中考数学复习专题：折叠问题（经典实用）

1、2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题31：折叠问题一、选择题1. （2012广东梅州3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若A=75，则1+2=【 】A150B210C105D75【答案】A。【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。【分析】ADE是ABC翻折变换而成，AED=AED，ADE=ADE，A=A=75。AED+ADE=AED+ADE=18075=105，1+2=3602105=150。故选A。2. （2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，A=600，将纸片折叠

2、，点A、D分别落在A、D处，且AD经过B，EF为折痕，当DFCD时，的值为【 】A. B. C. D. 【答案】A。【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】延长DC与AD，交于点M，在菱形纸片ABCD中，A=60，DCB=A=60，ABCD。D=180-A=120。根据折叠的性质，可得ADF=D=120，FDM=180-ADF=60。DFCD，DFM=90，M=90-FDM=30。BCM=180-BCD=120，CBM=180-BCM-M=30。CBM=M。BC=CM。设CF=x，DF=DF=y， 则BC=CM=CD=CF

3、+DF=x+y。FM=CM+CF=2x+y，在RtDFM中，tanM=tan30=，。故选A。3. （2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5角的正切值是【 】A1 B1 C2.5 D【答案】B。【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，ABBE，AEBEAB45，还原后

4、，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，AEEF，EAFEFA22.5。FAB67.5。设ABx，则AEEFx，an67.5tanFABt。故选B。4. （2012广东河源3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将ABC沿着DE折叠压平，A与A重合若A75，则12【 】A150 B210 C105 D75【答案】A。【考点】折叠的性质，平角的定义，多边形内角和定理。【分析】根据折叠对称的性质，AA75。 根据平角的定义和多边形内角和定理，得121800ADA1800AEA3600（ADAAEA）AA1500。故选A。5. （2012福建南平4

5、分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【 】A B C D3 【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。【分析】正方形纸片ABCD的边长为3，C=90，BC=CD=3。根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF。设DF=x，则EF=EGGF=1x，FC=DCDF=3x，EC=BCBE=31=2。在RtEFC中，EF2=EC2FC2，即（x1）2=22（3x）2，解得：。DF= ，EF=1。故选B。6. （2012湖北武汉3分）如图，矩形AB

6、CD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处若AE5，BF3，则CD的长是【 】A7 B8 C9 D10【答案】C。【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。【分析】根据折叠的性质，EF=AE5；根据矩形的性质，B=900。 在RtBEF中，B=900，EF5，BF3，根据勾股定理，得。 CD=AB=AEBE=54=9。故选C。7. （2012湖北黄石3分）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为【 】A. B. C. D. 【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，矩形的性

7、质，勾股定理。【分析】设AF=xcm，则DF=（8-x）cm，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，DF=DF，在RtADF中，AF2=AD2DF2，即x2=62（8x）2，解得：x=。故选B。8. （2012湖北荆门3分）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为【 】A 8 B 4 C 8 D 6【答案】C。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。【分析】如图，正方形ABCD的对角线长为2，即BD=2，A=90，AB=AD，ABD=45，AB=BDcosABD=

8、BDcos45=2。AB=BC=CD=AD=2。由折叠的性质：AM=AM，DN=DN，AD=AD，图中阴影部分的周长为AM+BM+BC+CN+DN+AD=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。故选C。9. （2012四川内江3分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为【 】A.15 B.20 C.25 D.30【答案】D。【考点】翻折变换（折叠问题），矩形和折叠的性质。【分析】根据矩形和折叠的性质，得A1E=AE，A1D

9、1=AD，D1F=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长，为2（10+5）=30。故选D。10. （2012四川资阳3分）如图，在ABC中，C90，将ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MNAB，MC6，NC，则四边形MABN的面积是【 】A B C D【答案】C。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，相似三角形的判定和性质，【分析】连接CD，交MN于E，将ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，MNCD，且CE=DE。CD=2CE。MNAB，CDAB。CMNCAB。在CMN中，C=90，MC=6，NC= ，。故选C。11. （2012贵州黔东南4

