平面向量知识点总结word版本

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除平面向量知识点小结一、向量的基本概念1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别向量常用有向线段来表示注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移uuur举例1已知A(1,2)， B(4,2)，则把向量AB按向量a ( 1,3)平移后得到的向量是 . 结果：(3,0)r2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；uuu UULab3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是-UUt)；I AB|4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有

2、传递性；r 5.平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a / b，规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合; 平行向量无传递性！(因为有0)；uuu uur 三点A、B、C共线 AB、AC共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量记作a.举例2如下列命题：(1)若 ia 11 bi，则a .(2 )两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.(3) 若 AB DC，则ABCD是平

3、行四边形.UUU UUU(4 )若ABCD是平行四边形，则 AB DC .(5)若 a b， b c，则 a c.rr(6 )若a/b，b/C则a/c .其中正确的是结果：(4)( 5)二、向量的表示方法uuu1. 几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2. 符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；r r3. 坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量r , j为r .r r rrr基底，则平面内的任一向量 a可表示为a xi yj (x, y)，称(x, y)为向量a的坐标，a (x, y)叫 做向量a的坐标表示.结论：如

4、果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同三、平面向量的基本定理定理 设&,&同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对(1,2)，使 a 92p2 .(1) 定理核心：a淌 滂2 ； (2)从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量 a的合成.(3)向量的正交分解：当e1 ,e2时，就说a入e,也为对向量a的正交分解.rrrr1 r 3 r举例 3(1)若 a (1,1)，b (1, 1)，c ( 1,2)，则 c .结果：吗-b.2 2(2) 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是BA rrrrrrrr 13A. e (0,0)，e2

5、(1, 2) B.e1 ( 1,2)，佥(5,7) C. e (3,5)，e? (6,10) D. q (2, 3)， e2-,-24ujur uuuujir ruiu r 刚r r(3) 已知AD, BE分别是 ABC的边BC，AC上的中线，且AD a，BE b ,则BC可用向量a,b表示为 .结果:uiir lliiiuur uui uur(4)已知 ABC中，点D在BC边上，且CD 2DB , CD rAB sAC，贝U r s 的值是 .结果：0.四、实数与向量的积实数 与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)模:| a| | |a|；此文档仅供收集于网络，如有侵

6、权请联系网站删除（2）方向：当 0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反，当0时，a 0，注意：a 0.MB go ra 血A go 作 r b r ab ,则把 AOB (0五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量 为向量a, b的夹角.当0时，a， b同向；当 时，a， b2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a， 叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a反向rbrb；当 时，a, b垂直.它们的夹角为,我们把数量a | b | cosrr即 a b i a i e i cos .规定：零向量与任一向量的数量积是 注：数量积是一个实数，不再是一个向量.u

7、urunr举例 4（1） ABC 中，|AB| 3 , | AC| 4 ,0.uuruiur mur|BC| 5，贝U AB BC .结果：9.r i r1（2）已知a 1,丄，b o,丄2 2（3）已知a 2，bi 5，a b（4）已知a,b是两个非零向量，且3，则 ia bi 曲 ibi ia bi3.向量b在向量a上的投影：ibi cosa b， c与d的夹角为一，则k .4. 结果：庐.，贝u a与a b的夹角为 .结果：30，它是一个实数，但不一定大于结果：1.0.举例5已知向3，ibi 5，且ab 12，则向量a在向量b上的投影为.结果:4. a b的几何意义：数量积a b等于a的

8、模商与b在a上的投影的积1255.向量数量积的性质：设两个非零向量 a , b ,（1）a b a b o ；（2）当a、b同向时，a ba齒，特别地,rrra b i a 11 b i是a、b同向的充要分条件；当 a、b 反向时，a b | ai | | b |， aS |首|当为锐角时，a lb 0，且a、b不同向，a lb 当为钝角时，a b o，且a、b不反向；a b（3）非零向量a， b夹角 的计算公式：cos其夹角为，则：a2 a a | a |2 i a 丨. a2 ；|b|是a、b反向的充要分条件；0是为锐角的必要不充分条件是 rbllbo r a r a为钝角的必要不充分条件

