13度量空间的可分性与完备性

1、1.3度量空间的可分性与完备性在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R的可分性同时，实数空间R还具有完备性，即 R中任何基本列必收敛于某实数现在我们将这些概念推广到一般度量空间.1.3.1度量空间的可分性定义1.3.1设X是度量空间，A, B X ,如果B中任意点x. B的任何邻域O(x,、J内都含 有A的点，则称A在B中稠密.若A B，通常称A是B的稠密子集.注1 : A在B中稠密并不意味着有 A二B .例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数 中稠密.无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有

2、无限多个无理数.定理1.3.1 设(X,d)是度量空间，下列命题等价：(1) A在B中稠密；(2) 一xB , xn A，使得 limd(Xn,x) =0 ;n(3) B A (其中A=AUA: A为A的闭包，A为A的导集(聚点集)；(4) 任取J. 0，有B O(x,、J .即由以A中每一点为中心为半径的开球组成的集合x0覆盖B .证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.定理1.3.2稠密集的传递性设X是度量空间，A,B,C X，若A在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中稠密.证明 由定理1.1知B二A , C二B，而B是包含B的最小闭集，所以 B二B二A，于是 有C A ,即A在C中稠密.口

3、注2：利用维尔特拉斯定理可证得定理(Weierstrass多项式逼近定理)闭区间a,b上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限.(1) 多项式函数集Pa,b在连续函数空间Ca,b中稠密.参考其它资料可知：(2) 连续函数空间Ca,b在有界可测函数集 Ba,b中稠密.有界可测函数集 Ba,b在p次幕可积函数空间Lpa,b中稠密(1乞p ：:；). 利用稠密集的传递性 定理1.3.2可得：连续函数空间Ca,b在p次幕可积函数空间Lpa,b中稠密(1乞p ：:；).因此有 Pa,b二Ca,b二 Ba,b二 Lpa, b.定义1.3.2 设X是度量空间，A二X，如果存在点列人二A,且

4、xn在A中稠密，则 称A是可分点集(或称可析点集).当X本身是可分点集时，称X是可分的度量空间.注3: X是可分的度量空间是指在X中存在一个稠密的可列子集.例1.3.1欧氏空间Rn是可分的.坐标为有理数的点组成的子集构成Rn的一个可列稠密子集.证明 设Qn =(1,2川沁)|Q,i =1,2川|小为R中的有理数点集,显然Qn是可数集,下 证Qn在Rn中稠密.对于Rn中任意一点X =(X，X2，|,Xn)，寻找Qn中的点列k，其中匚川血)，使得kx(k_. ) 由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数Xi(i =1,21 ,n),存在有理数列rkTX(kTo).于是得到中的点列 仏，其中G 皿

5、瞪川：),k=1,2,|.现证 g . x(k ).：乜 0 ,由 rk Xi (k )知，-IKi N，当 k K 时，有I rk -x I丄,i 二1,2，川,n取 K =maxKi,K2,|,Kn，当 kK 时，对于 i =1,2,川，n，都有 |k x |孚，因此吋nd （k, x）J|rkxI2即k x(kr )，从而知Qn在Rn中稠密.口例1.3.2连续函数空间Ca,b是可分的具有有理系数的多项式的全体Po a, b在Ca,b中稠密，而 巳a,b是可列集.证明 显然Ra,b是可列集.-x(t)Ca,b，由Weierstrass 多项式逼近定理知，x(t)可表示成一致收敛的多项式的极

6、限，即- ；.0，存在(实系数)多项式p (t)，使得d(x, p)=max|x (t) p；(t)|：2另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式p0(tr P0a,b，使得zd(p ；, P。)=max| p . 宀卜：2因此，d(x,p)乞d(x, p ) d(p；, p)：: ； , 即卩p(t) O(x,;)，在 Ca,b中任意点x(t)的任意邻域内必有FOa,b中的点，按照定义知Pa,b在Ca,b中稠密.口例1.3.3 p次幕可积函数空间Lpa,b是可分的.证明 由于P,a,b在Ca,b中稠密，又知Ca,b在Lpa,b中稠密，便可知可数集Poa,b在Lpa,b中稠密.口例1

7、.3.4 p次幕可和的数列空间l p是可分的.oO证明 取Eo二(1,2,m,n,0,山,0川l)Ii - Q,n N，显然Eo等价于U Qn，可知Eo可数，n=t下面证Eo在lp中稠密.qQ-X =(x,X2,l,Xn,l|l) lp，有 jx |p ：-:，因此一；0 , N N，当 n N 时，i =1COPpXi|p 巧n出12又因Q在R中稠密，对每个人(1 叮乞N )，存在r三Q，使得p|X -ri !2n , (i =1,2,3,111,N)于是得Npv I x -r lpi 12令 x(r1,r2j|,rN,0JH,0JlO E。，则N:丄.P.P 丄d(xg,x) =(jx-r