10、分）如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，ABF的面积是24，则FC等于【 】A1 B2 C3 D4【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。【分析】由四边形ABCD是矩形与AB=6，ABF的面积是24，易求得BF的长，然后由勾股定理，求得AF的长，根据折叠的性质，即可求得AD，BC的长，从而求得答案：四边形ABCD是矩形，B=90，AD=BC。AB=6，SABF=ABBF=6BF=24。BF=8。由折叠的性质：AD=AF=10，BC=AD=10。FC=BCBF=108=2。故选B。12. （2012贵州遵义3分）如图，

11、矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【 】A B C D【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】过点E作EMBC于M，交BF于N。四边形ABCD是矩形，A=ABC=90，AD=BC，EMB=90，四边形ABME是矩形。AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，EGN=A=90，EG=BM。ENG=BNM，ENGBNM（AAS）。NG=NM。E是AD的中点，CM=DE，AE=ED=BM=CM。EMCD，BN：NF=BM：CM。BN=NF。

12、NM=CF=。NG=。BG=AB=CD=CF+DF=3，BN=BGNG=3。BF=2BN=5。故选B。13. （2012山东泰安3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则FCB与BDG的面积之比为【 】A9：4B3：2C4：3D16：9【答案】D。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】设BF=x，则由BC=3得：CF=3x，由折叠对称的性质得：BF=x。点B为CD的中点，AB=DC=2，BC=1。在RtBCF中，BF2=BC2+CF2，即，解得：，即可得CF=。DBG=DGB=90，DBG+CBF

13、=90，DGB=CBF。RtDBGRtCFB。根据面积比等于相似比的平方可得： 。故选D。14. （2012山东潍坊3分）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=【 】 A B C . D2【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，相似多边形的性质。【分析】矩形ABCD中，AF由AB折叠而得，ABEF是正方形。又AB=1，AF= AB=EF=1。设AD=x，则FD=x1。四边形EFDC与矩形ABCD相似，即。解得，（负值舍去）。经检验是原方程的解。故选

14、B。15. （2012广西河池3分）如图，在矩形ABCD中，ADAB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连结CN若CDN的面积与CMN的面积比为14，则 的值为【 】A2B4 CD【答案】D。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。【分析】过点N作NGBC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由CDN的面积与CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案： 过点N作NGBC于G，四边形ABC

15、D是矩形，四边形CDNG是矩形，ADBC。CD=NG，CG=DN，ANM=CMN。由折叠的性质可得：AM=CM，AMN=CMN，ANM=AMN。AM=AN。AM=CM，四边形AMCN是平行四边形。AM=CM，四边形AMCN是菱形。CDN的面积与CMN的面积比为1：4，DN：CM=1：4。设DN=x，则AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。BM=x，GM=3x。在RtCGN中，在RtMNG中，。故选D。16. （2012河北省3分）如图，在平行四边形ABCD中，A=70，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则AMF等于【

16、 】A70 B40 C30 D20【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，平行线的性质，平角的定义。【分析】四边形ABCD是平行四边形，ABCD。根据折叠的性质可得：MNAE，FMN=DMN，ABCDMN。A=70，FMN=DMN=A=70。AMF=180DMNFMN=1807070=40。故选B。17. （2012青海西宁3分）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想把一张直角三角形纸片按照图的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论【 】A

17、角的平分线上的点到角的两边的距离相等B在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半C直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形【答案】C。【考点】翻折变换（折叠问题）。【分析】如图，CDE由ADE翻折而成，AD=CD。如图，DCF由DBF翻折而成，BD=CD。AD=BD=CD，点D是AB的中点。CD=AB，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。故选C。二、填空题1. （2012上海市4分）如图，在RtABC中，C=90，A=30，BC=1，点D在AC上，将ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果ADE

18、D，那么线段DE的长为 【答案】。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质。【分析】在RtABC中，C=90，A=30，BC=1，。将ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，ADB=EDB，DE=AD。ADED，CDE=ADE=90，EDB=ADB=。CDB=EDBCDE=13590=45。C=90，CBD=CDB=45。CD=BC=1。DE=AD=ACCD=。2. （2012浙江丽水、金华4分）如图，在等腰ABC中，ABAC，BAC50BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则CE

