§10.7[1]Stokes公式

1、一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式 二、简单应用二、简单应用 三、小结三、小结 定定理理 设设 为为分分段段光光滑滑的的空空间间有有向向闭闭曲曲线线, , 是是以以 为为 边边界界的的分分片片光光滑滑的的有有向向曲曲面面, , 的的正正向向与与 的的侧侧 符符合合右右手手规规则则, , 函函数数 ),(zyxP, , ),(zyxQ, , ),(zyxR 在在包包含含曲曲面面 在在内内的的一一个个空空间间区区域域内内具具 有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , 则则有有公公式式 一、斯托克斯一、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P

2、dydz z Q y R )()()( RdzQdyPdx - 斯托克斯公式斯托克斯公式 证明思路证明思路 曲面积分曲面积分二重积分二重积分曲线积分曲线积分 RdzQdyPdx RQP zyx dxdydzdxdydz 便于记忆形式便于记忆形式 RdzQdyPdxds RQP zyx coscoscos 或或 .cos,cos,cos n其其中中 Stokes 公式的公式的实质实质: : 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上 的曲线积分之间的关系的曲线积分之间的关系. . 斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式 特殊情形特殊情形 ( (当当是是xo

3、y面面的的平平面面闭闭区区域域时时) ) .1 , 0 , 0cos,cos,cos n此此时时， 例例 1 1 计算曲线积分计算曲线积分 ydzxdyzdx , , 其中其中 是平面是平面1 zyx被三坐标面所截成的被三坐标面所截成的 三角形的整个边界三角形的整个边界, ,它的正向与这个三角形上侧它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则的法向量之间符合右手规则. . 二、简单的应用二、简单的应用 解解按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有 dzyxdyzdx dxdydzdxdydz 弦弦都都为为正正，的的法法向向量量的的三三个个方方向向余余由由于于 o x y z n 1 1

4、1 o x y z n 1 1 1 解解 按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有 dzyxdyzdx dxdydzdxdydz 弦弦都都为为正正，的的法法向向量量的的三三个个方方向向余余由由于于 再再由由对对称称性性知知： xy D d 3 x y o 1 xy D 1 dzyxdyzdx dxdydzdxdydz . 2 3 例例 2 2 计算曲线积分计算曲线积分 dzyxdyxzdxzy)()()( 222222 其中其中 是平面是平面 2 3 zyx 截立方体截立方体: : 10 x, , 10 y, , 10 z 的表面所得的截的表面所得的截 痕痕, ,若从若从 ox轴的正向看去轴的

5、正向看去, ,取逆时针方向取逆时针方向. . 解解 取取为为平平面面 2 3 zyx 的的上上侧侧被被 所所围围成成的的部部分分. . 则单位法向量则单位法向量 .1 , 1 , 1 3 1 n o x y z 1 1 1 解解 取取为为平平面面 2 3 zyx 的的上上侧侧被被 所所围围成成的的部部分分. . 则单位法向量则单位法向量 .1 , 1 , 1 3 1 n o x y z 1 1 1 即即, 3 1 coscoscos dS yxxzzy zyx I 222222 3 1 3 1 3 1 由由斯托克斯公式斯托克斯公式 dSzyx)( 3 4 xy D dxdy3 2 3 3 4 . 2 9 即即, 3 1 coscoscos dS yxxzzy zyx I 222222 3 1 3 1 3 1 由由斯托克斯公式斯托克斯公式 ox y 2 1 2 1 2 3 yx 2 1 yx ; 3 dxdydS ;, xy D得得投投影影 三代：三代： 二换：二换： 一投：一投： . 2 3 zyx 8 1 21 xy D S. 4 3 三、小结三、小结