为 ，其大小均为常量，其大小均为常量0 0。 求保龄球的求保龄球的角速度，角加速度角速度，角加速度，球体最高点，球体最高点M的的速度和加速度速度和加速度。 1 z 1 x 1 x 1 z 1 y 1 o 1 z

4、 1 x 11 xz ik 00 解解：（1）求角速度和角加速度）求角速度和角加速度 t d d 0 （2）求）求M点的速度点的速度 MOOM 11 rvv M P POOP 11 rvv POO 11 rvik)( 0 R 0 1 o v ? ：常矢量， 11 xz )( 111 xzPO rjR 0 11 xPO r 2021-5-45 6-4-1 6-4-1 刚体一般运动的运动学刚体一般运动的运动学 jR 0 MOxz 111 )(r jR 0 MOx 11 r jR 0 2 jR 0 1 x 1 z 1 y 1 o 1 z 1 x M P 1 o v ：常矢量， 11 xz MOOM

5、11 rvv POO 11 rv 11 xPo r （3）求）求M点的加速度点的加速度)( 11 MOMOOM rraa ? jvR o0 1 0 1 O a jR 0 kiR 0 jR 0 jR 0 0, 0 1 Mo r ? jR 0 2 2021-5-46 6-4-1 6-4-1 刚体一般运动的运动学刚体一般运动的运动学 1 x 1 z 1 y 1 o 1 z 1 x M P 1 o v )( 1M OM ra )( 11 MOMO rv MOxz 111 )(r MOx 11 r jR 0 M a 1 MO v 111 )( MOxz v 1111 MOxMOz vv iR 2 0 k

6、R 2 0 M a jijkRR 0000 )(问题：问题：如何求该瞬时如何求该瞬时M点点 运动轨迹的曲率半径运动轨迹的曲率半径? ? jR 0 2 M v 2021-5-47 6-4-1 6-4-1 刚体一般运动的运动学刚体一般运动的运动学 例例: 已知半径为已知半径为R 的的钢球在地面上钢球在地面上纯滚动纯滚动。O 为球心，球体上的为球心，球体上的 四点四点A、B、C、O共面共面，图示瞬时，图示瞬时A、B 两点的速度水平向右，两点的速度水平向右， 大小均为大小均为u u。求此瞬时球的角速度。求此瞬时球的角速度( (大小和方向）。大小和方向）。 A v B v A B C O rvv oM

7、取取C C为基点为基点) 1 ( CAA rv ) 2( CBB rv 0 CBCA rr 0)( CBCA rr 0 BA r BA r/ 由（由（2 2）得：）得： R u 2 BA vv 2021-5-48 6-4-1 6-4-1 刚体一般运动的运动学刚体一般运动的运动学 例例: 已知半径为已知半径为R 的圆盘绕柱的圆盘绕柱铰链铰链C 以匀角速度以匀角速度 转动，转动，T形框形框 架绕架绕z轴以匀角速度轴以匀角速度 转动。转动。求图示瞬时圆盘的角加速度以及圆求图示瞬时圆盘的角加速度以及圆 盘最高点盘最高点P的速度和加速度的速度和加速度。 1 2 AC=L x y z c 2 1 A 1、

8、运动分析：、运动分析： 圆盘作刚体一般运动圆盘作刚体一般运动 2、求圆盘的角速度：、求圆盘的角速度： 解：解：取圆盘为研究对象取圆盘为研究对象 3、求圆盘的加角速度：、求圆盘的加角速度： 21 ki )( d d 1 i t )( 2 i 1 )( 12 固联在框架上固联在框架上zyx 2021-5-49 x y z c 2 1 A 6-4-1 6-4-1 刚体一般运动的运动学刚体一般运动的运动学 P 21 iR r C a 4、求最高点、求最高点P的加速度：的加速度： r krea aaaa 2 2 jaL C ) (rraa CP Rr )( 12 21 ki 其中：其中： 2 121 k

9、iRR) (r 方法二：方法二：点的复合运动加速度合成定理点的复合运动加速度合成定理 2 21 2 1 2 2 ikjaRRL P 2021-5-410 6-4-2 6-4-2 刚体一般运动的动力学刚体一般运动的动力学 三、刚体一般运动的运动微分方程三、刚体一般运动的运动微分方程 e i FaCm )( dt d e r iC C FM L )( )( )( CzyxCxCyzCz CyzxCzCxyCy CxzyCyCzxCx MJJJ MJJJ MJJJ zC yC xC Fzm Fym Fxm 质心运动定理：质心运动定理： 相对质心的动量矩定理：相对质心的动量矩定理： 1 x 1 y 1

10、 z c r x y z r o r M 惯性坐标系惯性坐标系Oxyz 随质心随质心C平动坐标系平动坐标系 111 zyCx 固联在刚体上的随体坐标系固联在刚体上的随体坐标系zyCx O O 2021-5-411 6-4-2 6-4-2 刚体一般运动的动力学刚体一般运动的动力学 补充内容：补充内容：定点运动刚体的动能定点运动刚体的动能 x y z x o z y ii rv i vvi iii mvmT 2 1 2 1 2 )()(cbacba )()( 2 1 iii mTrr )( 2 1 iii mrr )( 2 1 iii mvr O L 2 1 T kjiL zzyyxxO JJJ

11、kji zyx )( 2 1 2 2 2 zzyyxx JJJT 2021-5-412 6-4-2 6-4-2 刚体一般运动的动力学刚体一般运动的动力学 例：例：求质量为求质量为m半径为半径为R 的均质圆盘的动能的均质圆盘的动能 。已知：。已知： 21, 2 2 4 1 , 2 1 mRJJmRJ yxz z x y 2 1 1 z cos ,sin 2 2 y x )2( 8 1 2 1 2 2 2 mRT )( 2 1 2 2 2 zzyyxx JJJT rerea ,vvvvv 2 a 2 1 iiv mT )( 2 1 2 r 2 eiii vvmT 2 r 2 e 2 1 2 1 i

