粘性流体力学

1、 内容简介 本教材讲述粘性流体力学的一些基本原理，着重介绍附面层理论。它可作为空气动力学专业“粘性流体力学课程的教材。读者对象主要是空气动力学专业的高年级学生，但也可供各流体力学类专业的学生、研究生和从事这方面工作的有关人员作教材或参考书。前 言 此书是为西工大飞机系设计专业“粘性流体力学”课程编写的教材。书中主要讲述粘性流体力学的一些基本原理，着重介绍附面层理论。学生在学习本课程之前，应具备高等数学及工程数学和理想流体力学等基本知识。教材主要读者对象是空气动力学专业的高年级学生，也可供各流体力学类专业的学生、研究生和从事这方面工作的有关人员作教材或参考书。 教材内容主要是在张仲寅乔志德教授主

2、编的粘性流体力学一书的基础上形成的,保持了原书的风貌,并考虑到不同程度学习过程的兼容。文体排列上强调了与学习者的交流,趣味性和易读性,尽可能使得读者以一种清楚、生动、直接的方式了解粘性流体力学的基本规律和它的现代发展。为了便于自学, 也为了使得内容较易接受,宁可多将一些篇幅用于基本内容, 对基本的思考方法增加了详细的说明；多媒体的采用是由于本书要在极度缩短的学时数内让学习者提起学习的兴趣并掌握尽量多内容。在增加了需要演示的插图和录像的基础上,还用电子多媒体对基本理论进行描述,附带光盘内有试验的录像及程序；本教材第三个特点是采用了带有人工智能的数学机械化软件进行公式推导和算例练习的实践环节,这是

3、因为粘性流体力学应用性很强,而一般的数值解都花费很多时间,由于推理软件而节约了时间.另外还精选了一部分附加的内容,作为进一步有条件下加深学习的引导和对解决粘性有关的实际工程问题时的参考.这一部分内容用*号在目录中注出.。比如粘性应力和应变率的关系,附面层转捩问题以及湍流附面层的实用计算方法和CFD等.为了便于读者深入探讨,最后还附有参考资料。书中所附的光盘载有数学机械化软件,以及一部分计算和证明的例题和提示。 第一章 绪论 11 流体的粘性实际流体都是有粘性的。不过有的大，有的小。空气和水的粘性都不大，在日常生活中，人们不理会它的作用。但如果注意观察一下的话，还是可以看到它的作用的。譬如我们搅

4、一下杯子里的蜂蜜,就会感到筷子上受到一种粘稠液体作用的力,这就是粘性力；看看河里的流水，观察水面上漂浮的草叶等物的速度差别可以发现靠岸处的水流就比河中心的水流慢些，是这时典型的粘性影响。现在我们来考虑一个能突出表现空气粘性的实验。假设有一股直匀气流(气流是直线的，速度是均一的u)，在气流里顺着气流放置一块无限薄的平板，如图1-1。用尺寸十分小的测量风速的仪器，去测量平板附近沿平板的法线气流速度的分布情况。结果速度的分布就象图1-1所画的样子。气流在没有流到平板以前原是均一的，一流到平板上，直接贴着板面的那层气流，其速度就降为零了，沿法线往外走，气流速度逐渐由零一点点变大起来，要到离平板相当远的

5、地方，流速才和原来v没有显著的差别。 速度有这样的下降变化正是气体的粘性的表现。粘性使直接挨着板面的一层气体完全贴着在板面上，和板面没有一点相对速度，这也就是所谓的无滑动情况。稍外的一层气体受到气体层与气体层之间的摩擦作用，被紧挨板面的那层气体所牵制，速度也在下降,到了接近于零，不过由于它并不紧挨板面，这层气体多少有些速度。粘性的拖曳作用是这样的一层层向外传开去的，离板面越远的，受到的牵扯作用越小。在n方向要离板面多么远这种牵扯作用才完全没有了呢?严格说来，要到无限远处才能真正没有影响。不过如果V相当大的话(譬如有普通飞机的飞行速度那么大)，同时流体粘性又不太大(空气的粘性就不大)的话，这个没

6、有显著影响的距离也并不是很大的。如板长以米计，这个没有显著影响的距离是以毫米计的。 上面的事实说明，凡有粘性作用的地方，各层气流的速度就不是均一的了，速度是离扳面的距离n的函数， u = f(n) (1-1)相邻两层的气流速度有差别(即du/dn0)，二者之间必有摩擦力在作用。单位面积上的摩擦力称摩擦应力，记为t。这个力对于较快的那一层气体说来是一个反对流动的拖扯的力，这是较慢的邻层对它的拖扯力，反过来对于下层速度较慢的气流来说，这个力是一个顺流向向前拉的力，这是上层速度较快的邻层气流对它的拉力。参看图1-1。当然紧挨板面的那层气流对板面也有这样一个摩擦力在作用，这就是板面上的摩擦力，对板面而

