牛顿力学形式和相对论力学的协变性

1、教学讨论牛顿力学形式和相对论力学的协变性李子军1 ,李根全2 ,白旭芳2(1. 烟台大学 光电学院 ,山东 烟台 264005 ;2. 内蒙古民族大学 物理系 ,内蒙古 通辽 028043)摘要 :指出若将能量 (包括动能) 、动量都理解为相对论中的能量和动量 ,则牛顿力学中的功能原理 、动能定理 、动量定理 、牛顿运动定律及力对物体所作的功率 、能量 - 动量守恒定律及其守恒条件在相对论中都是协变的. 并给 出了它们的协变形式 .关键词 :功能原理 ;动能定理 ;动量定理 ;牛顿运动定律 ;能量 - 动量守恒定律 ;协变中图分类号 :O 412文献标识码 :A文章编号 :100020712

2、(2002) 0620022202则式 (2) 可写为Kd x = 0众所周知 ,牛顿运动定律对于伽利略变换是协变的 ,但对于洛伦兹变换不是协变的 . 因此 , 在相对论中 人们修改了该定律的内容 ,使之既能满足相对论协变 性的要求 ,又能在低速时过渡为牛顿运动定律 1 . 在经 典范围内 ,以牛顿运动定律为基础建立起了牛顿的力 学理论体系 . 人们自然会考虑这样的问题 :牛顿的力学 理论体系 在 相 对 论 范 围 内 是 否 也 可 以 修 改 为 协 变 形 式 ? 若可以 ,应进 行 怎 样 的 修 改 ? 其 形 式 为 何 ? 本 文 对此作些讨论.(= 1 ,2 ,3 ,4)(5

3、)式 (5) 显然是协变的. 式 (3) 中的 W 是物体在相对论中的能量 . 可见 ,若把式 (1) 中物体的能量理解为相对论 中的能量 ,则牛顿力学中的功能原理式 (1) 在相对论中 就是协变的 ,其协变形式如式 (5) 所示.2 动能定理的协变形式在牛顿力学中 ,若物体受力 F 作用而以速度v 运动 ,则其动能 T 的增加率为1 功能原理的协变形式Fv = d T(6)d t若把式 (6) 中的 T 理解为相对论中的动能 ,则有在牛顿力学中 ,功能原理的表述为Fd r = d W(1)2T = W - m0 c(7)式中 F 是物体所受的作用力 ,d r 是物体在力 F 作用下发生的位移

4、 ,d W 是物体受力作用发生位移而得到的能 量的增量 . 式 (1) 表明 ,力对物体所作的功等于物体能 量的增量 . 式 (1) 又可写为式 (7) 中 , W 是物体在相对论中的总能量 , m0 是物体的2静质量 , m0 c 是物体的静能量 . 对于一个确定的物体 ,其静能不随时间和坐标系而变 ,是一标量 . 因此有(8)d T = d W将式 (8) 代入式 (6) 可得i d WFd r1id W d (i ct) = 0 (2)+c d t1 - v2c21 - v2c2式中 v 是物体运动的速度 , c 是真空中光速 . 利用四维力矢量 K 和四维位移矢量 d x 的表式 :

5、Fv c d t (9)1 - v2c2 + 1 - v2c2i c = 0K = 1 F , i d W利用式 (3) 和四维速度矢量 U 的表式 :(= 1 ,2 ,3 ,4)(3)c d t1 - v2c21( v ,i c) (= 1 ,2 ,3 ,4)U =(10)d x = d r ,d (i ct) (= 1 ,2 ,3 ,4)(4)1 - v2c2收稿日期 :2001 - 05 - 30作者简介 :李子军 (1957 ) ,男 ,辽宁朝阳人 ,烟台大学光电学院教授 ,主要从事物理教学研究和凝聚态光学性质的研究.第 6 期李子军等 :牛顿力学形式和相对论力学的协变性23则式 (9

6、) 可写为 i Fv i Wdcc(= 1 ,2 ,3 ,4)KU = 0(11)(23)=d1 - v2c2式 (11) 显然为协变的 ,所以若将式 (6) 中物体的动能理解为相对论中的动能 ,则牛顿力学中的动能定理式 (6)在相对论中就是协变的 ,其协变形式如式 (11) 所示.由式 (17) 和 (18) ,式 (22) 和 (23) 可合写为d p(= 1 ,2 ,3 ,4)(24)K = d式 (24) 正是相对论力学基本方程式 ,是协变的 . 所以若将式 (20) 和 (21) 中的物体的动量和能量都视为相对论 中 的 动 量 和 能 量 , 则 牛 顿 力 学 中 的 牛 顿 运

7、 动 定 律 式 (20) 和力对物体所作的功率式 ( 21) 就都是协变的 , 其 协变形式如式 (24) 所示.3 动量定理的协变形式牛顿力学中 ,力对物体的冲量的增量 d p ,此关系即为动量定理 :Fd t = d pFd t 等于物体动量(12)将式 (8) 代入式 (6) ,则动能定理又可写为Fvd t = d W5能量 - 动量守恒定律的协变形式(13)利用时间 延 缓 , 可 给 出 t 与 固 有 时 之 间 的 微 分 关系 2 :在牛顿力学中 ,能量 、动量守恒定律分别为 :d W = 0(25) d t 1 d t(14)d=1 - v2c2d p = 0(26)d t

