平稳随机过程的估计—维纳滤波理论

1、第 7 章 平稳随机过程的估计维纳滤波理论上一章中讨论了信号参量的估计。 不管被估计的参量是未知的非随机参量或是随机参 量，我们都认定，它们在观测时间内是不随时间而变化的。但是，在许多实际问题中，例 如在模拟通信、雷达跟踪以及模式识别等情况中，涉及到的是对时变参量的估计问题。称 之为时变信号的估计或波形估计。即：根据观测数据(通常包括信号和噪声)对信号的波 形进行估计。从一般意义上说，噪声与信号都是随机过程。被估计的波形就是随机过程的 样本函数。因此所谓波形估计也就是随机过程的估计。在这一章中， 我们将讨论在相加噪声中对平稳随机过程的线性最小均方估计维纳滤 波理论。7.1 波形估计的概念给定两

2、个相关的随机过程 r (t)和y(t ) ，r (t )是观测波形，通常包括信号和噪声， 而 y(t) 则是表示信号。r(t) y(t) n(t)波形估计要解决的问题是， 根据在观测时间 (t1,t2)内 r (t)的取值，对 y(t )的某种函数 g(t) 进行估计。也就是说，按照最佳估计准则，对观测量 r( ), (t1,t2) 进行某种变换，以 得到对 g(t)的最佳估值 g?(t) 。b5E2RGbC线性最小均方估计具有以下特点：1以最小均方估计准则为最佳估计准则。2g(t)是 y(t) 的某种线性函数。现在，我们只考虑以下三种情况。g(t) y(t a)a 0 称这种情况为预测或外推

3、。g(t) y(t) 称这种情况为滤波或狭义滤波。 此时被估计的波形就是信号本身。 g(t) y(t a)a 0 称为内插或平滑。把以上三种情况统称为滤波 (广义滤波) 。当然， g(t)也可以是 y(t)的其它线性函数， 下面不做专门讨论。3估计值 g?(t) 是观测数据 r (t )的线性函数。在特殊条件下， r(t) y(t) ，将这种情况下的波形估计称之为纯波形估计。下面，我 们将通过几个例题来讨论纯波形估计，用以阐明波形估计的概念。 p1EanqFD例一：考虑根据信号在时刻 t时的测量值 y(t)对它在 t ( 0)时 的值 y(t ) 进行预测。我们假定， y(t) 是平稳随机过程

4、。 根据线性估计的定义， 可得到估计量与观测量之间 的关系式如下y?(t ) ay(t)(7.1-1 )138 / 22面要解决的问题，是按照最小均方误差准则求出加权系数 a 。根据 6.5 的讨论，我们知道，为了实现线性最小均方估计，必须满足下列正交条件 见式 6.5-18)E y(t ) ay(t)y(t) 07.1-2)即：误差与观测数据正交。从式( 7.1-2)可得Ry ( ) aRy(0)7.1-3)式中， Ry( ) 是信号 y(t)的自相关函数。将 a代入式( 7.1-1)，便可以得到Ry ( ) y?(t ) y(t)Ry(0)7.1-4)可见，可以用被估计过程的自相关函数来构

5、造估计量 y?(t ) 。 均方误差为ClmsE y(t ) ay(t) 2E y2(t ) 2ay(t )y(t) a2 y2(t)利用正交条件E y(t ) ay(t ) y(t ) 0代入上式，可得Clms E y(t ) ay(t)y(t )Ry (0) aRy( )Ry2 ( )Ry (0)yyRy (0)7.1-5)例二：假设条件如上例，要求用 y(t) 及其导数 y(t) 来估计 y(t ) 。 根据题意，可以写出估计量的表示式y?(t ) ay(t) by(t)7.1-6)同理，应用以下正交条件7.1-7)E y(t ) ay(t) by(t) y(t) 0E y(t ) ay

6、(t) by(t) y(t) 0考虑到139 / 22Ryy()Ryy()Ry()Ryy()Ryy()Ry()Ry( ) 0 0 可以得到系数 a、 b如下7.1-8)7.1-9)Ry ( ) aRy(0)Ry ( ) bRy(0)将上两式的 a、b 代入式( 7.1-6)，即可得到用过程自相关函数及其导数构造的估计量 y?(t ) 。均方误差为Clms E y(t ) ay(t) by(t)y(t )Ry (0) aRy ( ) bRy( )例三：最后，考虑一个内插问题。给定平稳随机信号 y(t)在时间间隔 (0,T) 的起点和 终点的观测值为 y(0) 和 y(T) ，要求用这两个值来对信

