(2021年整理)中考之圆综合题型

1、中考之圆综合题型中考之圆综合题型 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（中考之圆综合题型）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为中考之圆综合题型的全部内容。6（2017武汉元调)如图，oa、ob、oc都是o的半径，aobboc（1）求证：acb2bac；（2）若ac平分oab，求aoc的度数解：（1）证明

2、：在o中，aob2acb，boc2bac，aob2bocacb2bac（2）解:设bacxac平分oab，oab2bac2x，aob2acb,acb2bac，aob2acb4bac4x，在oab中，aoboaboba180，4x2x2x180，解得：x225，aoc6x1357(2017武汉元调）如图，在rtabc中，bac90，bd是角平分线，以点d为圆心,da为半径的d与ac相交于点e（1）求证：bc是d的切线；(2）若ab5,bc13,求ce的长解：（1）证明：过点d作dfbc于点f，bad90,bd平分abc，addfad是d的半径，dfbc，bc是d的切线；（2）解：bac90ab与

3、d相切，bc是d的切线,abfbab5，bc13，cf8，ac12在rtdfc中,设dfder，则r264(12r）2，解得:rce13（2016武汉元调)如图，ab为o的直径，c为o上一点，ad和过点c的切线互相垂直，垂足为d，ad交o于点e（1）求证：ac平分dab；（2）连接ce，若ce6,ac8，直接写出o直径的长 解：(1)证明：连接oc，cd是o的切线,cdoc，又cdad，adoc，cadaco，oaoc,caoaco，cadcao，即ac平分dab；(2)解：cadcao， cebc6，ab为直径，acb90，由勾股定理得：ab，即o直径的长是10【案例1】圆中的线段【真题呈现

4、】如图，在o中，弦ab、ac互相垂直,d、e分别为ab、ac的中点，则四边形oead为（ c ）a正方形 b菱形 c矩形 d直角梯形【真题解读】因为d、e分别为ab、ac的中点，根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,得oeac ，odababac，oead为矩形，故填c【真题变式】1如图，在o中，弦ab、cd相交于e，且abcd，ae2，be6，ce4，则o的半径r 解:过o作ogcd于g，ofab于f，设de2x,cg2x，ge2x2x2x，affb（26)4，efafae422,22(2x)2oc2ob2（2x)242，解得x15，r 2如图,o的半径r6，点a、b、c在o上，a60,求a

5、b2ac2abac的值 解：延长co交o于d，连db、cb，过c作ceab于e,，da60，cd为直径，cbd90，bccd626,易得ae，ceac，ceab，ce2be2bc2，即,ab2ac2abac1083如图,o的半径r6，点a、b、c在o上,a60,odab于d，oeac于e连de，求de的长ceodab ceodabf解：连oc、ob、bc,过o作ofbc于f，a60cob260120，ocob,ocb30r6，of3，cf3bc2cf6oeac，odabd、e分别为ab、ac的中点debc34如图，o的半径r6,点a、b、c在o上运动，保持a60，odab于d，oeac于e，连

6、de，求四边形oead面积的最大值ceodab ceodab解：连oa、oc、ob、bc，易知debc63ao、de的长度不变，当aode时面积最大，s四边形oeadoade6395如图，o的半径r6，点a、b、c在o上运动，保持bac60，odab于d，oeac于e，连de，则下列结论中，错误的是（b）ceodab ceodaba弦bc的长为定值b四边形oead的面积为定值c线段de的长为定值d四边形oead的面积有最大值案例2 切线中常见基本图形真题呈现如图，ab为o的直径，c为o上一点，ad和过c的切线互相垂直，垂足为d，ad交o于点e,连接ac(1)求证：ac平分dab;(2)若ce6

7、，ac8，直接写出o直径的长 c a e d o b 真题解读（1)遇切线连接切点和圆心，故连co,则cocd coao,caoacococd，adcd，adco,acodac，daccao,即ac平分dab（2）用（1）的结论:ac平分dab,cecb，ab为直径,acb90,ab10【真题变式】1例题中在（2）的前提下:cd_；de_ 解：过c作cfab于f，daccao，cdcf，cf48，de36；易证cdecfb，设debfx，62x282（10x)2，解得x36c a e d o b f c a e d o b f 2在例题条件下，已知cda，deb求o的半径r 解:连oc、be相