12、iii vmvm 2 1 22 2 2 4 1 8 1 mRmR 2021-5-413 6-4-2 6-4-2 刚体一般运动的动力学刚体一般运动的动力学 刚体一般运动基本物理量的计算刚体一般运动基本物理量的计算（1）动量：）动量： C vpm （2）对固定点）对固定点O的动量矩：的动量矩： r )( COCO mLvrL C r kjiL zCzyCyxCxC JJJ其中：其中： （3）动能：）动能： r2 2 1 CC TmvT 2 1 2 1 z y x Cz Cy Cx zyx Cz Cy Cx CzCyCx J J J v v v m m m vvvT 2 2 2 r 2 1 2 1

13、2 1 zCzyCyxCxC JJJT其中：其中： 其中：其中： 为中心惯量主轴为中心惯量主轴 , , CzCyCx 2021-5-414 6-4-2 6-4-2 刚体一般运动的动力学刚体一般运动的动力学 （4）角速度在惯量主轴上的投影：）角速度在惯量主轴上的投影： x y z x y z N 欧拉角欧拉角 z z n znz cossinsin x sincossin y cos z 10cos 0sincossin 0cossinsin z y x knk ),(B 2021-5-415 6-4-2 6-4-2 刚体一般运动的动力学刚体一般运动的动力学 例例: 已知半径为已知半径为R质量为

14、质量为m的均质圆盘可绕柱的均质圆盘可绕柱铰链铰链C 以角速度以角速度 转动，转动，T T形框架绕形框架绕 z 轴以角速度轴以角速度 转动。转动。求铰链求铰链C 的约束力的约束力。 1 2 x y z c 2 gm o 1 AC=L2R A 1、运动分析：、运动分析： 刚体一般运动刚体一般运动 2、受力分析：、受力分析： z FC Cy F Cz M Cy M 3、建立动力学方程：、建立动力学方程： e iC mFa )( dt d e r iC C FM L 解：解：取圆盘为研究对象取圆盘为研究对象 21 大小为常量大小为常量 21, 2021-5-416 x y z c 2 gm o 1 A

15、 Cz M Cy M z FC Cy F 6-4-2 6-4-2 刚体一般运动的动力学刚体一般运动的动力学 C a 质心运动定理：质心运动定理： CC mmFga 2 2 2 2 2RLaC mgFz Fmay Cz CyC 0: : mgF mRF Cz Cy 2 2 2 相对质心的动量矩定理：相对质心的动量矩定理： )( dt d e r iC C FM L 21 2021-5-417 6-4-2 6-4-2 刚体一般运动的动力学刚体一般运动的动力学 )( )( )( zyxxyzz yzxzxyy xzyyzxx MJJJ MJJJ MJJJ 1 2 2 ,cos ,sin z y x

16、0 ,sin ,cos 12 12 z y x cossin 21 MMM x sincos 21 MMM y cossincos5 . 0 2121 2 MMmR 0 z M sincossin5 . 0 2121 2 MMmR 21 2 21 2 1 , 0mRMM x y z c 2 gm 1 A 1 M 2 M z FC Cy F y x 2021-5-418 6-4-2 6-4-2 刚体一般运动的动力学刚体一般运动的动力学 思考题思考题: 能否应用陀螺近似理论求解铰链能否应用陀螺近似理论求解铰链C C约束力偶的精确解。约束力偶的精确解。 21 zg JM 0 gC MM 21 2 2

17、1 2 1 , 0mRMM x y z c 2 gm 1 A 1 M 2 M z FC Cy F g M 2021-5-419 6-4-2 6-4-2 刚体一般运动的动力学刚体一般运动的动力学 x y z c gm o 1 A 例题例题: 质量为质量为 m 长为长为L 的均质的均质 细杆用柱铰链与细杆用柱铰链与AC杆连接，杆连接， 其质心位于其质心位于C点，点，AC杆绕铅垂杆绕铅垂 轴以匀角速度轴以匀角速度转动，忽略所转动，忽略所 有摩擦。试求杆绕柱铰链有摩擦。试求杆绕柱铰链C的的 相对角加速度相对角加速度，并确定细杆的，并确定细杆的 相对平衡位置相对平衡位置。 已知：已知： LAC , 20

18、21-5-420 6-4-2 6-4-2 刚体一般运动的动力学刚体一般运动的动力学 x y z c gm o A y x kji zyx re cos sin z y x sin cos z y x z FC Cy F Cz M Cy M )( )( )( zyxxyzz yzxzxyy xzyyzxx MJJJ MJJJ MJJJ 02sin 2 1 2 xz JJ 1 1、求杆的角速度和角加速度在随体轴上的投影、求杆的角速度和角加速度在随体轴上的投影 2 2、建立杆的动力学方程、建立杆的动力学方程 2sin 2 1 2 02sin平衡位置：平衡位置： 2021-5-421 6-4-2 6-4-2 刚体一般运动的动力学刚体一般运动的动力学 相关论文见：期刊相关论文见：期刊力学与实践力学与实践2007年，第二期，第年，第二期，第88页，刘延柱页，刘延柱 会翻身的陀螺会翻身的陀螺 1800年发现类似的现象年发现类似的现象 1891年年Sperl申请过专利申请过专利 1950年丹麦工程师年丹麦工程师Ostberg 重新发明并获得专利重新发明并获得专利 20世纪世纪60年代市场上有国产年代市场上有国产 翻身陀螺。翻身陀螺。 2021-5-422 本章基本内容本章基本内容 刚体定点运动