9、（3,2），如果a与b的夹角为锐角，贝u的取值范围是. 结果:0且luiur uuud-o mur mur（2） 已知 OFQ的面积为S，且OF FQ 1，若丄S ，则OF，FQ夹角 的取值范围是. 结果：_ ,_ ；224 3rrrr r（3）已知a（cosx,si nx），b（cosy,si n y），且满足 i kabi3ia kb i（其中 k 0 ）.用k表示a b ；求a b的最小值，并求此时a与b的夹角 的大小.结果：a b k 1（k 0）；最小值为1，4k260.六、向量的运算1.几何运算1）向量加法运算法则：平行四边形法则；三角形法则 Luuiriuuruur r , rr

10、 r uun uurunu运算形式：若AB a， BC b，则向量AC叫做a与b的和，即a b AB BC AC ；只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量2)向量的减法运算法则：三角形法则.亠 UU r uuj r运算形式：若AB a，AC b， 的终点.作图：略. 注：减向量与被减向量的起点相同 举例7( 1)化简：AB BCjjj rCB :0 ;若正方形ABCD的边长为uur ABUJLT UUAC CA,即由减向量的终点指向被减向量(2)(3)(4)结果：2；(5)uurCDJJJABuurADUUJDCUUJ；(A

11、BUJTCD)uur uiur(AC BD)uur结果：AD ；UUJ r1， ab a，若O是 ABC所在平面内一点，且满足若D为厶ABC的边BC的中点， ABC若点O是 ABC的外心，且OA OB2.坐标运算：设a (x ,yj(1)向量的加减法运算：举例 8(1)已知点 A(2,3)，B(5,4)结果： ；2UUJ(2) 已知 A(2,3)，B(1,4)，且- AB2(3) 已知作用在点A(1,1)的三个力2)实数与向量的积：urF1rb， ACuurOCUiur rr r rc，则 ia b C|uur uur uuOB OC 2OA所在平面内有一点p，满足PAUJJBCujurOB结

12、果:，则 ABC的形状为.2 2 ；结果:UU直角三角形;jjjBPuur rCP 0，设1 AP 1，贝y|PD|的值为CO 0，贝U ABC的内角(X2,y2)，则(x,X2,UJJC(7,10)，若 AP(sin x,cos y)， x, yut(3,4)，F2(2,(3)若，BXy)，贝量的有向线段的终点坐标减去起点坐标1 UUJAB3uur举例 9 设 A(2,3)， B( 1,5)，且 AC(4)平面向量数量积：a已知向量 a (si nx,cosx)，举例10结果:120(1 )若(2 )若x ，求向量a、3x 3 ,_，函数8 4c的夹角;f(x) a*UJUABy2)，uur

13、AC(a b 化R)，则当X2,%y2).时，点p在第一、三象限的角平分(,_)，则 2 一 ur5)，F32(3,1)，则合力Fx y .ID UUJUTF1F2结果：_或_6 2F的终点坐标是结果：(9,1).(X1,yj (UUJ M AB(X2uuruuur，ad3AB :为X2y2则C,D的坐标分别是(sin x,sin x) ， c的最大值为(5)向量的模：a2 | a |2举例11已知a,E均为单位向量，它们的夹角为(6)两点间的距离：若A(%,yJ， 举例12如图，在平面斜坐标系 的斜坐标是这样定义的：若 OP 位向量，则P点斜坐标为(x, y).(1) 若点(2) 求以结果：

14、(1)xOy 中, xOy xe yr2，其中x, y)yj，即一个向量的坐标等于表示这个向x, y2(1,0).求的值.结果：(1)150 ；( 2)1 或2结果：(碍),9).,x260，那么a|a|2y .r3b| =结果：13 .B(X2,y2)，则 |AB| .(X260，平面上任一点p关于斜坐标系 e ,e2分别为与x轴、y轴同方向的单x)2 (y2 yJ2.P的斜坐标为(2, 2)，求P到O的距离|PO| ； O为圆心，12； (2) x2为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.xy七、向量的运算律1. 交换律：a2. 结合律：arbrcrarar bX17 raz-fk?ra rb

