B知识讲解直线与双曲线地位置关系

1、直线与双曲线的位置关系【学习目标】1能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题【知识网络】【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义在平面内，到两个定点F,、F2的距离之差的绝对值等于常数 2a（ a大于0且2ac RF2 ）的动点P的 轨迹叫作双曲线这两个定点Fi、F2叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距双曲线的标准方程:焦点在x轴上的双曲线的标准方程2 2x2 -y2 -1(a0,b0)a b说明：焦

2、点是 Fi（-c, 0）、F2（c, 0），其中 c2=a2-b2焦点在y轴上的双曲线的标准方程22-1(a0,b 0)y xb22a说明：焦点是 Fi（0, -c）、F2（0， c）,其中 c2=a2-b2要点诠释：求双曲线的标准方程应从 定形” 定式”和定值”三个方面去思考定形”是指对称中心在原 点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；定式”根据 形”设双曲线方程的具体形式； 定量是指用定义法或待定系数法确定 a,b的值.要点二、双曲线的几何性质标准方程2 2x yp 4=1 (a AO,b aO)a b2 2y x二 r =1 (aO,bO)a b图形1 71- 11 f0x性

3、质焦占八 、八、F-gO) , F2(c,0)F1(O,-c) , F2(0,c)焦距f22|F,F2 I=2c(c=ja2 +b2)| F1F2 I=2c(c=ja2 +b2)范围x x 兰-a或x Xa，严 Ry y 兰一a或y 兰 a ,R对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(土a,O)(O, 土a)轴实轴长=2a，虚轴长=2b离心率e= (e 1)a渐近线方程y = 卫 xaVx要点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系2 2将直线的方程y =kx m与双曲线的方程令-占=1 (a 0,b0)联立成方程组，消元转化为关于a b或y的一元二次方程，其判别式为.(b2 _a2k2)

4、x2 - 2a2mkx _a2m2 - a2b2 =0若b2 _a2k2 =0,即k = b，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；a若 b2 -a2k2 =0,即 k =二？,a 厶0=直线和双曲线相交 =直线和双曲线相交，有两个交点； 厶二0=直线和双曲线相切=直线和双曲线相切，有一个公共点； 0,b0)于点P1(x1,y1)，巳区小),两点，则a b| RP2 |=J(Xi+X2)2+(Vi V2)2,(Xi X2)21(yi -y2Xi-X2 1人-x2同理可得 | PP2 |卞1 $ I yi - y21 (k =0)这里I儿-X21, | % - y21,的求法通常使用韦

5、达定理，需作以下变形:|为_X2 |卞；心1 x2)2 4x2I % -丫21=；1(力 y2)2 一4%丫2双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用韦达定理”或 点差法”求解.b2X0_ 2；a y。2 2在双曲线 笃-占=1 (a 0, b 0)中，以P(x), y0)为中点的弦所在直线的斜率a b涉及弦长的中点问题， 常用 点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、 弦的中点坐标联系起来相互转化， 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍解题的主要规律可以概括为联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于

6、双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：(1) 利用定义转化(2) 利用双曲线的几何性质(3) 转化为函数求最值【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质P在双曲线上，若PFi PF2 =0 ,2 2例1.设Fi、F2是双曲线X2y =1 1(a0，b0)的两个焦点，点a bPF|PF2 =2ac，其中c = . a2 b2，求双曲线的离心率.【解析】由双曲线定义知，l|PFi|PF2|= 2a,|PFif + |PF2|2

7、 2|PFi| |PF2|= 4a2,又 |PFif + |PF2|2= 4c2,P? Pf2 =2ac ,- |PFi| |PF2|= 2b2,2 2ac= 2b , b2= c2 a2= ac,i .52即双曲线的离心率为i .52【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。 举一反三：【变式i】求下列双曲线的标准方程.2 2(i)与椭圆 -i共焦点，且过点(一2, J0)的双曲线；i6 252 2与双曲线x - y 有公共焦点，且过点(3、. 2 , 2)的双曲线.i6 42 2【答案】(i) 椭圆 y i的焦点为(0, 3),i6 252 2所求双曲线

8、方程设为：爲 J=i,a29-a2又点(一2,、.i0 )在双曲线上，i02 a=i，解得 a2 = 5 或 a2= i8(舍去). 9 -a222所求双曲线方程为-= i .542x双曲线i6=i的焦点为0),2 2设所求双曲线方程为：冷 J =i,a220 a2又点(32 , 2)在双曲线上,182 a420 -a2=1，解得a2= 12或30(舍去),2 2所求双曲线方程为 =1.12 8、 、 1【变式2】设双曲线焦点在 x轴上，两条渐近线为 y= x,则该双曲线的离心率为()2A . 5B. J5、55C.D. 一24【答案】C类型二：直线与双曲线的位置关系例2.已知双曲线x 31,

