（浙江专用）2020届高考数学一轮复习 第十一章 计数原理 11.2 二项式定理课件

1、11.2二项式定理 高考数学高考数学 (浙江专用) 考点二项式定理及应用考点二项式定理及应用 A A组自主命题组自主命题浙江卷题组浙江卷题组 五年高考 1.(2019浙江,13,6分)在二项式(+x)9的展开式中,常数项是,系数为有理数的项的个 数是. 2 答案答案16;5 2 解析解析本题主要考查二项式展开式的通项公式的运用,通过通项公式的化简和运算确定其中 的特定项,以此考查学生数学运算的能力和核心素养,以及用方程思想解决求值问题的能力. (+x)9展开式的通项Tr+1=()9-rxr=xr(r=0,1,2,9), 令r=0,得常数项T1=x0=16, 要使系数为有理数,则只需Z,则r必为

2、奇数, 满足条件的r有1,3,5,7,9,共五种,故系数为有理数的项的个数是5. 2 9 Cr2 9 Cr 9 2 2 r 0 9 C 9 2 2 9 2 22 9 2 r 解后反思解后反思二项式的展开式中特定项的确定需写出其通项公式,并化简整理,根据特定项的特 点列方程确定r的值,进而可求解特定项. 2.(2018浙江,14,4分)二项式的展开式的常数项是. 8 3 1 2 x x 答案答案7 解析解析本题考查二项式定理,二项展开式的通项和相关计算. 的展开式的通项Tk+1=x-k=,要使Tk+1为常数,则=0,k=2, 此时T3=7,故展开式的常数项为7. 8 3 1 2 x x 8 Ck

3、 8 3 k x 1 2 k 1 2k 8 Ck 8 4 3 k x 84 3 k 2 1 2 2 8 C 思路分析思路分析(1)求出二项展开式的通项.(2)令通项中x的指数为0,得k的值.(3)计算此时的Tk+1. 3.(2017浙江,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5= . 答案答案16;4 解析解析本题考查二项式定理,求指定项系数,组合数计算,考查运算求解能力. 设(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2. 则a4=b2c2+b3c1=1222+132=16, a5=b3c2

4、=1322=4. 2 3 C 1 2 C 4.(2016浙江自选,“计数原理与概率”模块,04(1),5分)已知(1+2x)4(1-x2)3=a0+a1x+a2x2+a10 x10, 求a2的值. 解析解析因为(1+2x)4的展开式的通项为(2x)r,r=0,1,2,3,4, (1-x2)3的展开式的通项为(-x2)r,r=0,1,2,3, 所以a2=22+(-1)=21. 4 Cr 3 Cr 2 4 C 0 3 C 0 4 C 1 3 C 5.(2015浙江自选,“计数原理与概率”模块,04(1),5分)已知n为正整数,在(1+x)2n与(1+2x3)n展开 式中x3项的系数相同,求n的值.

5、 解析解析(1+x)2n中x3项的系数为,(1+2x3)n中x3项的系数为2n. 由=2n得=2n, 解得n=2. 3 2 C n 3 2 C n 2 (21)(22) 3 2 1 nnn 考点二项式定理及应用考点二项式定理及应用 B B组统一命题、省（区、市）卷题组组统一命题、省（区、市）卷题组 1.(2019课标全国理,4,5分)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为() A.12B.16 C.20D.24 答案答案A本题考查二项式定理的应用,通过求解二项展开式中指定项的系数考查学生对公 式的运用能力,考查了数学运算的核心素养. (1+x)4的二项展开式的通项为Tk+1=xk(k

6、=0,1,2,3,4),故(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为+2 =12.故选A. 4 Ck 3 4 C 1 4 C 解题关键解题关键掌握多项式乘法的展开式,熟记二项展开式的通项是解决本题的关键. 2.(2018课标全国理,5,5分)的展开式中x4的系数为() A.10B.20 C.40D.80 5 2 2 x x 答案答案C本题考查二项式定理. 的展开式的通项Tr+1=(x2)5-r(2x-1)r=2rx10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为22=4 0.故选C. 5 2 2 x x 5 Cr 5 Cr 2 5 C 3.(2017课标全国理,4,5分)(x+y