7、言，它的指向是和n一致的 如果空气不动,平板以V向左运动(图1-4中的左向)，那末作用在板面上的这个摩擦力的指向便是向右的,是阻碍板面向左运动的，称为摩擦阻力。牛顿曾经对流体内部的摩擦应力t和速度梯度的关系作过研究,他提出摩擦应力和速度梯度的关系为：比例常数记为m： (l-2) 上式称为牛顿粘性定律。 m称为粘性系数，它的量纲是(牛秒米2)或(公斤/米秒)。不同的介质m值各不相同，同一种介质的m值则随温度而变化，m值和压强基本无关。空气的粘性系数是随着温度而变化的，这是因为气流各层之间的摩擦力的本质是由于气体的分子不停顿地进行着不规则的热运动的而导致的。这种不规则的热运动会使不同流层中的气体质

8、量进行交换，而流动气流中各层气流的速度如果彼此不相同的话，邻层中的两个气体分子的动量必然不相同。邻层之间的质量交换就会带来动量交换。假定我们取图1-3中的AA截面上下的两邻层气流来看，并取一个相对坐标使之以AA截面处的速度随气流一起运动，那末对这个坐标系而言，AA处的流速便是零，而AA以上的气流较AA处的气流为快，在相对坐标系上它是正速度, AA以下的气流较AA处的为慢，在相对坐标系上是负速度，情况如图12。设AA处的速度变化率：是dudn, 那末在n1处的一个流速为(dudn) n1，质量为m的气体分子具有正的动量m (du/dn) n1.许多这样的分子由于热运动的缘故而穿过AA界面跑到下面

9、的慢层气流中去时，便带去了一份正的动量。同理在下层n2处一个质量为m的分子带有负的动量m(dudn) n2,许多这样的的气体分子由于热运动而穿过AA界面跑到上面的快层气流中去时，带去了一份负的动量。单位时间通过AA界面的单位面积这样的动量交换便是摩擦应力t。假定单位容积中有N个分子，分子热运动的平均速度是C；其中三分之一的分子的热运动速度是垂直于AA界面的，那末每秒有1/3N C个分子穿过AA界面，每个分子带有它原来所在的流速所规定的动量。这些分子所携带的动量之总和便是t。再假设参加交换的气体的范围在n方向到L为止(L称有效距离)，那末t 便等于 单位容积中的分子数N乘以每个分子的质量m，其积

10、是密度r，故: (1-3)比较1-2式和1-3式,可知粘性系数为有效距离L是决定于分子的平均自由行程l的。这样从分子运动论得知m的准确公式是 m=049r c l (1-4)这个式子里的r和l 的乘积是个常数。密度大时，平均自由程l必小;反之，密度小时，平均自由程l必大。按式14看，粘性系数m是只决定于分子的热运动速度c的，而气体的温度T正是分子热运动的动能的一个直接的标志，所以气体的粘性系数只决定于气体的温度，而与压强无关,气体的粘性随温度的变化趋势恰恰和液体的相反。变化关系可以用萨特兰(Sutherland)公式表示成： (1-5)式中m1为参考温度T=T1=288.15k时的粘性系数m的

11、值，C为萨特兰(温度)常数，等于110.4k。在进行理论分析时，还可采用比较简单的指数规律来表达上式，例如，可取， m/m1=C (T/T1)n (1-6)式中C为接近于1的系数，指数n的值在不同的温度范围取不同的值。譬如在90kT500k的范围内， n可取89。温度越高，指数n应该越小，如400kT0，略去高阶微量，有 (pxypyx)1/2 dxdydz和这个力矩平衡的是这块质量的角动量变化率，及其彻体力对CD取矩二者之代数和.彻体力正比于密度r及体积dxdydz，此力再对同一直线取矩，还要乘上一个(dx)或(dy)的一个分数，在dx，dy，dz-0时，这个矩是微量的四次方，和上式相比较是