8、交于f，连ce，易证：dcefbc在ofb中，ob2of2bf2，（rb)2a2r2,解得r3在例题条件下，已知r6，ce2，则r_，cd_解: r232(2）2（3）2,解得r15，r22（舍去）cd14在例题条件下，延长ab，dc相交于f,若f,连接ac（1）如图1，当30时,_；(2）如图2,当45时，_;1（3)如图3，当60时，_；1案例3 图中几何变换【真题呈现】如图，abc是等边三角形,o为bc的中垂线ah上的动点，o经过b，c两点，d为上一点，d，a两点在bc边异侧，连接ad，bd，cd（1)如图1，若o经过点a,求证:bdcd ad；（2）如图2,圆心o在bd上，若bad 4

9、5，求adb的度数；（3）如图 3，若 ahoh，求证：bd2cd2ad2图1 图2 图3【真题解读】(1)求证的是两条线段之和等于第三条线段,故考虑截长补短法，结合为等边三角形考虑旋转方法一：延长bd到f,使dfdc,再证bcf acd;方法二：在ad上截取dgdc，连接cg，先证dcg为等边三角形，再证acgbcd；方法三：此题也可作垂线，构造全等;过c作cmad于m，cnbd于n先证acmbcn,再证mcdncd【解后反思】当abc为等边三角形时，一般化，对于等腰abc不妨设abbc,且abc，为多少呢？不妨先特殊化: 90，60， 120，的值分别为，1,(2)几何直观可以猜想，bcd

10、为等腰直角三角形，但无法证明看此问题添加了条件bad45，联想到等腰直角三形,故设ad交o于e,连接be，则beed，baeabe45，则caecbe15,，cbecda15，caecda， accdbc，bd为o的直径,bcd90，cdb45,adb451530【真题变式】1如图，ab是o的直径,c为圆上一点,acd为等边三角形，d在o外，已知adb45,o的半径为4，则ad的长为 解：cdb604515； cbdccbacad；adac42如图,ab是o的直径，c为圆上一点，acd为等边三角形，d在o外，已知abd30,则 的值为 解：设bd与o相交于e,连接ae

11、、ec,弧ae弧ae,aceabd30dce；dceace;deae；【真题解读】第三问：看条件ahoh，o为bc的中垂线ah上的动点，ao与bc相互垂直且平分，四边形aboc为菱形bocbac60,bdcboc30，看结论:要证bd2cd2ad2，要用勾股定理解题，而306090，故以bd为边向外作等边三角形bed,于是思路找到：先证abdcbe，得到adce，在rtced中,易得ed2cd2ce2,bd2cd2ad2【真题变式】3四边形abcd中，bcd30，连bd、abd为等边三角形，bcd的外接圆圆心为o,若o的半径为8，则sabd 164四边形abcd中,bcd30，ac6，abbd

12、ad,求bcd的面积的最大值解:以cd为边作等边cde，adbd,dcde,adc60bdcboe，adcbde,acbe在bce中，be2bc2ce2,即bc2cd2ac2362bccd，bccd185，sbcdbccd185四边形abcd中，abbcac，accd，若abd45，则adb的度数为 【提示】方法一：作aebd于e，以ad为直径作圆o,则点e、c都在圆o上，abc为等边三角形，abd45，cbe15aeb90，abe为等腰直角三角形,eab45，eac15，cde15，cbd为等腰三角形，acd为等腰直角三角形,adb30方法二：以c为圆心,ca为半径作c，则c过a、b两点，若

13、d为c外，设cd交c于d，则abdacd45，则d、d重合，若d在o内，设cd交c于d，连接bd，则abdacd45，则d、d重合，d在o上，acb60，adbacb306四边形abcd中，abbcca，accd,若adb30，求abd的度数abcd解：过a作aebd于e，以ad为直径作圆，则e、c在o上，设abdx，则cbe60x， eacx30,adb30,acebce30，ec ecbceace，cbecae，60xx30，x45，即abd457四边形abcd中，abadbd,bcd30，bcd的面积为12，求线段ac长的最小值abcd解：以cd为边向外作等边三角形cdeadbd，cdd

14、e，adc60bdcbdeadcbde，acbe，又在bce中,bcebcddce306090，acbecebccd过d作dfbc于f,则2dfcdsbcdbc（cd)bccd12,bccd48，acbccd2bccd24896，ac4，ac的最小值为4案例4 圆与等腰三角形（1）【真题呈现】如图1，已知o中，bc是直径，d点为ob上任意一点（异于o，b)，过d点作adbc,交o于a点，连接bf交ad于e点(1）探究ae与be的大小关系并证明你的结论；(2）当d为oc上任意一点（异于o，c），其他条件不变时，（1）中的结论是否仍然成立，画出图形并证明你的结论obcfadeg（图3）obcadf

