2015年普通高等学校招生全国统一考试广东卷

1、广东卷（文）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 若集合 M = 1 , 1 , N= 2, 1 , 0,贝V M AN =（）A. 0, 1B.1C.0D. 1, 12. 已知i是虚数单位，则复数（1 + i）2=（）A . 2i B. 2iC. 2 D. 23下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）2A . y= x+ sin 2x B. y= x cos x1C. y = 2x+ 歹 D. y= x2+ sin xx + 2y

2、0,则z= 2x+ 3y的最大值为（）x0)的左焦点为Fi( 4, 0),则m=()A . 2 B. 3C. 4 D. 99. 在平面直角坐标系 xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，：= (1 , 2)，=(2 , 1),贝*=()A . 5 B. 4C. 3 D. 210. 若集合 E = (p, q, r, s)|0 曲 s4 0sSq s4 0奇vsW4且 p, q, r, s N, F =(t, u, v, w)|0 4 u4 0旬 w0的解集为 .(用区间表示)12 .已知样本数据 X1, X2,，Xn的均值x= 5,则样本数据2X1 + 1, 2X2+ 1,，2Xn +1的

3、均值为.13. 若三个正数 a, b, c成等比数列，其中a= 5 + 池,c= 5 2品 则b=.(二)选做题(1415题，考生只能从中选做一题)14. (坐标系与参数方程选做题 )在平面直角坐标系 xOy中，以原点0为极点，x轴的正X2程为丿则Cl与C2交点的直角坐标为x = t ,(t为参数),y = 2 0,故 m = 3.9.解析=选A 由四边ABCD赴平行四边形-知广一八疗+AD=(3,-L*itAp * 八广一(熹 1) * (31 -1) = 5.9. 解析：选A 对于集合E,当s= 4时，p, q, r可取3, 2, i, 0,故个数为4用用=64;当s= 3时，p, q,

4、r可取2, i , 0,故个数为3X3X3 = 27;当s= 2时，p, q, r可取i, 0,故个数为2X2X2= 8;当s= i时，p, q, r可取0,故个数为i XI Xi = i.集合E中元素的个数为 64 + 27+ 8+ i = i00.对于集合F ,当u= 4时，t可取3, 2, i, 0;当u = 3时，t可取2, i, 0;当u = 2时，t可取i, 0;当u = i时，t可取0.故u, t组共可取i0个，同理，v, w组也可取i0个，集合F中元素的个数为i0Xi0= i00.故 card(E) + card(F)= i00+ i00 = 200.第n卷二、填空题(本大题共

5、5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题 中横线上)(一)必做题(iii3题)10. 解析：由x2 3x+ 4 0 得 x2+ 3x 4 V 0,解得4V XV i.答案：(4, i)12解析：由条件知x = x1 + x2+化5,则所求均值x = 2x1 + 1 + 2x2+ 1 + + 2xn+ 12 ( x1+ ” + Xn)+ n = 2x + 仁 2X5+ 1 = 11.答案：111.13.解析：/ a, b, c 成等比数列，二 b2= a c= (5 + 2 6)(5 2 6) = 1.又 b0，二 b =答案：1（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）

6、14.解析：由pcos0+ sin 0) = 2 得 x+ y= 2.法-:由x=，,y= 2 2t,得 y2= 8x,联立x+y=2,y = 8x,x= 2,得即交点坐标为(2, 4).,y= 4,法二：把x= 2,代入x+ y+ 2= 0得t2+ 2谄t + 2 = 0,解得 t=羽，J即$= 2逅l.y= 4,x= t2,交点坐标为（2, 4）.答案：(2, 4)15解析：由 CE2= BE AE 得(2 3)2 = BE (4 + BE),解得 BE= 2连接 OC(图略)，贝V OC=2, OC 丄 DE.又 AD 丄 DE, AD / OC ,则OC =雀,答案：3三、解答题（本大

7、题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）n(n tan a+ tan 42+ 116.解：(tan a+ 4 =n=一 3.1 tan dan 4sin 2 a(2)sin2 a+ sin acos a cos 2 a 12sin acos asin a+ sin acos a 2cos a2ta n atan a+ tan a 22 X24 + 2 217 .解:(1)由(0.002 + 0.009 5+ 0.011 + 0.012 5 + x+ 0.005 + 0.002 5) 28= 1 得 x= 0.007 5,直方图中x的值为0.007 5.（2）月平均用电量的

8、众数是220+2402=230./ (0.002 + 0.009 5 + 0.011) 80= 0.45V 0.5,月平均用电量的中位数在220 , 240)内，设中位数为 a,则(0.002 + 0.009 5 + 0.011) 80 + 0.012 5 8a 220)= 0.5,解得 a = 224,即中位数为 224.（3）月平均用电量在220 , 240）的用户有0.012 5820 800= 25（户）,同理可求月平均用电量为240 , 260）, 260 , 280）, 280, 300）的用户分别有 15户、10户、5户，故抽取比例为11125+ 15+ 10+ 5= 5， 从月