7、号在 (0,T )内任意时刻 t的取值 y(t) 进行估计。 DXDiTa9E这时， y?(t) 应具有如下形式y?(t) ay(0) by(T) t (0,T)(7.1-10)按照正交条件E y(t) ay(0) by(T) y(0) 0E y(t) ay(0) by(T) y(T) 0 可以得到以下两个方程aRy (0) bRy (T) Ry(t)(7.1-11)及aRy(T) bRy(0) Ry (T t)(7.1-12) 联立求解，便可得到系数 a 和 b7.1-13)Ry(0)Ry(t) Ry(T)Ry (T t)a 2 2Ry2(0) Ry2(T)140 / 22Ry(0)Ry(T

8、 t) Ry (t)Ry(T)b 2 2( 7.1-14)Ry2(0) Ry2 (T)从以上两式不难得出： 当t 0时，a 1，b 0 ， y?(0) y(0)；当t T 时，a 0， b 1， y?(T) y(T) 。以上结果是不言而喻的。用与以上两侧相同的方法，可以求得均方误差Clm s的表示式，读者可自己推导。7.2 维纳滤波理论7.2- 1 随着过程的线性最小均方估计在上一节中， 通过三个例题讨论了根据随机过程的有限个取样值对它本身进行估计的 问题，即纯波形估计问题。现在讨论更一般的情况：根据在时间(t1,t2) 对随机过程 r(t)的观测，对与 r(t) 相关的另一随机过程 g(t

9、)进行估计。仍讨论线性最小均方估计。 RTCrpUDG 假定 r(t)和 g(t )都具有零均值。根据线性估计的定义，不难得出在时间为t时， g(t)的估计量 g?(t) 的表示式Ng?(t) lim0 h(t, i)r( i )(7.2-1)式中， r( i)表示在 t i时， r(t)的取样值； h(t, i) 为待定的权重系数。它是 t和 i 的函数。估计量 g?(t )由随机过程的各取样 r( i )的线性组合构成。将上式写成积分形式， 5PCzVD7H则有t2g?(t)2 h(t, )r( )d(7.2-2)t1上式表示，最佳估计器是一个时变线性系统或称时变线性滤波器。在它的输入端加

10、入观测 波形 r(t)，在其输出端便得到对 g(t) 的估计量 g?(t) 。 jLBHrnAI下面，我们的任务是求使得均方误差为最小的各权重系数 h(t, i ) (或滤波器的冲 激响应 h(t, i )。根据线性最小均方估计必须满足的正交原理：误差与观测数据正交，各 权重系数必须满足下列条件 xHAQX74JNE g(t) lim0 h(t, i )r( i) r( ) 0 t1t2(7.2-3)或将上式表示为积分形式t2E g(t) t2 h(t, )r( )d r( ) 0 t1t2(7.2-4)t1又可以用相关函数将上式表示如下Rgr (t, ) t2h(t, )Rr ( , )d

11、t1t2(7.2-5)t1141 / 22可见，最佳系统的冲击响应 h(t, ) 就是上面积分方程的解。 用与 7.1 中相同的方法，可以得到均方误差为7.2-6)Clms E g(t) t h(t, )r( )d g(t)t1t2Rg(0) t2h(t, )Rrg ( ,t)dt17.2- 2 维纳滤波 以上对随机过程的线性最小均方估计作了一般性的介绍。现在，我们来讨论一种非常 重要的特殊情况： 在相加噪声中对信号波形的估计。设在观测时间(t1,t2) 内，得到的观测波形是信号和相加噪声之和 LDAYtRyKr(t) s(t) n(t)t1 t t2(7.2-7 )式中， s(t) 表示信号

