奥数讲义-第2讲代数⑵-希望杯教师版

1、乙第2讲T希望杯专题一一代数(二)SB方程与不等式次函数与反比例函数杂题应用题考点一：方程与不等式1. 分式方程2. 绝对值方程3. 一次不等式【例1】(第20届希望杯培训题)方程(2008-M +(-2007)2 J的解为.【解析】答案:2007或2008原方程(2008 一 x)- *6r-2007)-1 = 0,而 1 二(2008 x) +(X2007),所以(2008 一 x)s - (2008 - x) + (x - 2007)2 -(x-2007) = 0,(2008 - x) (2007切 HX- 2007) (* - 2008) = 0,即 2(x _ 2008) (% -

2、2007) = 0 ,所以兀一2008 = 0 或 x-2007 = 0 ,x = 2008 或 x 二 2007 【例2】(第20届希望杯培训题)对于实数匚，用X衣示不大于的最大整数，记匕=：一 刃已知当1WXV2时，x = ax卩厶且a, b为常数，贝% =b - 【解析】答案：1； -1由于1 = 0, (1. 5 = 0.5,所以 当 x = I 时，0 = a + b,与雙卿学习改变命运2009霍假当x = 1. 5时，05 = 15a十b,联立方程如a+b-o1.5(7 + /? = 0. 5.解得 a = 1, b = -1【例3】(第20届希望杯培训题若a + b+c = 6,

3、 2d-b + c = 3,且bHcHO,那么的最大值与最小值分别 是()A3和0 B6和二C. 3和。D. 6和02 2(第20届希望杯培训題)己知“W3, bWl, cWT.如果a卩b-c二&则abc = 【解析】(1)答案：C叶厶厶(a + b + c = 6,由题设的彳二2a-b * c = 3 + ，得 3a + 2c = 9, c=|(3-a), 因题设cMO,所以| (3-)0,解得oW3. 即a的最大值是3.又 b = 6_&_c = 6_b_3 (3_d)=凹头二)-2 2 2贝lj3 +。9 一引，la 6, a 2所以a的最小值是。.2故选(C).(2)答案:-12由题中

4、的条件可知期3 bWL, yW4f所以a + bcW8,而且当a = 3, b = 1和Y = 4中至少有个不成立时，就有a + b-c的解集为空集，则的取值范围是(2)(2007 “希望杯”试题)分式方程一+ -=J -会产生増根，则川=或r 4-1 1 r 广一 1【解析】答案：aW6解不等式3x+av0,得-纟:3解不等式 2(-1) + a0, -| + 1.由于这两个不等式组成的不等式组的解集为空集，所以这两个不等式的解集没有公共部分， 即 -，解得*6.23(2)方程丄+丄二_匸_左右两边乘以可得X + 1 1-X X、-12 (x 1)- 5 (x+1) = mm = 3x7由题

5、总可知，原方程的增根为x二1,代入可得，加二Y或加=-10【例5】(第20届希望杯培训题若正整数仆b使等式“ +(u+ % +”OOP成立,求“和b的值.2【解析】由题设等式，得( +“)(“ + b_l)= 2009_dV20092(因为3是正整数)另外，由于厶狀又可得2009 + +CWT Q 氏卜】)= (TH + 1)2 2 2由和，知(a + bM + b-1) v 2009 2t k是整数，则上式即k(k-l)k(k + 1)二 2009 VL2 2经试验 = 2, 3,4,时此式两端的值，知道应当取二63因为当&二63时，有k(k-l)氏伙 + 1)=1953 2009 0, /

6、w40 ,所以点、Pm + 3, m-4）也在第四象限.故选（D）200 财+1 尸丨北 二J网一 y 二 x + 2008cr=2008a- +1，尸帀二厂问T2008a*+l 门 ft. 2008, +1. 由 =丄 0,0 =茏二同T必然小于零,不必重复考虑.a -I-lvavl,且 qhO【例7】（1）（第20届希望杯培训题）已知次函数y = H 的自变量x的取值范圉是-3WxW6,相应的y的取值范围是-5WyW-2,那么k + b的值是或 （第16届“希望杯”初试）在式f y kx r b （r, b为常数中，当-3x0时，次函数y *x+b是递增的，当 X = 3 时.y = 5