19、F的度数是 【答案】50。【考点】翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出OBC40，以及OBCOCB40，再利用翻折变换的性质得出EOEC，CEFFEO，进而求出即可：连接BO，ABAC，AO是BAC的平分线，AO是BC的中垂线。BOCO。BAC50，BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，OABOAC25。等腰ABC中， ABAC，BAC50，ABCACB65。OBC652540。OBCOCB40。点C沿EF折叠后与点O重合，EOEC，CEFFEO。CEFFEO（18002400）250。3.

20、（2012浙江绍兴5分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B处，又将CEF沿EF折叠，使点C落在EB与AD的交点C处则BC：AB的值为 。【答案】。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】连接CC，将ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B处，又将CEF沿EF折叠，使点C落在EB与AD的交点C处,EC=EC，ECC=ECC，DCC=ECC，ECC=DCC.CC是ECD的平分线。CBC=D=90，CC=CC，CBCCDC（AA

21、S）。CB=CD。又AB=AB，B是对角线AC中点，即AC=2AB。ACB=30。tanACB=tan30=。BC：AB=。4. （2012浙江台州5分）如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A处，连接AC，则BAC= 度【答案】67.5。【考点】折叠问题，折叠的对称性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平角定义。【分析】由折叠的对称和正方形的性质，知ABEABE，BEA=67.50，ADE是等腰直角三角形。 设AE=AE=AD =x，则ED=。设CD=y，则BD=。 。 又EDA=ADC=450，EDAADC。

22、DAC=DEA=67.50450=112.50。 BAC=1800112.50=67.50。5. （2012江苏宿迁3分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C，D处，CE交AF于点G.若CEF=70，则GFD= .【答案】40。【考点】折叠问题矩形的性质，平行的性质。【分析】根据折叠的性质，得DFE=DFE。ABCD是矩形，ADBC。GFE=CEF=70，DFE=1800CEF=110。GFD=DFEGFE=11070=40。6. （2012江苏盐城3分）如图,在ABC中，D,、E分别是边AB、AC的中点, B=50.现将ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的

23、点为A1,则BDA1的度数为 .【答案】80。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，三角形中位线定理，平行的性质。【分析】D、E分别是边AB、AC的中点，DEBC（三角形中位线定理）。ADE=B=50（两直线平行，同位角相等）。又ADE=A1DE（折叠对称的性质），A1DA=2B。BDA1=1802B=80。7. （2012江苏扬州3分）如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果，那么tanDCF的值是【答案】。【考点】翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】四边形ABCD是矩形，ABCD，D90，将矩形ABCD沿CE折

24、叠，点B恰好落在边AD的F处，CFBC，。设CD2x，CF3x，。tanDCF。8. （2012湖北荆州3分）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为 【答案】8。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。【分析】如图，正方形ABCD的对角线长为2，即BD=2，A=90，AB=AD，ABD=45，AB=BDcosABD=BDcos45=2。AB=BC=CD=AD=2。由折叠的性质：AM=AM，DN=DN，AD=AD，图中阴影部分的周长为AM+BM+BC+CN+DN+AD=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+

25、BC+CD+AD=2+2+2+2=8。9. （2012湖南岳阳3分）如图，在RtABC中，B=90，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB=3，BC=4，则BD= 【答案】。【考点】翻折变换（折叠问题）。1052629【分析】如图，点E是沿AD折叠，点B的对应点，连接ED，AED=B=90，AE=AB=3，在RtABC中，B=90，AB=3，BC=4，。EC=ACAE=53=2。设BD=ED=x，则CD=BCBD=4x，在RtCDE中，CD2=EC2+ED2，即：（4x）2=x2+4，解得：x=。BD=。10. （2012四川达州3分）将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好

