误差与数据处理

1、误差与数据处理一、测量与误差1、所谓测量：就是用计量仪器对被测物理量进行量度。2、测量值：用测量仪器测定待测物理量所得的数值。3、真值：任一物理量都有它的客观大小，这个客观量称为真值。最理想的测量就是能够测得真值， 但由于测量是利用仪器， 在一定条件下通过人来完成 的，受仪器的灵敏度和分辨能力的局限性，环境的不稳定性和人的精神状态等因素的影响， 使得待测量的真值是不可测得的。4、误差： 测量值和真值之间总会存在或多或少的偏差，这种偏差就称为测量值的误差。被测量的真值为 a, 测量值为 x, 则测量误差为 我们所测得的一切数据都毫无例 外地包含一定的误差，因而误差存在于一切测量之中。5、测量的任

2、务是：（ 1）设法使测量值中的误差减到最小。（ 2）求出在测量条件下被测量的最近真值。（ 3）估计最近真值的可靠程度二、误差的分类：1、系统误差：系统误差：在同一条件下（观察方法、仪器、环境、观察者不变）多次测量同一物理 量时， 符号和绝对值保持不变的误差叫系统误差。 当条件发生变化时， 系统误差也按 律变化。系统误差反映了多次测量总体平均值偏离真值的程度。例如：用天平测量物体质量，当天平不等臂时，测出物体质量总是偏大或偏小；再例如 当我们的手表走的很慢时，测出每一天的时间总是小于 24 小时。产生系统误差的原因：（1）仪器误差：由测量仪器、装置不完善而产生的误差。（ 2） 方法误差（理论误差

3、）：由实验方法本身或理论不完善而导致的误差。（3） 环境误差：由外界环境（如光照、温度、湿度、电磁场等）影响而产生的误差。（4） 读数误差：由观察者在测量过程中的不良习惯而产生的误差。系统误差的消除：由于系统误差主要是由于仪器不完善，方法（或理论）不完善、环境影响而产生，在实验过 程中要不断积累经验，认真分析系统误差产生的原因，采取适当的措施来消除。例如：对不等臂天平，可以用交换被测物和砝码的位置，分别测出被测物质量 和 ，则待测物的质量2、偶然误差偶然误差（随机误差）：在同一条件下， 多次测量同一物理量时， 测量值总是有稍许差异而变化不定， 这种绝对值和 符号经常变化的误差称为偶然误差。偶然

4、误差的规律性：（1） 绝对值相等的正的误差和负的误差出现的机会相同。（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。（3）超出一定范围的误差基本不出现。偶然误差的消除：在一定测量条件下， 增加测量次数， 可以减小测量结果的偶然误差， 使算术平均值趋于真值。 因此，可以取算术平均值为直接测量的最近真值（最佳值）。3、绝对误差：绝对误差： 测量值 x 与被测量真值 a 之差，同被测量有相同单位，它反映了测量值 偏离真值的大小。这种有单位的误差称为绝对误差。在同一测量条件下，绝对误差可以表示一个测量结果的可靠程度；但比较不同测量结果时， 问题就出现了。例如：用米尺测量二个物体的长度时，测量值分别是

5、0.1m和 1000m,它们的绝对误差分别是 0.01m 和 1m,虽然后者的绝对误差远大于前者，但是前者的绝对误差占 测量值的 10%，而后者的绝对误差仅占测量值的 0.1%，说明后一个测量值的可靠程度远大 于前者，故绝对误差不能正确比较不同测量值的可靠性。4、相对误差：相对误差： 测量值的绝对误差与测量值之比叫相对误差。相对误差是一个比值，没 有单位，通常用百分比表示。三、直接测量结果的误差估计1、单次测量的误差估计由于有些物理量的测量精度要求不高， 或者这一物理量的误差对整体影响较小， 因而只测量 一次即可满足测量要求，此时测量误差的估计分两种情况：（1）在给定仪器误差情况下，单次测量的

6、误差取仪器误差；（ 2）在没有给出仪器误差的情况下，对连续读数的仪器，取 测量仪器最小分度值的一半作为单次测量的误差。 对非连续读数的仪器， 取测量仪器的最小 分度值作为单次测量的误差。对于其余一些特殊情况，单次测量的仪器误差示具体情况而定。例如：秒表和天平。2、多次测量的误差估计算术平均值 ：在相同测量条件下，对同一物理量独立测量 n 次的测量值 为 x1,x 2,x n, 其算术平均值为残差 ：测量值 与平均值 之差称为残差。（i=1,2,n ）标准偏差 ：需要注意的是： 测量值的标准偏差并不表示测量值的误差的实际大小， 因为测量值的偶然误 差是随机的，所以测量值的标准偏差只表示，任一测量