8、i |p 工 X |p) p ： () P -；i i -N +22因此Eo在lp中稠密.口例1.3.5 设X珂0,1，则离散度量空间(X,d。)是不可分的.证明 假设(X,d。)是可分的，则必有可列子集XnX在X中稠密.又知X不是可列集1所以存在X X , x*-Xn.取：，则有O(x ,6) #xdo(x,x )11 * 0(nr ),且 x Ca,b.因此 Ca,b完备.口例 1.3.10 设 X =C0,1 ,f(t), g(t)EX，定义 d(f,g)= j| f(t)g(t)|dt，那么(X,dJ 不是完备的度量空间.(注意到例1.3.9结论(X,d)完备)证明设0fn(t) =2

9、n(t -1)210 t XVp次幕可和的数列空间lpdp(x,y)1(閃= |x-y |p | jVVp次幕可积函数空间(Lpa,b,d)d(f,g)=(1L|f( t)-g(t) |p dtpVV由于有理数系数的多项式函数集F0a,b是可列的，以及F0a,b在Pa,b、Ca,b、Ba,b以及Lpa,b中稠密，可知闭区间a,b上多项式函数集Pa,b、连续函数集Ca,b、有界可测函数集Ba,b、p次幕可积函数集 Lpa,b均是可分的.前面的例子说明n维欧氏空间Rn以及p 次幕可和的数列空间lp也是可分空间，而有界数列空间丨：:和不可数集X对应的离散度量空间(X,d)是不可分的.从上面的例子及证

10、明可知，n维欧氏空间Rn是完备的度量空间，但是按照欧氏距离X =(0,1)却不是完备的；连续函数空间Ca,b是完备的度量空间，但是在积分定义的距离1di(f,g)| f (t) _g(t) |dt下，C0,1却不完备由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的.我们还可以证明p次幕可和的数列空间lp是完备的度量空间，p次幕可积函数空间Lpa,b(p _1)是完备的度量空间，有界数列空间的完 备性.通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3 所示.在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理.定理1.3.4 (闭球套定理)设(

11、X,d)是完备的度量空间，Bn=O(xn,、n)是一套闭球：B1 二 B2 二| 二 Bn 二川X Bn 如果球的半径：n 0(n：)，那么存在唯一的点证明(1)球心组成的点列Xn为X的基本列.当m n时，有Xm Bm Bn( /(召,“)，可得(2.4)d (xm , Xn ) 一 八0,取N，当nN时，使得、；n,于是当m,n . N时，有d(Xm X)_、：n ：；, 所以焉为X的基本列.(2) x的存在性.由于(X,d)是完备的度量空间，所以存在点X，使得im_Xn二x 令(2.4) 式中的mr，,可得d(x,人)兰卷即知Bn, n =1,2,3,川，因此xn三(3) x的唯一性.设还

12、存在 x ,满足y IBn，那么对于任意的n N，有人y Bn ,n=1从而 d(x,y)二d(x,xn) d(xn,y)二2、：n r 0 (n“ -)，于是 x=y .口注4:完备度量空间的另一种刻画： 设(X,d)是一度量空间，那么X是完备的当且仅当对于X中的任何一套闭球：x BnnWB1 _占2二山二Bn二山，其中Bn =O(Xn,、n)，当半径5 ；心)，必存在唯一的点大家知道lim(1)n =e，可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用.对于般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用.

13、那么是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回答.定义1.3.5 等距映射设（X,d） , （Y, 0是度量空间，如果存在映射T : X_； Y，使得-x,X2 X，有d（x , X2）=P（Tx,Tx ）则称T是X到Y上的等距映射，X与Y是等距空间（或等距同构空间）.注5:从距离的角度看两个等距的度量空间，至多是两个空间里的属性不同，是同一空间的两个不同模型另外度量空间中的元素没有运算，与（X,d）相关的数学命题，通过等距映射T,使之在（Y,中同样成立因此把等距同构的（X,d）和（Y3）可不加区别而看成同一空间.定义1.3.6完备化空间设X是一度量空间，Y是一完备的度量空间，如果Y中含有与X等距同构且在Y中稠密的子集Y，则称Y是X的一个完备化空间.定理1.3.5 （完备化空间的存在与唯一性）对于每一个度量空间 X，必存在一个完备化的度量空间Y,并且在等距同构意义下Y是唯一确定的.例 1.3.11 设 x, y R =（_：:, ：:），定义距离 d（x, y）斗 arctan x -arctan y |，试证（R, d）不是完 备的空间.证明 取点列x_R，其中Xn = n，注意limarcta