12、， n(t) 表示相加噪声。要解决的问题是：根据对r(t)的观测，求出对g(t)的线性最小均方估计 g?(t) ，而 g(t) 是信号 s(t) 的线性函数。以下的讨论中，我们将 限定， g(t) s(t ) (0；0； 0 )，即只讨论滤波问题。 Zzz6ZB2L为了得到最佳估计 g?(t) ，必须通过解积分方程式 (7.2-5)求出滤波器的最佳冲激响应 h(t, ) 。我们知道， 若不做特殊假定。 求解积分方程 (7.2-5)是很困难的， 40 年代 Wiener 和 Kolmogorov 在研究这个问题时，对随机过程 r (t )和g (t )做了限制。假定 r(t)和 g(t)都 是平

13、稳随机过程，且联合平稳，解决了对平衡随机 过程的最佳滤波问题，形成了 Wiener-Kolmogorov 理论，或简称维纳( Wiener )滤波理论。下面，我们应用估计理论的 观点，来介绍维纳滤波理论。 dvzfvkwM若 r(t)和 g(t) 为联合平稳过程，这就意味着： 1观测时间从很早以前就开始了，即 t1 ； 2系统本身必须是非时变的。如果我们只考虑因果系统(或称为物理可实现系统) ，系统只能对到目前为上的过去 的数据进行处理，那么，根据上述条件，系统的输出g?(t )应为 rqyn14ZNg?(t) h(t )r( )d(7.2-8)而正交条件式( 7.2-5)则可表示为tRgr

14、(t ) h(t)Rr ()d ) t(7.2-9)令 t ， t代入上式，进行变量置换，可得Rgr( ) 0 h( )Rr ()d 0(7.2-10)式( 7.2-9)、( 7.2-10)便是通称的维纳霍夫( Wiener-Hopf )积分方程。通过求解这个积142 / 22分方程，便可得到最最滤波器的冲激响应 ho(t) 。而这个滤波器便称为维纳滤波器。 EmxvxOtO 应用式( 7.2-6)，不难写出波形估计的均方误差如下Clms Rg (0) 0 h( )Rgr ( )d( 7.2-11)设计一个最佳线性均方估计器(即维纳滤波器) ，中心的问题就是求解积分方程( 7.2-10 )以得

15、到最佳冲激响应 ho(t) ，下面，分别就不同条件来求解这个积分方程。 SixE2yXP 一、物理不可实现的维纳滤波器当我们对系统不加因果关系的限制， 即考虑非因果型滤波器 (即物理不可实现滤波器) 时，式( 7.2-9)变成Rgr (t ) h(t )Rr ()d( 7.2-12)上式相当于观测时间和冲激响应时间都包含整个的时间轴， 即 ； 。 同理，式( 7.2-10 )变成为Rgr( )h( )Rr ()d( 7.2-13)上式等号右端正是一个卷积积分。对上式等号两边做付氏变换，便很容易地得到频域的解Ggr ( ) H ( )Gr ( )(7.2-14)上式给出了物理不可实现维纳滤波器的

16、传输函数。可见，为了求 H ( ) ，只需要用到随机 过程 r(t)和 g(t) 的二价矩就够了。此时，估计的均方误差为Clms Rg(0)h( )Rgr ( )d(7.2-15)也可以将 Clms 用过程的功率谱密度来表示，为此，令z( ) Rg( ) h( )Rrg ()d(7.2-16)将上式等号两边作付氏变换，得到Z( ) Gg( ) H( )Grg ( )而1jz( ) Z( )ej d2因而得到143 / 221Clms z(0) Z( )d7.2-17)21Gg ( )Gr ( ) Ggr ( )Grg ( )2Gr ( )若被估计的波形就是信号本身， 即 g(t) s(t )

17、，且假设信号 s(t)与噪声 n(t) 不相关，于是 式( 7.2-14 )、(7.2-17 )要化简为 6ewMyirQ7.2-18)Gs ( )Gs( ) Gs ( )lms1 z(0)Gs( )Gn ( ) d Gs ( ) Gn( )7.2-19)虽然非因果滤波器是物理上不可实现的，但是，当利用计算机对信号作非实时处理而计算机的容量又是足够大时，它还是可以实现的。 kavU42VR二、物理可实现的维纳滤波器现在，我们再回到解积分方程式( 7.2-9)上面来Rgr (t ) h(t )Rr ()d t(7.2-9)当观测波形 r(t) 为白噪声过程时，有Rr ( ) ( )将 Rr (

