对数概念及其运算

1、对数概念及其运算 知识点 1 对数1. 对数的定义如果 aa 0,a 1 的b次幂等于 N，那么数 b叫做以 a为底 N 的对数，记作 logaN b, 其中a叫做对数的底数， N叫做真数。在对数函数 logaN b中， a的取值范围是a 0,且a 1 ， N 的取值范围是 N 0， b的取值范围是 b R。【注意】根据对数的定义可知（ 1）零和负数没有对数，真数为正数，即N 0（ 2）在对数中必须强调底数 a 0且 a 12. 常用对数（ 1）定义：以 10为底的对数叫做常用对数， log10 N 记做lgN。（ 2）常用对数的性质10的整数指数幂的对数就是幂的指数，即lg10n n n是整

2、数3. 自然对数（ 1）定义：以 e 2.71828 为底的对数叫做自然对数， loge N通常记为 InN 。（ 2）自然对数与常用对数之间的关系：依据对数换底公式，可以得到自然对数与 常用对数之间的关系： InN lgN lgN ，即 InN 2.303lg N 。lg e 0.43434. 指数式与对数式的互化（1）符号 logaN 既是一个数值，也是一个算式，即已知底数和在某一个指数下的幂， 求其指数的算式。对数式 logaN b的 a、 N 、 b在指数式 ab N中分别是底数、指数和幂（ 2）充分利用指数式和对数式的互换，讲述四条规则：在 loga N b中，必须 N 0 ，这是由

3、于在实数范围内，正数任何次幂都是正数， 因而 ab N 中的 N 总是正数，须强调零和负数没有对数。因为 a0 1，所以 loga1 0 。因为 a1 a,所以 log a a 1。因为 ab N ，所以 loga N b，所以 al0gaN N 。【例 1】下列说法错误的是（）（A） 负数和零没有对数（ B）任何一个指数式都可以化为对数式C）以 10为底的对数叫做常用对数（ D）以 e为底的对数叫做自然对数例 2】（ 1）把下列指数式写成对数式11 x 1 x 113x 1 ; 1 64; 11;5 2274 2 162）把下列对数式写成指数式：1 log39 2; lg 0.001 3;

4、log25知识点 2 对数的运算 对数的运算性质如果 a 0且 a 1， M 0， N 0，那么，（ 2） log a M n n log n M n R ；（3） loga M n n loga M m, n R, m 0 。m用语言文字叙述对数运算法则为两个正数的积的对数等于这两个对数的和；两个正 数的商的对数等于这两个正数的对数的差；一个正数的 n 次方的对数，等于这个正 数的对数的 n 倍。【例 3】下列各式与 lg ab 相等的是（）c例 4 】计算：3 log 2 33log2 5; 4 log5 2log5 54log52.知识点 3 换底公式1. 换底公式2. 换底公式的推论【

5、例 5】计算：1 log832; 2 log25 4 log 8 5; 3 log43 log83 log32 log9 2 ;1 1 1 log 5 2 log 7 94 log2 log3 log5 ; 5 5 72 25 3 8 5 9 1 3log5 3 log7 43【例 6】（1）已知 lg2 a,lg3 b,用a,b表示 lg 45的值；（2）已知 log18 9 a,18b 5, 用 a,b表示 log 36 45 的值。反函数的概念知识点反函数1. 定义对函数 y f x x D ，设它的值域为 A，如果对 A中任意一个值 y，在 D 中总有唯 一确定的 x值与它对应， 且满

6、足 y f x ，这样得到的 x 关于 y的函数叫做 y f x 的 反函数，记作 x f 1 y ，习惯上，自变量常用 x 来表示，而函数用 y表示，所以把 它改写为 :1y f x x A .2. 反函数存在的条件函数 y f x 存在反函数的充要条件是函数 y f x 是定义域到值域上的一一映射所 确定的函数。注意：单调函数必有反函数。3. 反函数与原函数的关系（ 1）反函数和原函数互为反函数：如果函数y f x 有反函数 y f 1 x ，那么函数y f 1x 的反函数是 y f x ，则y f x 与y f 1 x 互为反函数； （2）反函数和原函数的定义域与值域互换函数 y f x

7、反函数 y f 1 x定义域AC值域CA3）互为反函数的函数的图像间的关系函数 y f x 的图像和它的反函数 y f 1 x 的图像关于直线 y x 对称。函数 y f x 的图像与 x f 1 y 的图像是同一个函数图像。4. 求反函数的步骤1）求函数 y f x 的值域（若值域显然，解题时常略去不写）2）反解：由 y f x 写出 x 关于 y 的关系式；3）改写：在 x f 1 y 中，将 x ， y互换得到 y f 1 x ；4）标明反函数的定义域，即（ 1）中求出的值域。例 1 】下列函数没有反函数的是： y 3 x2 5; y1x2 12y 3 2x 1 2;yx2 3(x 0)

8、3x x 0A）（ B）（ C）（ D）例 2 】求下列函数的反函数：2x 11） y 2x 1（x 2）； x22） y x2 4x 1 5 x 2 ；例 3】求函数 y x2 1 x 1 的反函数 .对数概念及运算与反函数总结1、对数的运算法则（将高一级运算向低级运算转化）（ 1） log a MN loga M loga N（2）loga M loga M loga N Nn n 1（ 3） log a M n nloga M （4）loga n Mloga Mn2、一个正数的对数是由首数加尾数组成的3、几个常用的对数结论4、换底公式： loga b logc b lgb log c a lg a5、常用对数与自然对数6、对数的运算：以同底为基本要求，注意质因数分解，未知数在指数位置即为求对数7、研究反函数是否存在：从函数的单调性出发8、反函数的定义域：与原函数的值域相同，必须研究原函数值域求得9、求反函数的基本步骤，分段函数的反函数分段求得