7、)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为() A.-80B.-40 C.40D.80 答案答案C本题考查二项式定理,求特定项的系数. (2x-y)5的展开式的通项为Tr+1=(2x)5-r(-y)r=(-1)r25-rx5-ryr.其中x2y3项的系数为(-1)322=-40,x 3y2项的系数为(-1)223 =80.于是(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40. 5 Cr 5 Cr 3 5 C 2 5 C 4.(2017课标全国理,6,5分)(1+x)6展开式中x2的系数为() A.15B.20 C.30D.35 2 1 1 x 答案答案C本题考查二项式定理中

8、指定项的系数. 对于(1+x)6,若要得到x2项,可以在中选取1,此时(1+x)6中要选取含x2的项,则系数 为;当在中选取时,(1+x)6中要选取含x4的项,即系数为,所以,展开式中x2项的系数 为+=30,故选C. 2 1 1 x 2 1 1 x 2 6 C 2 1 1 x 2 1 x 4 6 C 2 6 C 4 6 C 5.(2016四川,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为() A.-15x4B.15x4 C.-20ix4D.20ix4 答案答案AT3=x4i2=-15x4,故选A. 2 6 C 易错警示易错警示易误认为i2=1而致错. 评析评析正确应用二项展

9、开式的通项是解题的关键. 6.(2015课标,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为() A.10B.20 C.30D.60 答案答案C(x2+x+y)5=(x2+x)+y5的展开式中只有(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为=30, 故选C. 2 5 C 2 5 C 1 3 C 7.(2015湖北,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式 系数和为() A.212B.211 C.210D.29 答案答案D(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为,=,得n=10. 从而有+=210, 又+=+, 奇数项

10、的二项式系数和为+=29. 3 Cn 7 Cn 3 Cn 7 Cn 0 10 C 1 10 C 2 10 C 3 10 C 10 10 C 0 10 C 2 10 C 10 10 C 1 10 C 3 10 C 9 10 C 0 10 C 2 10 C 10 10 C 评析评析本题考查二项展开式的奇数项的二项式系数和及其性质、组合数性质,考查运算求 解能力. 8.(2015湖南,6,5分)已知的展开式中含的项的系数为30,则a=() A.B.- C.6D.-6 5 a x x 3 2 x 33 答案答案D的展开式的通项为Tr+1=()5-r=(-a)r. 依题意,令5-2r=3,得r=1,(-

11、a)1=30,a=-6,故选D. 5 a x x 5 Crx r a x 5 Cr 5 2 2 r x 1 5 C 9.(2015陕西,4,5分)二项式(x+1)n(nN+)的展开式中x2的系数为15,则n=() A.4B.5C.6D.7 答案答案C因为(x+1)n的展开式中x2的系数为,所以=15,即=15,亦即n2-n=30,解得n=6 (n=-5舍). 2 Cn n 2 Cn n 2 Cn 10.(2019天津理,10,5分)的展开式中的常数项为. 8 3 1 2 8 x x 答案答案28 解析解析本题考查二项展开式的通项,通过二项展开式中指定项的求解考查学生的运算能力,从 而体现运算法

12、则及运算对象选择的素养要素. 二项展开式的通项公式为Tk+1=(2x)8-k=(-1)k28-k2-3kx8-4k=(-1)k28-4kx8-4k,令8-4k=0,得 k=2,即T3=(-1)220=28,故常数项为28. 8 Ck 3 1 8 k x 8 Ck 8 Ck 2 8 C 2 8 C 解题关键解题关键熟记二项展开式的通项公式是求解本题的关键. 11.(2018天津理,10,5分)在的展开式中,x2的系数为. 5 1 2 x x 答案答案 5 2 解析解析本题主要考查二项展开式特定项的系数. 由题意得Tr+1=x5-r=, 令5-=2,得r=2,所以=. 故x2的系数为. 5 Cr

13、1 2 r x 1 2 r 5 Cr 3 5 2r x 3 2 r1 2 r 5 Cr 2 1 2 2 5 C 5 2 5 2 方法总结方法总结求二项展开式中的某一项的系数时,可直接利用展开式的通项Tr+1=an-rbr进行求解. Cr n 12.(2016北京,10,5分)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为.(用数字作答) 答案答案60 解析解析Tr+1=16-r(-2x)r=(-2)rxr,令r=2, 得T3=(-2)2x2=60 x2.故x2的系数为60. 6 Cr 6 Cr 2 6 C 13.(2016课标全国,14,5分)(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)