18、) 代入式( 7.2-9 )，利用 函数的积分性质，可以很容易地求解出最佳滤波器的冲激响应为h(t ) Rgr (t ) t( 7.2-20)令 t ，代入上式做变量置换，得h( ) Rgr ( ) 0( 7.2-21)将上式变换到频率域，对上式等号两边做复付氏变换，可以得到最佳滤波器的传输函数为7.2-22)H ( ) Ggr ( )上式中， Ggr( )是随机过程 g(t)和r(t)的互谱密度， 而Ggr( ) 则表示 Ggr( )的物理可实现部分，即极点分布在上半平面的那部分Ggr ( ) 。因为对于稳定的困果系统。其冲激响应 h(t)(h(t) 0,t 0 )的复付氏变换的极点一定分布

19、在平面的上半平面。 y6v3ALoS144 / 22若对式( 7.2-21 )等式两边作拉氏变换，则可得到7.2-22)H(s) Ggr (s)同样， Ggr (s) 表示 Ggr(s) 的物理可实现部分， 它的极点都分布在 s平面的左半平面内。当观测波形 r(t) 是非白随机过程时，求解 Wiener-Hopf 积分方程就比较麻烦。可以用 不同的方法求解。我们将介绍一种常用的方法白化处理法。 M2ub6vST类似于处理在色噪声中的匹配滤波器那样，所谓白化处理方法，就是先用一个白化滤波器 H1( )对观测波形 r(t)作白化处理将它变换成白噪声过程 W (t) ；然后再将 W(t) 输 入到对

20、白过程的最佳滤波器 H 2( ) 。以得到对 g(t)的线性最小均方估计 g?(t) 。其方框图 如下图所示： 0YujCfmU图 7.2-1 白化处理法 当r(t)的谱密度 Gr ( )为 的有理函数时，应用谱分解定理。总可以将它分解成两 项之积Gr ( ) Gr ( ) Gr ( )( 7.2-23)其中， Gr ( ) 的所有零点和极点都分布在 的上半平面； Gr ( ) 的所有零点和极点都分 布在 的下半平面， 为复频率 j ， 和 为实变量，并且有 eUts8ZQVGr ( ) Gr ( )( 7.2-24)其中， 表示复共轭，及2Gr ( ) Gr ( )(7.2-25)在图 7.

21、2-1 中，选择1H 1( )( 7.2-26 )1Gr ( )2于是， GW( ) Gr( )H1( ) 2 1，故 W (t)为白噪声过程。下面来确定 H2( ) 。应用式( 7.2-22)， H2( )应当等于H 2( ) Ggw ( )(7.2-27)145 / 22式中， Ggw( )表示 g(t )与白过程 W(t) 的互谱密度。因为Rgw( ) Eg(t )W(t) Eg(t ) h1( )r(t )d h1( )Rgr ()d对上式等号两边作付氏变换，可以得到Ggw( )h1( )Rgr ()e j d dh1( )ej dRgr ()e j ( )dH1 ( )Ggr( )G

22、gr ( )Gr ( )于是，滤波器的总传输函数为1 Ggr ( )H ( ) H 1 ( )H 2( ) gr( 7.2-28)1 2 Gr ( ) Gr )上式给出了在输入波形为非白过程条件下，物理可实现维纳滤波器的传输函数。类似地，若应用拉氏变换，则可得到系统的传输函数为H(s)1Ggr (s)Gr (s) Gr (s)7.2-28)以及Gr (s) Gr (s)Gr (s)而 Ggr (s) 则表示物理可实现部分，即极点分布在s平面左半平面的那部分。Gr (s)需要提醒一下， 在利用白化法处理色噪声中的匹配滤波问题与处理色过程中的维纳滤 波问题时，应当注意二者的差别。前者的白化滤波器，

23、只是对输入波形r(t)中的噪声 n(t)进行白化处理；而后者是对整修输入过程 r(t) 进行白化处理。 sQsAEJkW7.2- 3 举例例一：若观测波形 r(t) 为r(t) s(t) n(t)146 / 22其中， s(t )是平稳随机信号，具有有理功率谱密度Gs (s)1Gs (s)21sn(t) 是相加白噪声，功率谱密度为1 N0 。又设信号与噪声不相关。要求设计2的物理可实现线性最小均方估计器。解：由于信号与噪声不相关，故可得到r(t) 的谱密度为1Gr (s) Gs(s) Gn (s) Gs(s) 1 N02( 7.2-29)个对信号7.2-30)由于现在的 g(t) s(t)，H