8、由式 (14) ,式 (25) 和 (26) 又可分别写为 :由式 (14) ,式 (12) 和 (13) 可分别写为 :Fd(15)= d p1 - v2c2i Wdc(27) i = 0c Fvd di W(16)= dd p = 0c1 - v2c2(28)d利用式 (17) ,式 (27) 和 (28) 可合写为根据四维动量 p 和四维力矢量 K 的另一表示p , i W(= 1 ,2 ,3 ,4)(17)p =d p = 0 (= 1 ,2 ,3 ,4)c(29)d t1F , i(= 1 ,2 ,3 ,4)K =Fv式 (29) 是协变的. 可见 ,若将式 (25) 和 (26)

9、中物体的能量和动量都视为相对论中的能量和动量 ,则牛顿力学 中的能量 、动量守恒定律式 ( 25) 和 ( 26) 就都是协变的 , 其协变形式如式 (29) 所示.由式 (20) 和 (21) 可知 ,若式 ( 25) 和 ( 26) 成立 ,则 F= 0 , Fv = 0. 所 以 由 式 ( 18) 可 得 : 若 式 ( 25) 和 ( 26) 成 立 ,则必有c1 - v2c2(18)则式 (15) 和 (16) 可合写为Kd= d p(= 1 ,2 ,3 ,4)(19)式 (19) 是协变的 . 所以若将物体的动能和动量都视为相对论中的动能和动量 ,则牛顿力学中的动能定理式 (13

10、) 和动量定理式 ( 12) 就都是协变的 , 其协变形式如 式 (19) 所示.(= 1 ,2 ,3 ,4)(30)K = 0式 (30) 即为能量 - 动量守恒定律式 ( 29) 成立的条件 ,该条件也是协变的 .综上 ,在我们所讨论的范围内 ,若将牛顿力学表达 式中的能 量 和 动 量 分 别 理 解 为 相 对 论 中 的 能 量 和 动 量 ,则牛顿力学中的一些表式在相对论中就是协变的 .4 牛顿运动定律的协变形式牛顿力学中 ,牛顿运动定律为F = d p(20)d t力 F 对物体所作的功率为Fv = d W参考文献 :(21)d t由式 (14) ,式 (20) 和 (21) 又

11、可写为 :1郭硕鸿. 电动力学M .261 .郭硕鸿. 电动力学M.北京 : 人民教育出版社 ,1979 . 252 F = d p2北京 :人民教育出版社 ,1979 . 226 .( 下转 39 页)(22)d1 - v2c2(10 - 12 A) . 图 7 实测的平均峰距为 4. 91 V ( 汞第一电离能为 4. 9 eV) ,测量准确度较高 .参考文献 :1宋建国. AVR 单片机原理与应用 M . 北京 : 北京航空航天大学出版社 ,1999 . 6 .赵保真 ,崔忠勤. 简明集成运算放大器手册 M . 北京 : 中 国科学出版社 ,1989 . 348 .吴思诚 ,王祖铨. 近

12、代物理实验 M . 第 2 版. 北京 : 北京 大学出版社 ,1999 . 33 .曾大鑫. 高性能直流稳压电源 M . 北京 : 水利电力出版 社 ,1989 . 97 .234图 7 IA U GK实验曲线An intelligent mea suring instrument f or Franck2 Hertz experimentCHEN Guo2jie ,XU Zhi2min ,ZHU Xing( School of Science ,Foshan University ,Foshan , Guangdong ,528000 ,China)Abstract : An intell

13、igent measuring instrument for Franck2Hertz experiment is developed by using AT90S8535 microcontroller ,which is able to measure weak current of 10 - 9 A to 10 - 12 A ,provide a programmable lin2 ear regulated power supply from 0 to 50 V ,fuzzily control temperature ,display Chinese2English characte

14、rs and curves by graphic LCD ,also print curves and data . This instrument has advantages of fast measurement , high precision ,small size ,low cost as well as easy operation.Key words : intelligent measuring instrument ;microcontroller ;LCD display ; Franck2Hertz experiment( 上接 23 页)The f orm of Ne

15、 wtons mechanics and the covarianceof relativistic mechanicsL I Zi2jun1 , L I Gen2quan2 , BAI Xu2fang2(1. Institute of Science and Technology for Opto2Electronic Information , Yantai University , Yantai , Shandong , 264005 , China ;2. Department of Physics , Inner Mongolia University for Nationaliti

16、es , Tongliao , Inner Mongolia , 028043 , China)Abstract : It is pointed out that the work energy principle , the kinetic energy theorem , the momentum theorem , the Newtons law , the power of force , the law of conservation of energy2momentum and the conserva2tive condition in the classical mechanics are all covariant in the theory of relativity if energy(including kinetic energ