9、平均用电量在220 , 240）的用户中应抽取 2581= 5（户）.518. 解：（1）证明：四边形ABCD为长方形， BC / AD.又BC?平面PDA, AD?平面PDA, BC/ 平面 PDA.（2）证明：/ BC丄CD ,平面PDC丄平面 ABCD ,且平面 PDC门平面ABCD = CD , BC? 平面ABCD , BC丄平面PDC./ PD?平面 PDC, BC 丄 PD.取CD的中点E ,连接PE, AC./ PD = PC , PE 丄 CD , PE= PC2 CE2= .42 32= .7.平面PDC丄平面 ABCD,且平面 PDC门平面 ABCD = CD, PE?平

10、面PDC , PE丄平面 ABCD.由知BC丄平面PDC.又 AD / BC, AD 丄平面 PDC.又 PD?平面 PDC , AD 丄 PD.设点C到平面PDA的距离为h,则 V -pda = Vp-acd ,.1 1-pda = acd PE,Sa acd PE =Sa pda故点C到平面PDA的距离为弩.19. 解：(1)当 n = 2 时，4&+ 5S2= 80 + S ,即 4 1 +1+ 5 + a4 + 5 1 + 3 = 8 1 +1+ 4 + 1,解得 a4=7(2)证明:由 4Sn +2+ 55= 8Sn+ 1 + Sn_1 (门淳),得 4Sn+ 2 4Sn+ 1 +

11、Sn _ Sn_ 1 = 45+1 45(n 述),即 4an+ 2+ an= 4an +1(n 淳). 4a3+ a1 = 41 = 6= 4a2,2n数列1= 2为首项，4为公差的等差数列an2 + 4( n 1) = 4n 2,1n2即 an= (2n 1) -2 01 n 1 数列an的通项公式为an= (2n 1)三 .20. 解: (1)把圆C1的方程化为标准方程得(x 3)2+ y2= 4，圆C1的圆心坐标为 0(3,0).设M(x, y), / A, B为过原点的直线I与圆C1的交点，且M为AB的中点，由圆的性质知：MCMO , -；: -； 1-又 V= (3 .I . V)

12、. y),由向量的数量积公式得 x2 3x+ y2= 0.易知直线l的斜率存在，设直线I的方程为y= mx,当直线I与圆C1相切时，d =2- 2,Qm2+1解得m=兔55把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2 30x+ 25= 0,解得x =53当直线I经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3, 0).又/直线I与圆G交于A, B两点，M为AB的中点，点M的轨迹C的方程为x2 3x+ y2= 0,其中3xW,其轨迹为一段圆弧.3(3)由题意知直线 L表示过定点(4, 0),斜率为k的直线,把直线L的方程代入轨迹 C的方程 x2 3x+ y2= 0,其中 |x3,化简得(k2+ 1)x2

13、(3 + 8k2)x+ 16k2 = 0,其中3x3,记 f(x) = (k2+ 1)x2 (3 + 8k2)x+ 16k2,其中3x o若直线L与曲线C只有一个交点，令f(x)= 0.当= 0时，解得k2= 16 ,即k= 3,此时方程可化为 25x2 120x+ 144= 0,即(5x 12)2解得x=乎 i|, 3 , . k= 满足条件.当少0时， 若x = 3是方程的解，则f(3) = 0? k= 0?另一根为x= 03,故在区间5, 3上有且仅 有一个根，满足题意. 若x=5是方程的解，则f 3 = 0? k=台?另外一根为x=曇，3233,故在区间 5，3上有且仅有一个根，满足题

14、意. 若x= 3和x = 3均不是方程的解，则方程在区间 3，3上有且仅有一个根，只需f 3 f(3)0?2 *52、57 k 7.故在区间3，3上有且仅有一个根，满足题意.综上所述,k的取值范围是2 221. 解：(1)f(0) = a + |a| a + a= |a|+ a0 时，2a1,得 aa,且开口向上， f(x)在(g, a)上单调递减.综上，f(x)在a, + g上单调递增，在(m, a)上单调递减.2由知 f(x)min = f(a)= a a .当 a= 2 时，f(x)min= f(2) = 2 ,x2 3x, x 支,4f(x)=2令 g(X)= x(X 0).x2 5X

15、+ 4, XV 2,x当 xV 2 时，f(x) = x2 5x+ 4, f(x)在(0 , 2)上单调递减, f(x) f(2) = 2.而 g(x) = 当 x = a 时,g(a)=在(0 , 2)上单调递增, g(x) V g(2) = 2 , x f(x)与g(x)在(0 , 2)上无交点.当 x呈时,f(x) = x2 3x ,f(x) + 4 = 0,即 x3 3 + 4= 0 , 整理得(x 2)2(x+ 1) = 0.又 T x2 , x= 2.4当a= 2时，f(x) + -有一个零点x当 a2 时，f(x)min= f(a) = a a2v 0.当 x (0 , a)时，f(0) = 2a 4 ,f(a) = a a2 ,而 g(x)= -在 x (0 , a)上单调递增.x又 a a2(a 2)(a2+ a+ 2)af(a)=aaa，如图，易得当a 2时,f(x