24、(s) 1Ggr (s)Gr (s) Gr (s)7.2-28)所以代入( 7.2-28 )，有Ggr (s) Gsr (s) Gs (s)H(s) 1Gs(s)Gr (s) Gr (s) Gr (s)1 12N01 Gr (s) 2 1 Gr (s) rGr (s)1N0 N0 Gs (s)0 0s 2 2 Gr (s)1 2N0 2 Gr (s) Gr (s)7.2-31)将 Gr (s) 进行谱分解Gr (s) Gs(s) 21N011 N0 /2 s N0 /2111s2 12N01 N0 /2 s N0 /2所以，有1s1sGr (s) 1 N0 /2 s N0 /21s1 N0 /

25、2 s N0 /2 Gr (s)7.2-32)1s将式( 7.2-32 )代入( 7.2-31)，便可得到最佳传输函数147 / 22根据式( 7.2-28)。有1s1s1 N0 /2 s N0/2 1 N0 /2 s N0 /2N0 /2 11 N0 /2 s N0/21sN021 N0 /2 N0 /21 N0 /2 s N0 /2取物理可实现部分，可得1sH(s) 1 1 N0 /2 s N0 /2N021 s 1s 1 2/N01 2/N0 1 s 1 2/N07.2-33)例二：输入为信号与相加噪声之和r(t) s(t) n(t)s(t) 为平稳随机信号，零均值，相关函数为Rs( )

26、7 e /212功率谱密度 Gs(s) 为Gs(s)7/3 4s 1 噪声 n(t) 也是平稳过程，零均值，具有功率谱密度Gn(s)5/3 Gn(s)2s1并设信号与噪声不相关。1求滤波器的最佳传输函数H(s)据题意， g(t) s(t )，所以有 Ggr(s) Gsr(s)e s 。利用信号与噪声不相关，可Ggr(s) Gsr ( s)e s7/3s4s2 1e7.2-34)所以，有7/3Gr (s) Gs(s) Gn(s)4s2 1148 / 229s2 45/32 2 2 s2 1 ( 4s2 1)( s2 1)Gr (s)(3s 2)(2s 1)(s 1)Gr (s)( 3s 2)(

27、2s 1)( s 1)7.2-35)将式（ 7.2-34）、（ 7.2-35）代入（ 7.2-28），可以得到波器的传输函数为H(s)(2s 1)(s1)es7/3( 2s 1)( s1)3s 24s2 1( 3s 2)(2s 1)(s1)es11/33s 2 e 2s 1 3s 2令1 1/3 K(s)2s 1 3s 2 于是7.2-36)1/2e /2t 0K(t) 2 /31/9e2 /3t 0所以，有1/2e (t )/ 20,t 07.2-37)K(t ) 1/9e2(t ) /30,0 t1/2e (t )/ 2 0,t可得2s 1K(s)e s12s 17.2-38)1 e2 /

28、3 eses3 3s 22(s 1/2)H(s)(2s 1)(s 1)3s 2K(s)e s7.2-39)2确定最小均方误差根据式( 7.2-11)，有7.2-40)Clms Rg(0) 0 h( )Rgr( )dRs(0) 0 h( )Rsr()d149 / 22上式中的第一项 Rs(0)为 Rs(0) 7 /12 ，式中的第二项积分是的函数，F( ) h( )Rsr()d不难证明2 F( ) 0 K 2(t)dt记为 F( )( 7.2-41)( 7.2-42)将式( 7.2-36)给出的 K(t) 代入上式，可以得到7.2-43)F( ) 147而 Clms 172 F( )。1108(