12、高阶的微量。同理这块质量的角动量的变化率也是高一阶的微量。写起平衡方程来都可以略去，结果得 pxy -pyx =0，即 pxy =pyx 同理， pyz =pzy pzx =pzx(三) 微元应力的动量方程在和x相垂直的一对表面上x方向应力差别为：同理可以算出和y以及z相垂直的另外两对表面上x方向应力差别，这样作用在微元dxdydz上的合力沿x方向的分量为： 设作用于流体单位质量上的彻体力为ffxifyjfzk，由于该微元体内流体的质量为rdxdydz，故沿x方向的彻体力分量为rdxdydzfx。牛顿第二定律为，Fma.把它应用在微元体上，x方向的关系式为：上式两边同除以微元体体积dxdydz

13、，得到：同理得到沿y和z方向的关系式：流体微元的表面应力由两部分组成，一部分贡献来自于平均压力p，压力总是作用在微元的法向，方向和法线相反。另一部分可以称为纯粘性应力,它是由于微元变形所产生的应力。记为t。也是个张量。它们间的关系为：如果把x，y，z下标分别看成1，2，3，分量， 上式也可以简写成；Pi,j=p*di,jti,j是克罗米克符号，ij时为1，其他情况下为零。这种张量的表示方法也经常采用。一旦受力平面的方向决定以后，这个平面上所受的力也随之确定，该力总是可以分解成为该平面的法向力和切向力。因为前面已经证明了一个平面上的剪切应力总是大小相等成对出现，所以应力矩阵就是一个对称矩阵，因此

14、就可以证明，在流体内部一个指定点上总可以找到那么一个坐标方向，在这个坐标方向上，三个坐标平面上作用力只有法向的，没有切向的，这三个力称之为主应力，而这个坐标系称之为主应力坐标系。 (四) 粘性应力和速度梯度之间的关系 从产生应力的角度去看，固体和流体的不同在于: 固体有变形就有应力，而流体则需要有变形率(单位时间的变形)存在才有应力。所以流体应力是和流体微团的线变形率和角变形率相联系的，下一步我们将采用速度的各导数及粘性系数来表达粘性应力。AB转过角度为流体微团的变形率代表物体形状的一种剪切变形的速率。可由下面的二维图形看出角变形率exy的意义为单位时间剪切变形的角度。CDCABDABAB间速

15、度u差别为AD间速度v差别为AD转过角度为单位时间内总共转过角度为：流体微团的线变形率代表物体形状的深长或缩短的变形的速率。可由下面的二维图形看出线变形率exx的意义。CDCABDABAB和CD间速度u差别为单位时间x方向长度相对伸长同样可得出角变形eyz，ezx，eyx，ezy，exz和线变形率eyy，ezz这些变形量可以写成如下矩阵形式.显然是一个对称张量.上一章就曾经介绍过流体的剪切应力来源于剪切变形。这和固体不同,固体的剪应力与剪应变成正比。而流体的应力正比与变形的速率，(单位时间的变形)。在xy平面的剪应力都是纯粘性剪应力。它应当和剪应变率成正比，即：txy=tyxexy. 其比例系

16、数就是粘性系数m。因此就有如下流体应力和流应变率的关系：pxy= m exy; pyzz = m eyz; pzx=m ezx;pyx= m eyx; pzy= m ezy; pxz= m exz;至于各个表面上的正应力，在粘性流体运动时，将伴随流体质点的线变形，其体积也将膨胀和收缩。这将使得各面上的正应力与与p产生差别，它们和线变形速度，以及体膨胀率 之间有以下关系l 称作体弹性系数，V代表速度的散度：这样，动量方程就可以写成：同理得到沿y和z方向的关系式：动量方程又可写成矢量形式：式中P表示作用在微元体单位体积上的表面力的合力。.又可可以改写成：(2-12)这样，把上式中的梯度项和旋度项表

17、成一般正交坐标系中的表达式，把P用沿坐标系三个轴线方向的分量来表示(参看附录C)，即得在一般正交坐标系中的动量方程。 24 能量方程 在这一节里面主要分析粘性流体中能量的转换和输运过程,特别是粘性在这里面起的作用.1动能方程用u,v,w分别与x,y,z方向的动量方程相乘，然后把所得三式相加得2-13上式中等号左边的项可以写成利用彻体力等于负的位能的梯度.fxi+fyj+fzk=-f上式中等号右边的第一项可以写成(2-14)把这两个式子带入方程(2-4-1)得 (2-15) 得到的方程称为动能方程2内能方程根据能量守恒定律，作用于流体微元的功和加入的热量，应该等于该微元的能量增量。当流体流动时，