26、落在对角线BD上，得到菱形BEDF.若BC=6，则AB的长为 .【答案】。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，菱形和矩形的性质，勾股定理。【分析】设BD与EF交于点O。四边形BEDF是菱形，OB=OD=BD。四边形ABCD是矩形，C=90。 设CD=x，根据折叠的性质得：OB=OD= CD=x，即BD=2x，在RtBCD中，BC2+CD2=BD2，即62+x2=（2x）2，解得：x=。AB=CD=。11. （2012贵州黔西南3分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB3cm，BC5cm，则重叠部分DEF的面积为 cm 2。【答案】。【考点】

27、折叠问题，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。【分析】设ED=x，则根据折叠和矩形的性质，得AE=AE=5x，AD=AB=3。 根据勾股定理，得，即，解得。 （cm 2）。12. （2012河南省5分）如图，在RtABC中，C=900，B=300，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DEBC交AB边于点E，将B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当AEF为直角三角形时，BD的长为 【答案】1或2。13. （2012内蒙古包头3分）如图，将ABC 纸片的一角沿DE向下翻折，使点A 落在BC 边上的A 点处，且DEBC ，下列结论： AEDC； ； BC= 2DE ；

28、 。其中正确结论的个数是 个。【答案】4。【考点】折叠问题，折叠对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，三角形中位线定理，全等、相似三角形的判定和性质。【分析】DEBC，根据两直线平行，同位角相等，得AEDC。正确。 根据折叠对称的性质，A D=AD，A E=AE。 DEBC，根据两直线分线段成比例定理，得。正确。 连接A A ，根据折叠对称的性质，A ，A 关于DE对称。A A DE。DEBC，A A BC。A D=AD，DA A D A A。DB A D A B。BD= A D。BD=AD。DE是ABC的中位线。BC= 2DE。正确。DEBC，ABCADE

29、。 由BC= 2DE，。根据折叠对称的性质，ADEADE。，即。正确。综上所述，正确结论的个数是4个。14. （2012黑龙江绥化3分）长为20，宽为a的矩形纸片（10a20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止当n=3时，a的值为 .【答案】12或15。【考点】翻折变换（折叠问题），正方形和矩形的性质，剪纸问题，分类归纳（图形的变化类）。【分析】根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽所

30、以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽。当10a20时，矩形的长为20，宽为a，所以，第一次操作时，所得正方形的边长为a，剩下的矩形相邻的两边分别为20a，a。第二次操作时，由20aa可知所得正方形的边长为20a，剩下的矩形相邻的两边分别为20a，a（20a）=2a20。（20a）（2a20）=403a，20a与2a20的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论。第三次操作时，当20a2a20时，所得正方形的边长为2a20，此时，20a（2a20）=403a，此时剩下的矩形为正方形，由403a=2a20得a=12。当2a2020a时，所得正方形的边长为20a，此时，2a20（20a）=

31、3a40，此时剩下的矩形为正方形，由3a40=20a得a=15。故答案为12或15。15. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图所示，沿DE折叠长方形ABCD的一边，使点C落在AB边上的点F处，若AD=8，且AFD的面积为60，则DEC的 面积为 【答案】。【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，折叠对称的性质，勾股定理。【分析】四边形ABCD是矩形，A=B=90，BC=AD=8，CD=AB。AFD的面积为60，即ADAF=60，解得：AF=15。由折叠的性质，得：CD=CF=17。AB=17。BF=ABAF=1715=2。设CE=x，则EF=CE=x，BE=BCCE=8

32、x，在RtBEF中，EF2=BF2BE2，即x2=22（8x）2，解得：x=，即CE=，DEC的面积为： CDCE=17。三、解答题1. （2012天津市10分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B和折痕OP设BP=t（）如图，当BOP=300时，求点P的坐标；（）如图，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB上，得点C和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（）在（）的条件下，当点C恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）【答案】解：（）根据

33、题意，OBP=90，OB=6。在RtOBP中，由BOP=30，BP=t，得OP=2t。OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=（舍去）点P的坐标为（ ，6）。（）OBP、QCP分别是由OBP、QCP折叠得到的，OBPOBP，QCPQCP。OPB=OPB，QPC=QPC。OPB+OPB+QPC+QPC=180，OPB+QPC=90。BOP+OPB=90，BOP=CPQ。又OBP=C=90，OBPPCQ。由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11t，CQ=6m。（0t11）。（）点P的坐标为（，6）或（，6）。【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图