15、r bz-fkrbJ ra ra，rc ra7r b (ra 17 ra rc/_kX17r b只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除r3.分配律：()a a a,洛匕)a举例13给出下列命题： a (b c:) a b a c :a (b c)，(arc ra r c)/ r brc brb)2ra若a b 0,则a o或b o ；若a b c b则a其中正确的是结果：.2ra2r bra(2XI/ r b2rar bra2说明：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两 边同时取模，两边同乘以一个向量，但不

16、能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即 a (b c)(a b) c，为什么？九、向量垂直的充要条件 r r r rr a br 1 a br0 |auuiruuu特别地ABccnnAC1 II LIT UULU|AB|AC|(3,m)，X2XIJucu-c rblWAlr举例(2)(3)15 (1)以原点 已知nuur已知OAO 和 A(4,2)(a,b)向量murOBuuu uuu若 OA OB，贝y m(1,2)，为两个顶点作等腰直角三角形 OAB， n m，且| n| |rn|，则rn的坐标是3m 2 ；的坐标是结

17、果：B 90，则点B结果：(b, a)或(b,a).结果:(1,3)或(3,1)；十、线段的定比分点1. 定义：设点P是直线PP2上异于P、F2的任意一点，若存在一个实数则实数占八、-2.使PPuuurPP2，叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段uuuu的以定比为 的定比分的符号与分点(1) P内分线段(2) P外分线段向延长线上1P的位置之间的关系UUUUP P2，即点P在线段RP2上0 ；胃胃时，点P在线段PP2的延长线上0.1，点P在线段PP2的反注：若点p分有向线段PPU所成的比为，则点p分有向线段unnP2P所成的比为2 .uur3 UUU举例16若点P分AB所成的比为一，则

18、A分BP所成的比为43.线段的定比分点坐标公式：结果:设 P(x,y)uuu 才亠”、rP2(x,y2)，点P(x,y)分有向线段PP2所成的比为，则定比分点坐标公式为1).特别地，当1时，就得到线段RP2的中点坐标公式X1X22八、向量平行(共线)的充要条件r rr rr 二2门rr 2a/ba b(a b)(1 al|b|)XM%X20 .举例14 (1)若向量a(x,1)， b(4,x)，当x时，a与b共线且方向相同.结果：2(2)已知a(1,1)，b(4,x)， ua :2b， v2a b，且u /V，则 x.结果：4.十 uuruuuuuur则k时，A,B,C共线.结果：2或11.(

19、3)设 PA(k,12)，PB (4,5)，PC(10, k)，说明：(1)在使用定比分点的坐标公式时，应明确 (x,y)，区,仏)、(卷)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标(2 )在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除uiiui uuur7举例17 (1)若M ( 3, 2) , N(6, 1)，且MP 1MN，则点P的坐标为结果：(6,；);331 UULUUluuur(2)已知A(a,0) ,B(3,2 a)，直线y ；ax与线段AB交于M，且AM 2MB，则a .结果：2或 4.2 十一、平移公

20、式如果点P(x,y)按向量a (h,k)平移至P(x,y)，则x x h,;曲线f(x,y) 0按向量a (h,k) y y k.平移得曲线f(x h, y k) 0.说明：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”举例18(1)按向量a把(2, 3)平移到(1,(2)函数y sin 2x的图象按向量a平移后，有何联系？ (2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊!2)，则按向量a把点(7,2)平移到点. 结果：所得函数的解析式是y cos2x 1，则a .(8,3);结果： (,1).4十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;2.模的性质:|a| |b|(1) 右边等号成立条件:(2) 左边等号成立条件:(3) 当a、b不共线|a b| |a| |b|.r r 一， ，、r r , , ra、b同向或a、b中有0 b反向或a、