7、;当 x = 6 时.y = -2 ,3k + b 二一5 ,代入到解析式中得 5 + b = 2解得厂亍于是k + b二土. b = -4. 当RvO时，次函数y = kx+b是递减的, 当 x = 3 时.y = -2 ;当 *6 时，y = -5,3k + b = 2, 6k + b = 5.代入到解析式中得1解得 =、3了于是P + b = _9 b二一3综上，左“的值是-11或-1233（2）由题设知的 当Ro时，y随X的增大而增大，所以当x = -3时，y二 二占 + b I； 丫 $，此时 2k-b = -3 b-19=出，辩慈的增大而减小，所以当x - -3时，y = 9;上=

8、_2 当RvO时，卅鶴, ，此时2k-b二Tb = 3当兀=1时，y = 1综上知，加7的值为-3或-7【例 8】(第 20 届希望杯培训题)Given f(x) =+ b丈 rex 十 d , if when x takes the value of itsinverse number, tlie corresponding value of /(x) is also the inverse number, and /(2)= 0 tlien c * d _ a + b【解析】答案：-4译文：已f(x) = a./ + rex十d ,如果当x取相反数时，/(兀)对应的值也为相反数，并且/(2

9、)=0,则空幺=a + bx的相反数为-x,由题目的条件得(-x)3 + c (-%) + d =-兄 +&X2 +cr+d),得到2b丈十2d = Q.x分别取0和1,得到2J = 0, 2b十2d - Q,解得b=d = 0.由/(2)= 0,得 8 + 2c = 0所以 = -4,【例9】（第20届希望杯培训题）如图25,己知厲（丽，0） （xl, 2, 3,）是直角坐标系横轴上的系列点,线段的垂直平分线交函数巧习的图象于点瓦，设点B壮到横轴的距离为/”，则厶 /1) + (5/3 -八2) + + O/2010 - /2009 = 2(V2010-l)考点三：杂题【例10】（第20届希

10、望杯培训题九张纸上各写着1到9中的个白然数（不重复，甲拿的两张纸上的数 字的和是10,乙拿的两张纸上的数字的差是1,丙拿的两张纸上的数字的积是24, 丁拿的两 张纸上的 数字的商是3,最后剩下的-张纸上的数字是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【解析】答案：C先从丁开始分析丁拿的两张纸上的数字的商是3,这两个数字一定是1和3、2和6、3和9中的对.若丁拿的两张纸上的数字是1和3,由丙拿的两张纸上的数字的积是24,可知这两个数字应是4和6.甲拿的两张纸上的数字的和是10,这两个数字应是2和8现在剰余5、7、9,都不符合乙的情况. 这种拿法舍去.若丁拿的两张纸上的数字是3和9,由丙拿的两张纸上的

11、数字的和是24,可知这两个数字应是4和6甲 拿的两张纸上的数字的和是10,这两个数字应是2和8现在剩余1、5. 7,都不符合乙的情况，这种拿 法舍去综上所述，最后剰下的纸上的数字定是7故选（C）【例11】（第20届希望杯培训题）用0、1、2三个数码组成四位数，这三个数码中的每个至少出现-次， 这样的四位数共有（）A52个B - 26个C 24个D 20个【解析】答案：C首先考虑由0, 1, 2组成的所有四位数.千位数有2种选择：1或2;百位数.十位数、个位数都各有3种选择：0, 1, 2因此，由0, 1, 2组 成的四位数共有2x3x3x3 = 54 （个）在这54个四位数中,有2个数中只出现

12、个数码：1111和2222.只出现两个数码的四位数这样计算：只出现0和1的情况千位数有1种选择：1,百位数、十位数和个位数均分别有2种选择：1, 0;还要 去却多计算的种情况：1111,所以，只出现0和1的四位数有Ix2x2x2-1 = 8-1 = 7 （个） 同样，只出现0和2的四位数也有7个.只出现1和2的情况千位数：1, 2;还要去扌卓多计算的2种情况：1111和2222,所以，只岀现1和 2的四位数有2x2x2x2-2 = 14 （个）因此，满足题总的四位数共有54 - 2 - 7 - 7-14 = 24 （个故选（C）.【例12】（第20届希望杯培训题）某人出门时看了 下家里的时钟，