14、 x 答案答案10 解析解析Tr+1=(2x)5-r()r=25-r,令5-=3,得r=4,T5=10 x3,x3的系数为10.5 Crx 5 Cr 5 2 r x 2 r 14.(2015课标,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=. 答案答案3 解析解析设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)(1+1)4=(a+1)16,又奇数次幂项的 系数和为f(1)-f(-1),又f(-1)=0,(a+1)16=32, a=3. 1 2 1 2 评析评析二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法. 15.(2015

15、北京,9,5分)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为. (用数字作答) 答案答案40 解析解析(2+x)5的展开式的通项为Tr+1=25-rxr(r=0,1,5),则x3的系数为22=40.5 Cr 3 5 C 16.(2015天津,12,5分)在的展开式中,x2的系数为. 6 1 4 x x 答案答案 15 16 解析解析的展开式的通项为Tr+1=x6-r=x6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2的系数 为=. 6 1 4 x x 6 Cr 1 4 r x 1 4 r 6 Cr 2 6 C 2 1 4 15 16 17.(2015广东,9,5分)在(-1)4的展开式中,x的系数为.

16、x 答案答案6 解析解析(-1)4的展开式的通项为Tr+1=()4-r(-1)r=(-1)r,令=1,得r=2,从而x的系数 为(-1)2=6. x 4 Crx 4 Cr 4 2 r x 4 2 r 2 4 C 18.(2019江苏,22,10分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,n4,nN*,已知=2a2a4. (1)求n的值; (2)设(1+)n=a+b,其中a,bN*,求a2-3b2的值. 2 3 a 33 解析解析【必做题】 本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力.满分10分. (1)因为(1+x)n=+x+x2+xn,n4, 所以a

17、2=,a3=, a4=. 因为=2a2a4, 所以=2. 解得n=5. (2)由(1)知,n=5. (1+)n=(1+)5 =+()2+()3+()4+()5 =a+b. 0 Cn 1 Cn 2 CnCn n 2 Cn (1) 2 n n 3 Cn (1)(2) 6 n nn 4 Cn (1)(2)(3) 24 n nnn 2 3 a 2 (1)(2) 6 n nn (1) 2 n n(1)(2)(3) 24 n nnn 33 0 5 C 1 5 C3 2 5 C3 3 5 C3 4 5 C3 5 5 C3 3 解法一: 因为a,bN*,所以a=+3+9=76,b=+3+9=44, 从而a2-

18、3b2=762-3442=-32. 解法二: (1-)5=+(-)+(-)2+(-)3+(-)4+(-)5=-+()2-()3+ ()4-()5. 因为a,bN*,所以(1-)5=a-b. 因此a2-3b2=(a+b)(a-b)=(1+)5(1-)5=(-2)5=-32. 0 5 C 2 5 C 4 5 C 1 5 C 3 5 C 5 5 C 3 0 5 C 1 5 C3 2 5 C3 3 5 C3 4 5 C3 5 5 C3 0 5 C 1 5 C3 2 5 C3 3 5 C3 4 5 C 3 5 5 C3 33 3333 考点二项式定理及应用考点二项式定理及应用 C C组教师专用题组组教师

19、专用题组 1.(2017山东理,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=. 答案答案4 解析解析本题主要考查二项展开式. (1+3x)n的展开式的通项Tr+1=3rxr,含有x2项的系数为32=54,n=4. Cr n 2 Cn 2.(2016山东,12,5分)若的展开式中x5的系数是-80,则实数a=. 5 2 1 ax x 答案答案-2 解析解析Tr+1=a5-r,令10-r=5,解之得r=2,所以a3=-80,a=-2.5 Cr 5 10 2r x 5 2 2 5 C 3.(2016天津,10,5分)的展开式中x7的系数为.(用数字作答) 8 2 1 x x

20、 答案答案-56 解析解析Tr+1=x16-2r(-x)-r=(-1)-rx16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3=-56. 8 Cr 8 Cr 3 8 C 易错警示易错警示本题中,展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意. 4.(2015重庆,12,5分)的展开式中x8的系数是(用数字作答). 5 3 1 2 x x 答案答案 5 2 解析解析二项展开式的通项为Tr+1=(x3)5-r=,令15-3r-=8,得r=2,于是展开式 中x8的系数为=10=. 5 Cr 1 2 r x 1 2r 5 Cr 15 3 2 r r x 2 r 2 1 2 2

