质点运动学典型例题

1、求解风吹气球时气球的运动情况Vx by 增大，其气球以速率 V0 从地面上升，由于风的影响，气球的水平速度按中 b 是正的常量， y 是从地面算起的高度， 气球的运动学方程； 气球水平飘移的距离与高度的 关系； 气球沿轨道运动的切向加速度 和轨道的曲率与高度的关系。x 轴取水平向右的方向。试计算：(1)(2)(3)已知如图（地解：（1）取平面直角坐标系 x0y ， 一，令 t=0 时气球位于坐标原点 面），VyV0 ，Vx by.V0t.(1)bV0t,dxbV0tdt,dx 而 bydt对上式积分，xdx0t0 bV0tdt , 得到bV0t22）x故气球的运动学方程为： r bV0 t 2

2、 i V0tj2（2）由（ 1）和（ 2）式消去 t ，得到气球的轨道方程，即气球的水平飘移距离与高度 的关系b22V0 y .（3）气球的运动速率VVx2 Vy2b2V02t 2 V02b2 y2 V02气球的切向加速度dVb2V0tb2V0 y而由 an a2 a2 和 a 222 axa ydV x 2(ddVtx)2dV y 2(ddVty)2b2V02,可得bV02b2y 2 V02由anV2，求得V 2 （b2y2 V02）3/2 anbV02小船船头恒指向某固定点的过河情况一条笔直的河流宽度为 d，河水以恒定速度 u 流动，小船从河岸的 A点出发，为了到 达对岸的 O 点，相对于

3、河水以恒定的速率V（Vu）运动，不论小船驶向何处，它的运动方向总是指向 O点，如图一，已知 AO r0, AOP 0 ,试求：小船的运动轨迹。若 O点刚好在 A点的对面（即 AO d ），结果又如何解：选定极坐标系， 原点为 O点，极轴为 OP 。在任一时刻 t ，小船的位置为 （ r, ），小船速度的径向分量和横向分量Vr drr dt两式相除，drdtdrdt分离变量，u cosdr u sin dt得到drdru sin Vu cosdr V u cos u sin( u sVin u sinctg积分后，得到r dr r0 r( u sVin0 u sinctg)dln rr0V (l

4、n utan2ln tan20)(ln sin 0 ln sin )lntg2 V / u02tgsin(sin0 ),(sin 0 ). sintgr0 2 V /u0tg2这就是用极坐标表示的小船的轨迹方程。若 O点刚好在 A 点的对面，则 r0 d, 0代入，得d V / u r sin (tg 2)V / u求解小环对地的运动情况一细杆绕端点 O 在平面内匀角速旋转，角速度为 ，杆上一小环（可看作质点）相 对杆作匀速运动，速度为 u. 设 t 0 时小环位于杆的端点 O，求：小环的运动轨迹及小环在任意时刻的速度和加速度。解：本题采用极坐标系较为方便。取t=0 时细杆的位置为极轴，此时小

5、环位于端点O. 任意时刻 t ，小环的位置 r ut, t .这就是小环在极坐标系中的运动学方程。消去 t ，便得小环的轨迹方程：ur,式中 u 为常量， r 与 成正比， 小环的 轨迹为阿基米德螺线，如图一。在任意时刻，小环的径向速度drVr dt u,横向速度 V r d r u t,dt速度的大小 VVr2 V 2u2(r )2 u 12t2 .速度的方向指向阿基米德线的切线方向。小环的径向速度的大小不变，横向速度随 r的增大而增大。任意时刻，小环的加速度a dV d (ur0 r 0) ， dt dtr0 和 0为径向和横向的单位矢量，则dr 0udtdr 0dtdtd0 udt20r

6、rdrdtd0rrdt2u既径向加速度 a r 2 u 2 t ;横向加速度 a 2u加速度的大小为2 2 2 2a a a u 4 t尽管质点的径向速度大小不变，但径向加速度并不为零，这是横向速度方向的变 化引起的。即使 u=0, 小环停在半径上某一位置处，这一项还是有的，这就是向心加速 度。横向加速度一半是径向速度的方向改变引起的，另一半则是由半径增大造成横向 速度增大引起的，因为这里横向加速度是由径向速度和横向速度共同造成的。求解烟对船的速度当蒸汽船以 15km/h 的速度向正北方向航行时，船上的人观察到船上的烟囱里冒出的 烟飘向正东方向。过一会儿，船以 24km/h 的速度向正东方向航

7、行，船上的人则观察到烟 飘向正西北方向。若在这两次航行期间，风速的大小和方向都不变，求：2）风速。（烟对地的速度即风对 地的速度。）解：设风速为 V，则人观察到 烟的飘向速度为V烟船 V冯地 V船地由图一所示，可知V sin 15（ 1）24Vsin（1350） sin 450由（ 2），得到24cos sin .V将（ 1）代入上式，得到248sincos sin15/ sin 55 cos5 sin8sin , 得到53 1.67 ， 590即风来自西偏南 590 ，风速大小为 h.运用速度的相对性求解飞机往返一次的飞行时间一架飞机由 A 处向北飞往 B处，然后又向南飞回 A处。已知 A、