29、1 e4 / 3图 7.2-2 中画出了以上各函数的曲线150 / 22151 / 22图 7.2-27.3 离散系统的维纳滤波器本节讨论观测数据和信号都是离散时间序列的维纳滤波问题。这时输入序列为r(k) s(k) n(k)k 1,2,上式中， r (k) r ( t k ) ，表示在时间 t t k时的观测值， 它可以是对连续波形 r(t)在t tk时152 / 22的取样值， 也可以是在 t tk接收到的离散数据等等。 同样， s(k) 、n(k ) 分别表示在 t tk 时信号与噪声的取值。设在观测时间(tk1,tk2) 内共有 N个观测量，而且各个观测量之间的时间间隔相等，即 GMs

30、IasNXtk tk 1t为常数k k1,k2 N t tk2 tk1现在，要求根据在 (tk1,tk2)内得到的观测数据 r(k)k k1,k2，对 g(k)进行估计。 而g(t) 是信号 s(t) 的线性函数。由于我们求的是线性最小均方估计，根据定义可以写出估计量 g?(k) 的表示式为k2g?(k) h(k,j)r(j)(7.3-1)j k1根据正交原理，有k2Eg(k) h(k,j)r(j)r(l) 0 l k1,k2(7.2-2)j k1于是可以得到k2Rgr(k,l)h(k,j)Rr(j,l)l k1,k2(7.3-3)Rr(j,l)是 r(k)的j k1上式中， Rgr(k,l)

31、是g(k) 与r ( k)的离散互相关函数， 或称互相关序列。离散自相关函数，或称自相关序列，式(7.3-3 )则是积分方程( 7.2-5)的离散形式。通过求解这个积分方程，便可求出权重系数 h(k, j) 来，它就是离散系统的最佳单位取样响应 ( Unit-Sample Response)。 TIrRGchY与讨论连续系统时相同，我们知道，一般地说，求解积分方程(7.3-3)是很困难的。下面，将只讨论在某些特殊条件下的解。 7EqZcWLZ假定： r(k)与 g(k)联合平稳，而且观测区间为半无限的，这就是说，我们限定讨论 非时变因果系统。 (至于非因果系统，可以看做一种特例，不再讨论，于是

32、，式(7.3-3)变成为如下形式 lzq7IGf0kRgr(k l) h(k j)Rr(j l)1 ,k7.3-4)153 / 22令n k l，m k j 代入上式做变量置换，可以得到Rgr (n)h(m)Rr (n m) n 0, (7.3-5)m0与式( 7.2-10)比较，可以看出，上式就是离散形式的 Wiener-Hopf 方程。我们可以用求解 方程( 7.2-10 )的类似方法，来求解式( 7.3-5)，以得到离散维纳滤波器的单位取样响应。 下面，我们将分别就两种情况来讨论维纳滤波器的频域解。 zvpgeqJ17.3- 1 物理可实现维纳滤波器的频域解1观测序列 r(k) 为白色随

33、机序列这时，我们有Rr (n m) nm(7.3-6)将( 7.3-6)代入( 7.3-5)，可以很容易地解出h(n) Rgr (n)n 0, (7.3-7 )对上式等号两边进行 z 变换，便可得到系统的传输函数为H(z) Ggr (z)(7.3-8)式中， Ggr (z) 表示互谱序列 Ggr(z) 的物理可实现部分。 它是互相关序列 Rgr(n) 物理可实现部分的 z 变换。它的全部极点应落入单位园之内。 NrpoJac32输入观测序列 r(k) 为非白随机序列对于这种情况， 我们采用在 7.2-2 中介绍的白化处理方法， 先将 r(k) 通过白化滤波器， 变换成白序列 W (k ) ，然

34、后再将 W (k)通过第二个滤波器 (最佳滤波器) 。便可得到 g(k)的 线性最小均方估计 g?(k) 。其方框图如下所示 1nowfTG4图 7.3-1类似于 7.2-2 中的方法，应用谱分解定理，将 Gr(z) 分解为Gr (z) Gr (z)Gr (z)式中， Gr (z) 的零极点都落在单位园之内， Gr (z) 的零极点都落在单位园之内，并且有1Gr (z) Gr (z)Gr (z 1)于是，可以得到白化滤波器的传输函数为154 / 22H1(z)Gr (z)7.3-9)而 W(k) 为白序列。从而将问题转化为求输入为平稳白序列的维纳滤波问题。根据式 (7.3-8)，可以求得 H2