21、5 C 1 4 5 2 5.(2015四川,11,5分)在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是(用数字填写答案). 答案答案-40 解析解析Tr+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-rx5-r,令5-r=2,则r=3,所以含x2的项的系数是-40. 5 Cr 5 Cr 6.(2015安徽,11,5分)的展开式中x5的系数是.(用数字填写答案) 7 3 1 x x 答案答案35 解析解析展开式的通项为Tk+1=(x3)7-kx-k=x21-4k,令21-4k=5,得k=4,则展开式中x5的系数为=35. 7 Ck 7 Ck 4 7 C 三年模拟 A A组组 20172019 2

22、0172019年高考模拟年高考模拟考点基础题考点基础题组组 1.(2019浙江高考数学仿真卷(三),2)若的展开式中x2的系数为160,则m的值是() A.4B.-4C.2D.-2 6 3 1 mx x 答案答案D二项展开式的通项为Tr+1=(mx)6-r=(-1)rm6-r,令6-r=2,解得r=3,所以x2 的系数为(-1)3m3=-20m3=160,解得m=-2,故选D. 6 Cr 1 3 ()rx 6 Cr 4 6r 3 x 4 3 3 6 C 2.(2019浙江高考信息优化卷(五),3)(x2+1)的展开式中常数项是() A.5B.-10C.-32D.-42 5 1 2 x 答案答案

23、D由题意得,常数项是(-2)+(-2)5=-42,故选D. 4 5 C 3.(2019浙江宁波高三上期末,4)设=a0+a1x+a8x8,则a7=() A.-4B.-8C.-12D.-16 24 (32)xx 答案答案C由题意知=(x-1)4(x-2)4, 利用二项展开式的通项公式可知a7=(-1)+(-2)=-4+(-8)=-12,故选C. 24 (32)xx 1 4 C 0 4 C 0 4 C 1 4 C 4.(2019浙江金华十校高三上期末,7)已知(x+1)4+(x-2)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a8(x-1)8,则a3= () A.64B.48C.-48D.-64

24、答案答案C(x+1)4+(x-2)8=(x-1)+24+(x-1)-18=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a8(x-1)8, 由二项展开式知a3(x-1)3=(x-1)32+(x-1)3(-1)5,所以a3=8-=-48,故选C. 1 4 C 5 8 C 5 8 C 5.(2019浙江高考信息优化卷(二),8)设(x-2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a5(x+1)5,则a1+2a2+3a3+4a4 +5a5的值是() A.80B.112C.-161D.-32 答案答案A先两边求导,再令x=0得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=80,故选A. 6.(2018浙江绍兴高

25、三3月适应性模拟,11)在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算 法一书里出现了如图所示的数表,表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和. 利用这一性质,=,=.(用数字作答) 3 6 C 4 7 C 答案答案20;35 解析解析由题意得=+=10+10=20,=+=+=10+10+10+5=35. 3 6 C 2 5 C 3 5 C 4 7 C 3 6 C 4 6 C 2 5 C 3 5 C 3 5 C 4 5 C 7.(2019浙江金华十校联考(4月),14)已知(2+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a8x8,则a1+a2+a8= ,a3=. 答案答案-5;-47

26、6 解析解析令x=0,则a0=2;令x=1,则a0+a1+a2+a8=-3,两式相减可得a1+a2+a8=-5. 我们仅需计算(2+x)(1-2x)7的展开式中含x3项的系数,因为(2+x)(1-2x)7=2(1-2x)7+x(1-2x)7,所以 含x3项的系数为2(-2)3+(-2)2=-476,故a3=-476. 3 7 C 2 7 C 8.(2019浙江温州普通高中高考适应性测试(2月),13)若x6=a0+a1(x+1)+a5(x+1)5+a6(x+1)6,则a0 +a1+a2+a3+a4+a5+a6=,a5=. 答案答案0;-6 解析解析令x=0,则a0+a1+a2+a3+a4+a5

27、+a6=0. 令y=x+1,则x6=(y-1)6,a5为y5的系数,可得a5=(-1)=-6. 5 6 C 9.(2019浙江台州一中、天台一中高三上期中,14)已知二项式,则其展开式中的常数 项为;系数最大的项为. 6 1 3 x x 答案答案1215;1458 3 2 x 解析解析由题意知,常数项为34=1215. 由解得r,故r=1,所以系数最大的项为35=1458. 2 6 C 617 66 615 66 C 3C3, C 3C3, rrrr rrrr 3 4 7 4 1 6 C 3 2 x 3 2 x 10.(2019浙江高考“超级全能生”联考(2月),13)的展开式中各项系数和为7