13、时刻是晚上6时多，不到6点半，而且 时针与分针恰好成直角，过了 段时间后回家，再看下时钟，己经是晚上7时多.过了 7点半而且 时针与分针仍成直角，那么他岀门在外的时间是（）A. 1小时30分钟B. 1小时36分钟C 1小时型分钟D 1小时型分钟11 11【解析】答案：C设他们出门时是晚上6时。分由时钟的特点知，分针每分钟走过的角度是6。，时针每分钟走过的角 度是0.5。，所以180 + 6 = 90,2bn18011设他回来的时间是晚上7时b分，6/7-210 = 90,2解得型.11所以他出门在外的时间是1小时竺分钟.故选(C) 11考点四：应用题【例13】（第20届希望杯培训题）桶油,连桶

14、带油的质量为21千克,先用掉-半的油,再用掉剰下的连油 带桶质量的半的油,这时剩下的汕连桶的质童为6千克，则原来桶里汕的质量是千克.【解析】答案：18设桶中原来有油X千克.第-次用掉丄干克的油，剩下兰干克的油，2 2连油带桶的质量为（21-号）千克.所以扌（21号）=6,解得x = 18【例14】（第20届希望杯培训题）甲、乙两个工程队共同建设某项工 程， 入合作，完成剩下的全部工程设工程总量为单位1, 工程进度满足 如图8所示的函 数关系，那么实际完成这项工程所用的时间比由甲 单独完成这项工作所用的时间少（）A. 15 天 B. 14 天 C. 13 天 D. 12 天【解析】答案：D解1设

15、甲、乙单独完成这项工程各需X,）,夭.由题图可知，甲单独做10天，完成工程总量的丄，则4x 10 =,解得 x = 40 k 4甲、乙合作16-10 = 6 （天） 完成工程总量的丄-丄=丄，244则卩十耳6丄1兀y八将x = 40代入解得y二60.1-1 210 += 10 + 4 =28 （天，一+x y40 60比甲单独完成这项工程所用的时间少40-28 = 12 （天） 故选（D）解2如图34, Q4农示甲单独完成丄程所用的时间，根据比例关系得 10:0A = -：1,4所以OA = 40.0B衣示实际完成这项工程所用的时间，根据比例关系得（0B-10）: （1-弓所以OB = 2S.

16、因此，实际所用的时间比甲单独完成所有的时间少12天，选（D）习题1（第19届希望杯初试）初二班有48名同学，其中男同学名，将他们编成1号.2号，“号. 在寒假期间，1号给3名同学打电话，2号给4名同学打电话，3号给5名同学打电话，“号同学 给一半同学打电话.由此可知该班女同学的人数是（）A. 22 B. 24 C. 25 D. 26【解析】D习题2（第19届希望杯第试）次函数y二kx十b的图象经过点（0, 5）和B （4, 0）,则在该图象和坐标 轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有（）A - 6个B7个C8个D9个【解析】A习题3.（第19届希望杯第试）有个运算程序，可以使：当m

17、“n * （R为常数）时，得（zn + 1） H = -1, （n + 1） = k + 2 现在，已知 101 = 2,那么 2007 02007= 【解析】200702007 = 2 + （2007-1） x （-! ） + （2007-1） x2 = 2008 习题丄 （第20届希望杯培训题）已知关于工的方程兰兰+ 142,当取某些自然数时，方程的根2 8是自然数，则满足条件的“的最小值是（）A. 5B 6C. 7D. 8【解析】答案：D由题意竺一竺二142 + 4,2 8=142 + 6715x = 1136 +8 = 15x75 + 11 + 86/.x=75 + 丄2 =76 +

18、二8 15由此可知，当美于x的方程的根是自然数时，SaY是15的倍数.依次检验8-4 = 15, 30, 45,可知，符合条件的自然数a的最小值是&故选（D）.习题5. （1）（第is届“希望杯”试题）方程 一1的解是或.2 卜 + 11（2）（第18届“希望杯”试题）关于的不等式卜-” + x-2卜3的所有整数解的和是【解析】（1）： 21:丨+=8卜-3| = 3卜+1|若 xv-l,贝 H 3-x = -3 （x+1） =x = -3若一1VXS3,貝）3-x = 3 （x + 1） =x=0若兀3,則x-3 = 3 （x + 1）=兀=“3,不合题意（2） V x-1+ x-21 3A0x 20090 +庄的解集是.【解析】答x/lv 2009- 2009