7、值的误差落在区域（ + 、 - ） 内的概率为 68.3%, 这就是标准偏差的统计意义。多次测量的误差 ：在充分考虑多次测量的标准偏差和仪器误差的情况下，多次测量的误差为算术平均值的标准偏差 s:（ 本教材不做要求 ）3、可疑数字的剔除一般测量的误差出现在 内的概率为 68.3%, 误差出现在 内的概率为 95.5%, 而出 现在 区间内的概率为 99.7%, 而一般我们的测量次数又不是很多，故测量值误差超出 区间的可能性及小，对误差超出 的数据可以剔除，但要在原始数据记录表格 中保留，并用红色笔做删除标记。4、测量次数的确定在基础实验中，一般测量次数为 4 10 次5、重复测量所得测量值相等

8、时误差估计重复测量的测量值相等， 此时用前面所讲的计算标准偏差公式计算的结果为零， 这并不意味不足以反映测量的偶然误差， 在这b, 测量的标准偏差为着测量中不存在偶然误差， 这是由于测量仪器精度较低， 种情况下，计算标准偏差的方法为：设仪器的最小分辨值为四、间接测量的误差传递由直接测量量代入公式计算得到的结果称为间接测量， 由于直接测量存在误差， 因此由 计算得到的间接测量量也存在误差，这就是误差传递。1、 差传递的基本公式设： x,y,z, 为独立的测量量，N为待测物理量，其函数关系为：N=f (x,y,z, )对上式进行全微分有：上式表示，当测量值 x,y,z 有微小改变 dx,dy,dz

9、 时，间接测量量 N 改变 dN ，通常误差远 小于测量值，把 dx,dy,dz,dN 看作是误差，上式就是误差传递公式了。当然上式表示的是 绝对误差。在某些情况下，计算间接测量量的相对误差较为简便，其计算公式为：以上两式就是误差传递的基本公式，其中等于号“=”后面的每一项称为绝对误差或相对误差的分误差 项； dx,dy,dz 前面的系数称为误差传递系数。可以看出，一个独立测量量的误 差对总误差的影响，不仅取决于本身误差的大小，还取决于误差传递系数。2、偶然误差的传递和合成在一般情况下， 直接测量的误差要求计算标准偏差， 而以上两式对标准偏差并不成立， 根据 误差理论，在误差传递过程中，标准偏

10、差的合成方式为：（1）绝对误差：2）相对误差：（2）常用函数的标准偏差传递公式 （a、b） 为常数函数关系误差传递公式N=ax+byN=ax-byN=axy五、测量结果的表示测量结果的误差：无论是直接测量还是间接测量其结果的误差只有一位有效数字， 测量结果有效数字的最后一位与误差位对齐。测量结果的表示：测量结果包括测量值、误差、单位三部分。其表达式为：（单位）式中 在单次测量中是算术平均值， 在多次测量中是由函数关系计算出的间接测量值； 为多次测量的误差。数值舍入规则：在基础实验中，本教材对数字的取舍一律采用四舍五入的规则。六、有效数字1、有效数字有效数字：反映被测量实际大小的数字称为有效数字

11、。一般从仪器上读出的数字均为 有效数字， 它和小数点的位置无关， 有效数字的位数是由测量仪器的精度确定的， 它是由准 确数字和最后一位有误差的数字组成。在测量时， 对于连续读数的仪器， 有效数字读到仪器最小刻度的下一位的估计值， 不论估计 值是否是“ 0 ”都应记录，不能略去。“ 0”是不是有效数字：在测量中，凡是从仪器上读出的零都是有效数字；由单位变 换得出的零均不是有效数字。单位变换时有效数字的位数保持不变。2、有效数字运算规则在有些情况下， 由于不做误差计算的要求， 在计算间接测量值时， 经常会遇到除法运算除不 尽，或者结果出现一串很长的数字， 结果保留几位有效数字最为合理呢， 有效数字运算规则 对此做了严格规定。加、减法运算：加、减运算结果的有效数字的末位，与参与运算的各数字中小数点 后位数最少者对齐。例如： 397.8+7.625-312.4198=93.0乘、除运算：乘、除运算后结果的有效数字的位数，与参与运算的各数字中有效数 字位数最少者相同。例如： 78.625 9.06 11.38=62.6乘方、开方后有效数字的位数保持不变对数运算：对数运算后，结果的真数部分不算有效数字，结果的假数的位数与首数 的位数相同。例如：七、实验数据