34、形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（）根据题意得，OBP=90，OB=6，在RtOBP中，由BOP=30，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 （）由OBP、QCP分别是由OBP、QCP折叠得到的，可知OBPOBP，QCPQCP，易证得OBPPCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。（）首先过点P作PEOA于E，易证得PCECQA，由勾股定理可求得CQ的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与，即可求得t的值： 过点P作PEOA于E，PEA=QAC=90。PCE+EPC=90。PCE+QCA=90，EPC

35、=QCA。PCECQA。PC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m，。，即，即。将代入，并化简，得。解得：。点P的坐标为（，6）或（，6）。2. （2012海南省11分）如图（1），在矩形ABCD中，把B、D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.（1）求证：ANDCBM.（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQMN。且AB=4，BC=3，求PC的长度.【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩

36、形，D=B，AD=BC，ADBC。 DAC=BCA。 又由翻折的性质，得DAN=NAF，ECM=BCM，DAN=BCM。 ANDCBM（ASA）。（2）证明：ANDCBM，DN=BM。 又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM， FN=EM。 又NFA=ACDCNF=BACEMA=MEC， FNEM。四边形MFNE是平行四边形。四边形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性质，得CEM=B=900，在EMF中，FEMEFM。FMEM。四边形MFNE不是菱形。（3）解：AB=4，BC=3，AC=5。 设DN=x，则由SADC=SANDSNAC得3 x5 x=12，解得x=，即DN=BM=。过点N作

37、NHAB于H，则HM=43=1。在NHM中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得NM=。PQMN，DCAB，四边形NMQP是平行四边形。NP=MQ，PQ= NM=。又PQ=CQ，CQ=。在CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。NP=MQ=。PC=4=2。【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。【分析】（1）由矩形和翻折对称的性质，用ASA即可得到ANDCBM。 （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。 （3）设DN=x，则由SADC=SANDSNAC可得DN=BM=。过点N作

38、NHAB于H，则由勾股定理可得NM=，从而根据平行四边形的性质和已知PQ=CQ，即可求得CQ=。因此，在CBQ中，应用勾股定理求得BQ=1。从而求解。3. （2012广东省9分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8把BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点G；E、F分别是CD和BD上的点，线段EF交AD于点H，把FDE沿EF折叠，使点D落在D处，点D恰好与点A重合（1）求证：ABGCDG；（2）求tanABG的值；（3）求EF的长【答案】（1）证明：BDC由BDC翻折而成， C=BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，ABG=ADE。在ABGCDG中，BAG=C

39、，AB= CD，ABG=AD C，ABGCDG（ASA）。（2）解：由（1）可知ABGCDG，GD=GB，AG+GB=AD。设AG=x，则GB=8x，在RtABG中，AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8x）2，解得x=。（3）解：AEF是DEF翻折而成，EF垂直平分AD。HD=AD=4。tanABG=tanADE=。EH=HD=4。EF垂直平分AD，ABAD，HF是ABD的中位线。HF=AB=6=3。EF=EH+HF=。【考点】翻折变换（折叠问题），翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，三角形中位线定理。【分析】（1）根据翻折变换的性质可知C=B

40、AG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，故可得出结论。（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8-x，在RtABG中利用勾股定理即可求出AG的长，从而得出tanABG的值。（3）由AEF是DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根据tanABG的值即可得出EH的长，同理可得HF是ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结果。4. （2012广东深圳8分）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE.(1)求证：四边形AFCE为菱形；(2)设AE=a，ED=b，DC=c

41、.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，AEF=EFC。由折叠的性质，可得：AEF=CEF，AE=CE，AF=CF，EFC=CEF。CF=CE。AF=CF=CE=AE。四边形AFCE为菱形。（2）解：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2。理由如下：由折叠的性质，得：CE=AE。四边形ABCD是矩形，D=90。AE=a，ED=b，DC=c，CE=AE=a。在RtDCE中，CE2=CD2+DE2，a、b、c三者之间的数量关系式可写为：a2=b2+c2。【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，折叠的性质，平等的性质，菱形的判定，勾