15、ge（图2）obcafdeg（图1）【真题解读】第一问:从条件bc为直径，adbc可联想到垂径定理,故延长ad交o于g，则,，从结论看到要探究ae与be的大小，几何直观看aebe,故可连接ab证abebae，显然，由可得到结论，请规范表述:延长ad交o于g，连接ab，直径bcag，又，abebae第二问：能否运用第一问的方法？故仍然延长ad交o于g，连接ab，其实证法与上一问做法一模一样，请规范表述：同上【解后反思】其实第二问作出图形有两种情况，请试一试，如图3,但做法仍与图2一样(回归双基)【真题变式】1（回归双基）如图2，若od5，ad12,则ec_解:连接oa，则oa13，bd51318

16、，设beaea，则dea12,在rtbde中，a18(a12） ,解得aeg2adae2122如图3，已知ob5，cd2,则eg_解:cd2，半径为5，从而od3,在rtodg中,dg4，设cex，则de4x，bdae88x，在rtbde中，8（4x）(8x)，解得x23（回归双基）如图1,连af、ac交bf于m,已知bd4，de3，则（1）af_；（2）bc_；（3）samf_bodacfem解：（1）bd4，de3，be5ae，afab4；(2）连接oa交bf于点n，由圆的对称性知oabf，则bdeane；an4，en3，设圆的半径为r,(r4）8r,解得r10，bc20；（3)易知onc

17、f1046，cf12,bf16，由,ac平分bcf，则，mfbf6，samfmfan6412案例5 圆与等腰三角形（2)【真题呈现】小明学习了垂径定理，做了下面的探究，根据题目要求帮小明完成探究（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题如图1，在o中,c是的中点，直线cdab于点e，则aebe请证明此结论;（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦如图2,pa，pb组成o的一条折弦c是劣弧的中点，直线cdpa于点e，则aepepb请证明此结论；（3）如图3,pa、pb组成o的一条折弦，若c是优弧的中点，直线cdpa于点e，则ae，pe与pb之间存在怎样的数量关系？写出并

18、证明你的结论cfadbpoe（图3）acpbdoef（图2）oacdbe（图1）【真题解读】第一问：证oaeobe即可；第二问：，acbc，capcbp,再从结论aepepb，可考虑截长法,即在ap上取afbp，再证efep即可；第三问：用第二问的方法，可考虑补短法，即在pa的延长线上截取afbp，连接cf、ac、cp、cb，先证afcbpc；再证efep即可解：（1)略；（2）连接ac，bcc为ab的中点，acbc，capcbp，在ap上截取afbp，连接cf、cp,afcbpc，cfcp,ceap，efep，aeafefbpef,即aepepb;（3）peaepb证明：c是的中点，acbc

19、，延长pa到f使afbp，连cf、ca、cp、cb,capb180，faccap180，bfac，facpbc，cfcp，cdap，peef，peaeafaepb【解后反思】从条件看弧的中点可得到等弧，运用旋转可完成一些图形的变换在运用旋转时，等角、等边是关键，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角也是常见旋转的工具【真题变式】1bc为o内一弦，a为优弧的中点，d为劣弧上任意一点，过a作aebd于e，afcd于f，则下列结论正确的有_（填序号)abdacd，eafbac，bac2def，2eabcodf【提示】,abdacd，故对；aebd,afcd，aebafc90，a为的中点，abac，ab

20、eacf,eabfac,eafbac，故对；abeacf，aeaf，连ad，则aedafd，dedf，defdfe，bdcdefdfe2def，bacbdc2def，故对；abeacf,becfaedafd，dedf,2，故对；故填2如图，在o中,直径ab弦cd，点p是上任一点，作amdp延长线于m，则_abcdpomn【提示】连接ad、ac，过a作ancp于n直径abcd,acad，acpadp,ammd，ancp，amdanc,dmcn，aman，apap,ampanp，mppn，23如图，已知等边abc内接于o，ab2，点d为弧ac上一点，abd45，aebd于点e，则bde的周长是_a