8、B 相距为 L，飞机相 对于空气的速度为 V，而空气相对于地面的速度（即风速）为u，其方向为北偏西角，求：飞机往返一次的飞行时间。V机对地V机对气V气对地 ，为了使飞机相对于地面的速度 V 的方向指向正北。飞机相对于空气的速度 V 必须北偏东 角，如图一所示。由上面的矢量式，得到Vx V sinu sin0Vy V cosu cos消去 ，得到VyV 2 u2 sin2u cos所以往程所需时间为t1 L1 Vy当飞机由 B返回 A时， V、u、V 三者的关系如图二所示。同样可得，Vx V sin u sin 0,Vy V cosu cos消去 ，得到 VyV 2 u2 sin2u cos所以

9、返程所需时间为t2LVy则所求时间可求。运用假设法判定静摩擦力和滑动摩擦力在桌上有质量为 m1 =1kg 的板，板与桌面之间的摩擦因数u1 . 板上有放有质量m2 =2kg 的物体，板与物体之间的摩擦因数2 0.25，如图一。今以水平力 F=将板从物体下抽出。问：板与物体的加速度各为多少解：当用力 F 拉动木板时，板上物体的运动有两种可能性，一是物体相对于板为静 止，另一是物体的加速度小于板的加速度，即物体的运动滞后于板的运动，板将从物体下 抽出。现分两种情况分别讨论。（1） 物体的运动滞后于板的运动的情况 物体和板的受力情况如图二所示。注意桌面给予板的摩擦力以及板与物体间的摩擦 力均为滑动摩

10、擦力。 设板的加速度为 a1 ，物体的加速度为 a 2 。列出板和物体的运动 方程：对板： F f1 f2 m1a1 ,N1 N2 m1g 0 ，f2 m2a2 ,N2 m2 g 0.又因为f11N1, f 22N2联立方程组，得F2 m2g 1（m1 m2 ）ga1, a2 2 g.m1代入数值，得 a1 0,a2 0.25g 2.45m /S2在本题的条件下， a2 a1, 这显然是不合理的。（2） 物体与板相对静止，物体与板一起运动的情况 物体与板的受力图如图三所示。这里桌面给予板的摩擦力为滑动摩擦力，而物体与 板间的摩擦力为静摩擦力。板与物体的加速度相同，设为a，列出板与物体的运动方程

11、：F f1 f 2 m1a,N1 N 2 m1g 0,f2 m2a, N2 m2g 0,又因为 f 1 1N1.联立解方程，得到F 1(m1 m2 )g a, m1 m2F1(m1 m2) gf2 m21 1 2 ,m1 m2代入数值，得到a 1.63m/S2， f2 3.26N.所求得的静摩擦力 f2小于最大静摩擦力 ( fmzx2N2 4.9N )，所以是可能实现的。由第一种情况的讨论可知， 只有 a1 a2 才能将板从物体下抽出， 根据以上计算结果， 可得F 2m2g 1(m1 m2 )g2 2 1 1 2 2 g, m1或者 F ( 1 2 )(m1 m2)g.代入数值，得到F 2.2

12、5g 22.5N.飞车走壁一杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。设演员和摩托车的总质量为M，直壁半径为 R，演员骑摩托车在直壁上以速率 V做匀速圆周螺旋运动， 每绕一周上升的距离为 h， 如图一所示，求：直壁对演员和摩托车的作用力。解：演员受到两个力的作用。一是重力G，另一个是直壁的作用力 N.把 N分解为沿直壁向上的 N1 和指向圆周 运动中心的 N 2 ，如图二所示。同样，把演员的速度V 分解为竖直向上的 V1和绕筒壁做圆周运动的水平速度 V2 ， 于是N1 Mg ,N2Ma n展开螺旋面成斜面，如图三所示， V 沿斜面向上。且有V2 V cos2R22(2 R) 2 h2代入，得到N2

13、MV 24 2 R4 2 R2 h2故圆筒壁对杂技演员的作用力大小为NN12 N 22方向与壁成角N2N1arctg4 2RV 2(4 2R2 h2 )g求解小船转向的情况一质量为 M的机动船，在进入河道弯道前 Q点处关闭发动机，以速度 V0 在静水中行 驶，设水的阻力与船速成正比。 （1）若 Q点至弯道处 P 点的距离为 L 0 ，求船行至 P 点时 的速度；（2）若船行至 P点时开动发动机，给船以 F0 的转向力， F0与速度方向的夹角为，如图一所示，求：船在该点的切向加速度以及航道的曲率半径。kV,k 为比例系数，负号解：（ 1）在 PQ的河流直道行驶中，船仅受水的阻力，表示与速度的方向相反。有牛顿运动定律，得到kVdV mdtk