42、股定理。【分析】（1）由矩形ABCD与折叠的性质，易证得CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可证得AF=CF=CE=AE，即可得四边形AFCE为菱形。（2）由折叠的性质，可得CE=AE=a，在RtDCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2。（答案不唯一）5. （2012广东珠海9分） 已知，AB是O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在O上（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）当P

43、、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD直线AP于D，且CD是O的切线，证明：AB=4PD【答案】解：（1）PO与BC的位置关系是POBC。（2）（1）中的结论POBC成立。理由为：由折叠可知：APOCPO，APO=CPO。又OA=OP，A=APO。A=CPO。又A与PCB都为所对的圆周角，A=PCB。CPO=PCB。POBC。（3）证明：CD为圆O的切线，OCCD。又ADCD，OCAD。APO=COP。由折叠可得：AOP=COP，APO=AOP。又OA=OP，A=APO。A=APO=AOP。APO为等边三角形。AOP=60。又OPBC，OBC=AOP=60。又OC=OB，BC为等边三角形。

44、COB=60。POC=180（AOP+COB）=60。又OP=OC，POC也为等边三角形。PCO=60，PC=OP=OC。又OCD=90，PCD=30。在RtPCD中，PD=PC，又PC=OP=AB，PD=AB，即AB=4PD。【考点】折叠的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。6. （2012福建龙岩12分）如图1，过ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且BED和CFD都是等腰三角形，再将BED和CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B

45、、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为ABC的边BC上的折合矩形 （1）若ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为 ；（2）如图4，已知ABC，在图4中画出ABC的边BC上的折合矩形EFGH；（3）如果ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC边上的高AD= ，正方形EFGH的对角线长为 【答案】解：（1）3。 （2）作出的折合矩形EFGH： （3）2a ； 。 【考点】新定义，折叠问题，矩形和正方形的性质，勾股定理。 【分析】（1）由折叠对称的性质，知折合矩形EFGH的面积为ABC的面积的一半， （2）按题意，作出图形即可。

46、（3）由如果ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，正方形边长为a，BC边上的高AD为EFGH边长的两倍2a。 根据勾股定理可得正方形EFGH的对角线长为。 7. （2012福建龙岩13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A落在线段BC上，再打开得到折痕EF （1）当A与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长； （2）观察图3和图4，设BA=x，当x的取值范围是 时，四边形AEAF是菱形；在的条件下，利用图4证明四边形AEAF是菱形【答案】解：(1)5。 由折叠（轴对称）性质知AD=AD=

47、5，A=EAD=900。 在RtADC中，DC=AB=2， 。AB=BCAC=54=1。 EABBEA=EABFAC=900， BEA=FAC。 又 B=C=900，RtEBARtACF。，即 。在RtAEF中，。 （2）。 证明：由折叠（轴对称）性质知AEF=FEA，AE=AE，AF=AF。 又 ADBC，AFE=FEA 。AEF=AFE 。 AE=AF。AE=AE=AF=AF。 四边形AEAF是菱形。【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定。【分析】(1)根据折叠和矩形的性质，当A与B重合时（如图1），EF= AD=5。 根

48、据折叠和矩形的性质，以及勾股定理求出AB、AF和FC的长，由RtEBARtACF求得，在RtAEF中，由勾股定理求得EF的长。 （2）由图3和图4可得，当时，四边形AEAF是菱形。 由折叠和矩形的性质，可得AE=AE，AF=AF。由平行和等腰三角形的性质可得AE=AF。从而AE=AE=AF=AF。根据菱形的判定得四边形AEAF是菱形。8. （2012湖北恩施8分）如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B，因而EB=EB类似地，在AB上折出点B使AB=AB这是B就是AB的黄金分割点请你证明这个结论【答案】证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，BE=1。又BE=BE=1，AB=AEBE=1。又AB=AB，AB=1。点B是线段AB的黄金分割点。【考点】翻折（折叠）问题，正方形的性质，勾股定理，折叠对称的性质，黄