9、2 3时，直线与双曲线有两个公共点;-y2=4,直线I： y=k(x1)，讨论直线与双曲线公共点个数.【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解y =k(X 1)【解析】联立方程组 消去y,并依x聚项整理得：X _y =4(1 k2) x2+2k2x k2 4=0(1) 当1 k2=0即k= 1时，方程可化为2x=5 , x=，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公2共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).(2) 当 1 k20时，即 心,1 此时有 =4 - 3k2)若 4 3k20(kJ 1,)1(-1,1)1空丿I 3丿213

10、(3)若4 3k2=0(k2工1)则k=9，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).3于2屈:-,-4，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点若4 3k20且k2工1则k，代，方程组无解，故直线与双曲线无交点,1 571232心(2逅3八3，乜 时，直线与双曲线无公共点综上所述，当k=1或k=2_时，直线与双曲线有一个公共点；3【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法一一分类讨论，而且是 双向讨论”，既要讨论首项系数 1 k2是否为0,又要讨论 的三种情况，为理清讨论的思路，可画 树枝图”如图:举一反三:等于0不皤于D【变式1

11、】过原点的直线1与双曲线牛T交于两点则直线1的斜率取值范围是【答案】BB.r q_oQ 2丿kJ-HeB丿r府V3）D.一旳，一一 二14k(5-k、.7)24(25-7k2)(5-k、.7)2165 = 0，化简得：k 无解，所以不满足条件；_5 7所以满足条件的直线有两条x =、7和yO。【总结升华】直线与双曲线有一个公共点时可能相切也可能相交,注意直线的特殊位置和所过的特殊点举一反三:2 2【变式】双曲线 笃-占=1的右焦点到直线x-y-1=0的距离为a2b2 2，且 2a2 =3c.2(1)求此双曲线的方程;(2)设直线y=kx+m(m丰0与双曲线交于不同两点C、D，若点A坐标为(0,

12、 -b)，且|AC|=|AD|，求实数k取值范围。(2)(-二(35-亍类型三：双曲线的弦2例4. (1)求直线y = x1被双曲线x2=1截得的弦长;42(2)求过定点(0,1)的直线被双曲线x2 -上1截得的弦中点轨迹方程4【思路点拨】(1 )题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解。(2)题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便2解：由4得 4x2(x 1)2-4 =0 得 3x2-2x-5=0 (*)y 二 x 12 5设方程(*)的解为x1,x2，则有x1 x2, x-ix2得，3 3|=血&为 +X2)2 4%X2

13、=+=8V2 .(2)方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为y = kx T，它被双曲线截得的弦为 AB对应的中点为P(x,y),y 二 kx 1由2 y2 得(4k2)x2 2kx5 = 0 (*) x2 -=1L 4设方程(*)的解为 Xi,X2，则=4k2 20(4-k2) .0 16k2 : 80,| k| ： ,5 ,曰2k5且 X-I X22，X1X22，4k4k1 k1 x =(人 X2)=2, y =(力 y2)=2 4k 21(x1 x2) 1 =2! kx 24-k4口得 4x2y2 y =0(y-4 或 y 0).方法二：设弦的两个端点坐标为 A(

14、x1,y1), B(x2,y2)，弦中点为P(x, y)，则4x-i - y；4 ,口22 得：4(X1 *2)(为-X2)=(% y2)(% - y2),4X2 -Y2 =4.% + y2 _4(X1 -X2)即 y _ 4xx y _1X1X2力 - y2即4x2 -y2 y = 0 (图象的一部分)【总结升华】(1 )弦长公式|AB |1 k2 |xi -X2卜1 J I % - y21 ；(2 )注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法举一反三：2【变式1】垂直于直线x，2y-3=0的直线丨被双曲线 202=1截得的弦长为5竽，求直线丨的方程【答案】y=2x_10【变式2】双曲线x2 -

15、 y2 =1的一弦中点为(2， 1)，则此弦所在的直线方程为A. y =2x -1 B.y = 2x 一 2 C. y 二 2x 一 3 D. y 二 2x 3【答案】C类型四：双曲线的综合问题例5.已知点M( 2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM | |PN|=2 、2 .记动点P的轨迹为 W.(I )求W的方程；(n )若A,B是W上的不同两点,0是坐标原点，求 0A 0B的最小值.【思路点拨】(n)中，选好控制变量-直线的斜率k,建立目标0A 0B的函数是关键。【解析】(I)根据双曲线的定义可得2 2W的方程为(x八2).(n )设A,B的坐标分别为(yd( X2, y2),当A

16、B与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y = kx，m,与W的 方程联立，消去y得1 -k2 x2 -2kmx -m2 -2二0,22km 、，、， m 2故 X X?2，X1X22, 所以1 -kk -1OA OB =x1x2y, y2 = XX2kx! mkx2m = (1 k2)?km(x,x2)m21 k2 m22 2k2m22 2k224k2 -1厂 m2222 .1 -k2k21k212T T又因为x1x20,所以k2 -10,从而OA 0B 2 2 2当 AB _ x 轴时,x = x2, y -y2,从而 OA 0 = x1x2 y1 y x1 - y1 = 2综上，当AB丄x轴时，OA OB取得最小值2.几何性质及函数表示，转化为图形问题和【