21、bcdoe【提示】运用真题结论：beedcd，bdc的周长bcbdcdbcbeedcdbc2be22ab22案例6 看不见的圆路径问题【真题呈现】如图，扇形oab的圆心角的度数为120，半径长为4，p为上的动点，pmoa，pnob，垂足分别为m、n，d是pmn的外心当点p运动的过程中，点m、n分别在半径上作相应运动，从点n离开点o时起，到点m到达点o时止，点d运动的路径长为（ ）aobpmnda b c2 d2 【真题解读】当点n与点o重合时，作出p1m1o，外心d1为p1o的中点当点m与点o重合时,作出p2m2o，外心d2为p2o的中点当p在上运动时，取op中点为d，则于是dmdndp，从而

22、点d为pmn的外心点p运动时，op4,从而do2，点d在以o为圆心半径为2的上运动从而所求得的路径长即为的长又的圆心角为d1od260，从而弧长为，故选择a【真题分解】1如图，扇形aob的半径为r，p为上的动点，pmoa于m，pnob于n，pmn外接圆半径为r则的值 解：连op,取op中点q,由题意可知oqqpqmqn从而点m、o、n、p在以q为圆心,oq长为半径的圆上于是pmn的外接圆为q，从而roq，rop，于是2如图,扇形aob的圆心角的度数为120，半径长为6,p为上的动点,pmoa于m，pnob于n则线段mn的长为 解：连op，由omp90,onp90知m、n在以op为直径的圆上,则

23、mpn60,设op的中点为q，从而mqn120由于oa6，从而op6，qmqn3,有垂径定理可知3如图，扇形aob的圆心角的度数为120，半径长为8,p为上的动点,pmoa于m，pnob于n则四边形pmon的最大值为 解：连op、mn，运用上一题的方法，由oa8，可知op8由aob120,可知，于是4(武汉四调）如图,直径ab、cd的夹角为60，p为o上的一个动点（不与点a,b，c，d重合），pm、pn分别垂直于cd，ab，垂足分别为m、n若o的半径长为2，则mn的长（ b ) a随p点运动而变化，最大值为 b等于c随p点运动而变化，最小值为 d随p点运动而变化，没有最值【真题变式】1如图,四

24、边形abcd为正方形，边长为,e在cd边上,ce,点p在线段ce上运动，dh直线bp于h当点p从c运动到e时，求点h运动的路径长为 解：以bd为直径画圆,圆心为o，由，知直径db6，从而半径为r3，连be，延长后交o于f，则点h的运动轨迹为弧cf,又,ebc30，于是foc2ebc60，从而弧cf的长为2已知半圆o的直径ab长为8，点c在上，且2，点p在上运动，q为弦ap的中点当点p从b运动到c时，点q运动的路径长为 解：连ac，取ac中点d，取ao中点e，连de，则ado90，以e为圆心，ed为半径,在直线ab上方画圆，可知点q的轨迹为弧do，由于，从而boc120由deoc知deo120，

25、又ab8，从而ao4，于是oe2，于是弧do的长为3如图所示，ab为o的直径，弦cdab于e，e为ob的中点，be，点p在上运动，连ap，dfap于f,当点p从c运动到点b时，则点f的运动路径的长为 解：由知，从而,，连ad、ac，从而，ac6，可知acd为等边三角形，取ad中点为m,ac中点为g，以m为圆心，3为半径作圆m，则点f在m上运动，当p在c点时，f在g点,当p在b时，f在点e;当p在弧cb上运动时，f在弧ge上运动，所求路径长为弧ge的长，又可知gme60，从而弧ge的长为4如图所示，o的半径为6,弦ab/cd，且ab,cd，点p在上运动，连pa、pb，bepa于e，afpb于f，

26、be交af于g，当点p从c运动到d时，求点g运动路径的长解：有r6，可知圆心角aob120，cod120，从而apb60,于是agb120，当p在c点时,g在a点，当p在d点时,g在b点,做弧ab关于直线ab的对称图形，得弧aob，当p在弧cd上运动时，g在弧aob上运动，从而弧aob的长弧ab的长5如图所示，o的直径ab长为,点c、d在上,点p在上运动,连pa、pb,i为pab的内心,当点p从c运动到d时，则点i运动路径的长为 解：连ai、ib,则aib135，取下半圆弧ab的中点q,q与p在直线ab异侧，则qa6，qb6，qi6，连qc、qd，则cod60,cqd30，以q为圆心，6为半径