28、29,则n= ,展开式中x5的系数为. 2 (1)nxx 答案答案6;126 解析解析本题考查二项式定理. 由729=3n得n=6,二项式展开式中x5的系数为+=126. 26 (1)xx 0 6 C 5 6 C 1 6 C 3 5 C 2 6 C 1 4 C 11.(2019浙江高考数学仿真卷(一),12)记(3x+1)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a5(x+1)5,则a5=, a0+a2+a4=. 答案答案243;-1562 解析解析(3x+1)5=-2+3(x+1)5=(-2)5-r3r(x+1)ra5=35=243; 分别取x=0,x=-2得方程组 两式相加可得2(a0+

29、a2+a4)=1-55,所以a0+a2+a4=-1562. 5 0i 5 Cr 012345 5 012345 1, 5, aaaaaa aaaaaa 12.(2019浙江杭州高级中学高三上期中,14)如果的展开式中各项系数之和为128,则 n的值为,展开式中的系数为. 23 1 3 n x x 3 1 x 答案答案7;21 解析解析令x=1,得展开式中各项系数之和为2n=128,解得n=7.故Tr+1=(3x)7-r=(-1)r37-r ,令7-=-3,则r=6,所以其展开式中的系数为3(-1)6=21. 7 Cr 23 1 r x 7 Cr 5 7 3 r x 5 3 r 3 1 x 6

30、7 C 13.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷(一),12)设的展开式的各项系数之和为M,二项式系 数之和为N,若M-N=240,则n=,展开式中含x2项的系数为. 1 3 n x x 答案答案4;108 解析解析依题意有M=4n,N=2n,由4n-2n=240,得n=4.Tk+1=(3x)4-kx-k=34-kx4-2k,令4-2k=2,得k=1,故展 开式中含x2项的系数为33=108. 4 Ck 4 Ck 1 4 C B B组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组 时间:30分钟分值:56分 一、选择题(每小题4分,共8分) 1.(2019浙江台州

31、高三上期末,6)的展开式中常数项为() A.28B.-28C.-56D.56 4 3 1 2xx x 答案答案A因为=,所以要求展开式中的常数项,仅需求的展开式中 的x4的系数,由二项展开式的通项公式可知其系数为(-1)6=28,故选A. 4 3 1 2xx x 28 4 (1)x x 28 (1)x 6 8 C 2.(2019浙江高考数学仿真卷,4)设函数f(x)=则当x0时,f(f(x)表达式的展开式中 常数项为() A.-20B.20C.-15D.15 6 1 ,0, ,0, xx x x x 答案答案A易知f(f(x)=(x0),的展开式的通项为Tr+1=(-)6-r= (-1)6-r

32、, 令=0,得r=3,故所求常数项为(-1)3=-20,故选A. 6 1 x x 6 1 x x 6 Crx 1 r x 6 Cr 6 2 2 r x 62 2 r 3 6 C 3.(2018浙江金华十校模拟(4月),13)若(x+y)(2x-y)5=a1x6+a2x5y+a3x4y2+a4x3y3+a5x2y4+a6xy5+a7y6,则a4 =,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=. 二、填空题(共48分) 答案答案40;2 解析解析(2x-y)5的通项Tk+1=(-1)k25-kx5-kyk, x3y3分两种情况: (1)xx2y3,其系数为(-1)322=-40; (2)yx3y2

33、,其系数为(-1)223=80, 所以a4=40. 令x=y=1,则a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=2. 5 Ck 3 5 C 2 5 C 4.(2019浙江三校第一次联考(4月),13)已知(x+2)5(2x-5)=a0+a1x+a6x6,则a0=;a5= . 答案答案-160;15 解析解析令x=0得25(-5)=a0,即a0=-160; 由通项公式知,a5=22+(-5)=15. 1 5 C 0 5 C 5.(2019浙江金丽衢十二校高三第一次联考,11)已知nN*,若的展开式中存在常数 项,则n的最小值为,此时常数项为. 2 3 1 5 n x x 答案答案5;2 解析解析的展开式的通项为Tr+1=(x2)n-r=x2n-5r,令2n-5r=0,解得r= ,因为rN*,所以n的最小值为5,此时r=2,所以常数项为=2. 2 3 1 5 n x x Cr n 3 1 5 r x Cr n 1 5 r 2 5