35、(z) 为H 2(z) G gw ( z)其中， G gw ( z)为序列 g(k) 与白序列 W (k )的互谱，而 Ggw(z) 表示该互谱的物理可实 现部分。仿照 7.2-2 中的分析方法，可以得到7.3-10)GgW(z) H1(z 1) Ggr(z) GGgr(zz)Gr (z)于是，滤波器的总传输函数 H(z) 为H(z) H1(z)H 2(z)1Ggr (z)Gr (z) Gr (z)7.3-11)上式给出了输入为非白随机序列时，物理可实现离散维纳滤波器的传输函数表示式7.3- 2 用递推方法实现维纳滤波在 7.3-1 中，给出了物理可实现维纳滤波器的频域结果。现在，我们来讨论如

36、何根据 上述结果，在时间域应用递推方法实现维纳滤波。 fjnFLDa5若输入的观测序列为r(k) s(k) n(k) k 1,2,或写成rk sk nkk 1,2,( 7.3-12)式中， sk 、 nk分别代表信号和相加噪声序列。待估计波形为gk sk D。D可以大于、等于、或小于 0；分别对应于外推、滤波和内插。我们假定：nk 为平稳正交序列，具有方差 n2 ； sk 与 nk 正交； rk 与sk平稳、且联合平稳。 tfnNhnE6 下面要解决的问题是，如何根据式( 7.3-11)，求出实现维纳滤波器的递推方法。 先看序列 rk 的自相关函数 Rr( )Rr ( )E rk rkE(sk

37、nk)(sknk)Rs()n2( )(7.3-13)对上式等号两边作 z变换，可以得到谱密度 Gr (z)的表示式如下155 / 22Gr (z)Rr()zRs( )n2( )zRs()zn2(7.3-14)若信号 sk 的自相关函数为非周期性函数，而且为有限长序列(用2N 表示它的长度)便可以将式( 7.3-14 )表示成如下形式 HbmVN777NGr (z)Rs( )zn2Nd N z N d N 1z N 1d 1z 1 d0( 7.3-15)N 1 Nd1zdN 1zdN z式中dk Rs(k) k N,N k 0(7.3-16)7.3-17)d0 Rs(0)n2考虑到平稳随机过程的

38、自相关函数的对称性，我们有dk d k( 7.3-18)很明显，多项式( 7.3-15)中的各项系数由信号的自相关函数以及噪声的方差确定，它们 都是已知的。下面，再求滤波器输出序列 g?k 与输入观测序列 rr的互谱密度 Gg?r (z) 。为此，先 求互相关序列 Rg?r( ) 。根据线性最小均方估计必须满足的正交条件E g?(k ) g(k )r(k) 0可以得到Eg?(k )r(k) Eg(k )r(k)或 Rg?r ( ) Rgr ( )( 7.3-19)应用前面给定的条件g(k) s(k D)可以得到Rgr ( )EgkrkEskD(sknk)Rs(D)( 7.3-20)于是156

39、/ 22NGgr (z) zDGs(z) zDRsz( 7.3-21)N将上式展开，可以得到一个多项式如下N D N 1 DGg?r ( z) d N z N D d N 1z N 1 D d D( 7.3-22) d0zDdN 1zN 1 D dN zN D上式中的各项系数则完全由信号的自相关函数确定dk Rs(k)k N,N当随机序列 r k具有理谱密度时。 我们可以应用谱分解定量， 将Gr ( z)表示成典型的分 解因式形式21Gr (z) Gr (z)Gr (z)2B(z)(z 1)(7.3-23)式中B(z) (1 1z)(1 2z) (1 N z) 1 b1z b2z2bN zN(7.3-24)7.3-25)1 b1z 1 b2z 2bN z NB(z 1) (1 1z 1)(1 2z 1) (1 Nz N)各项系数 2 、 b1, b2 ,b3, ,bN 则由式( 7.3-15)的各项系数 d0,d1, d N来确定。 应用式( 7.3-11)，便可以得到滤波器的传输函数为H(z)1Ggr (z)Gr (z) Gr (z)1 Ggr (z)2B(z) B(z 1)7.3-26)现在，我们来看上式中的Ggr ( 1z) 项，它是 Ggr ( 1z)的物理可实现部分。将式B(z 1) B(z 1)7.3- 22)、(7.3-25)代入