27、，作圆q，设圆q与qc交于m，与qd交于n，当p在c点时，i在点m，当p在d点时，i在n，当p在弧cd,i在弧mn,从而点i运动的路径长为6如图所示，bac中，bac120,abac，点d在bc边上，bd2dc点p在线段bd上运动，apc的外接圆的圆心为o，当点p从b运动到d时，则点o运动路径的长为 解：由题意可知，,bd4，作线段ac的垂直平分线，则apc外接圆的圆心在直线上运动，过点a作bc的垂线与交于m，作ad的垂直平分线交于n,当p在b点时,o在m点，当p在d点时，o在n点;点p从b运动到d时，点o从m运动到n，所求路径mn的长为47如图所示，平面直角坐标系中,点a（0，2),b（2,

28、0)，c（6，0）,点p在x轴正半轴上运动以ap为直角边作等腰直角三角形，apq90,m为bq的中点,点q与b在直线ap异侧，当点p从原点o出发运动到c时，则点m运动路径的长为 解:设p为（t，0），则q为（2t，t），从而m为,点m在直线上，当p在o点时，m为(0，0）；当p在c时，t6，m为（3,3），从而点m运动路径长为案例7 几何定值问题【真题呈现】如图，扇形aod中，aod90，oa6，点p为上任意一点（不与点a和d重合），pqod于q，点i为opq的内心，过o，i和d三点的圆的半径为 则当点p在上运动时，的值满足（ d ）a b c d【真题解读】 分析四个选项，我们看到b和d意味

29、着r为定值,我们作出oid的外接圆e，又作出直径df,此时dof90，由oa6，知od6,从而r为定值等价于f为定角,由于圆内接四边形ofdi中,foid180,这要求oid为定角，我们注意到oip和oid关于oi轴对称,从而要求oip为定角，这一点恰好成立，易知oip135，详细推理过程，请同学们自己给出由oqp90，可知oip135，从而oid135，于是ofd180oid45，从而ofd为等腰直角三角形，于是，又，从而，故而选择d【解后反思】 如图abp中,ab为定长线段,p为动点,若保持apb(为定角)，则apb的外接圆半径r为定值这个结论，我们称为“定线定角定半径”【真题分解】1ab

30、c中，i为内心，baca，则bic (用含a的式子表示)解：,从而，于是，从而2如图,四边形abcd，内接于o，cd为直径，bad135，ab，ad1，则cd 解：作be直线ad于e,连bd,由bad135，知bea和bcd为等腰直角三角形,由ab知ae3,be3，又ad1,从而edeaad4,于是rtbed中，,rtbcd中，3abc中，a90，ab6,ac8，i为abc的内心，求ibc的外接圆的半径解:由题1中结论知,bic135,由ab6，ac8，a90，知，作出bic的外接圆o,又作出直径cd，连bd，从而bdc45，bdc为等腰直角三角形，于是，从而ibc的外接圆的半径为4如图，ab

31、c中,bac60， ab2,ac，i为abc的内心，则ibc的外接圆的半径r_解：由bac60知，bic120，作ceab于e,又作出ibc的外接圆o，再作出直径cd，连bd，aec中,ac,ae，ec，从而beabae，于是bc3，bdc中，d60，bcd30，从而dc2r，bdr，于是bcr，从而r3,r5如图，扇形aob中，aoa30,acob于c，aoc的内心为i，以i，o，b为顶点的三角形的外接圆直径为8，则ac的长为_解：由aco90，可知aio135，易知aiobio，从而bio135，作出bio的外接圆e，又作e的直径bd，连od，d180bio45，从而，bod为等腰直角三角

32、形，于是bdbo，从而bo4，aoc中,acaobo2【真题变式】1(回归教材）如图，点p在线段ab上运动，apm和pbn为等边三角形，点m,n在直线ab同侧,an和bm相交于点h，已知ab3，ahb外接圆半径为r,求r的值解：先证apnmpb，由此可知ahb120，作出ahb的外接圆o，又作出直径bc,连ac,则acb60，abc30，从而bc2r，acr，于是abc中，r2（3）2（2r）2，从而r32如图，点p在线段ab上运动，apm和pbn为等边三角形，点m，n在直线ab同侧，an和bm相交于点h,已知ab6，求ahb的面积的最大值解：与上题相同的辅助线,可求出ahb的外接圆半径r2，点h的运动轨迹为劣弧ab(去掉a、b两端点)，易知当h为弧ab的中点时，ahb的面积最大，此时sahb633如图，线段ab长为8，点p在ab上运动，以ap为直径作o，bdab，且bdbp,ad交o于点e，求abe外接圆半径r的长解：连pe、pd,从而aep90，于是b、e在以pd为直径的圆上，作出此圆，从而，bpdbdp45