18、流体微元的能量不仅有内能，还有动能和位能。因此，可写成： r dxdydz (e+1/2 V2+X) (2-16) 式中 dxdydz-流体微元的体积，e-单位质量的内能， X-单位质量的位能,1/2V2单位质量的动能，于是，在单位时间内，该流体微元的能量增量可写成： (2-17)根据傅里叶(Fourier)传热定律，单位时间内通过单位面积的：传热量Q= qx i+qy j+ qzk可写成： q = -k T (2-18)式中 k为传热系数。于是，从图2-2 可见，单位时间内通过六个微元表面传给微元体dxdydz的热量为：(2-19)对流体微元作的功可以这样来计算(参看图2-3)，单位时间内,

19、在流体微元左侧的微元面dxdydz上作用于流体微元的功Px 为： Px=-(u pxx+v pxy+w pxz)dydz式中负号表示应力与速度方向相反。在右侧的微元面dydz上，流体微元对外作的功等于： (2-20)所以,左右两面上对流体微元作的净功为，(2-21)同理，可以计算上下前后其余四面上对流体微元作的净功。 按能量守恒定律把以上各量联系起来，约去dxdydz，得到 (2-22) 3总能量方程把能量方程减去动能方程,里面的r(DV/Dt+DX/Dt)和动能方程的左端项就相互抵消,得 (2-23)其中等式右边对角线上的三项可以写成 (2-24)而非对角线的六项可以利用Pij的对称性把具有

20、Pij的项和具有Pji的项写在一起. (2-25) 注意到(2-4-7)右边的第一项 -PV中的V还可以进一步利用连续方程改写成下式:两边同乘以P以后(2-26)用此式代换(2-24)右边第一项,并把(2-24),(2-25)代入方程(2-23),用此式代换(2-24)右边第一项得 (2-27)式中h为热焓,定义是 h = e+P/r(2-27)最后一项f称为耗散函数,其表达式为: (2-28) 可以证明，当m0和3l+2m0时，耗散函数f始终是正的。 能量方程式(2-26)也可写成一般正交坐标系中的形式(参看曲面坐标系下的方程一节)。 25 边界条件 以上介绍了粘性流体运动的基本方程组。为了

21、求解某个具体问题，还需要给出边界条件。对于非定常问题，还需要给出初始条件。 流动的边界条件主要有以下几种：(1)固体边壁处的条件，(2)流体与其它气体或液体交界处条件,(3)入口和出口处的条件。 (1)固体的边壁处的条件,由于流体分子一般比较密集，可以认为在固体边壁处流体质点粘附于固体壁面，流体在壁面处的速度就等于固体边壁的温度.(如果固体壁面是静止的,则流体的壁面速度Vbm就等于零,流体的壁面温度Tbm就等于固体壁面的温度。 如果流体分子比较稀疏，则从分子运动论的观点，可以解释流体相对于固体边壁的壁面速度不等于零，而是一个有限值，称为“滑移速度”；此时，流体的壁面温度也不等于固体边壁的温度，

22、即温度也有一个突跃量。 如果固体边壁是由多孔物质构成并且容许流体垂直穿过边壁，则无滑移条件只限制流体壁面速度的切向分量应等于固体边壁在该处的切向速度，至于垂直于壁面的流体速度的法向分量就等于流体穿过边壁的速度。流体的壁面温度则有两种情况：(a)如果流体通过边壁向外流出，则可以认为流体的壁面温度等于固体边壁的温度，(b)如果通过固体边壁向主流内喷入同种或异种流体，由于喷入的流体温度可以与边壁温度不同，所以必须考虑热平衡问题.(2)流体与气体(或液体)交界处的条件：有时流体的边界不是固体边壁而是与另一种流体(气体或液体)接触。在这种情况下，流体最简单的边界条件是压强与周围压强相同，流体在边界处垂直

23、于边界面的法向速度等于该边界面在该处的法向速度，这就是所谓的“自由面”边界条件。 如果要进一步考虑流体与周围介质之间的作用，则必须计及交界处的剪应力飞热流量与质量流量，条件要复杂得多，这里不再讨论了。 (3)入口和出口处的条件：有些粘性流体运动问题只考虑有限区域内的流动，例如，管道内的流动。这时，流动在区域的入口或出口处的条件必须给定。在有的问题中(例如超音速流动)，可以不给定出口条件，这时可以从入口截面一步步向下游求解，直接得出出口处的流动参数值。但是，在一般问题中，必须同时给定入口与出口条件。 26 无量纲相似参数2，3 我们知道，在给定了某一流动的边界条件后，就该对粘性流动的基本方程组求

24、解，找出各流动参数值。但是，这一组高阶非线性偏微分方程非常复杂，没有一般的解答，目前仅仅在少数极简单的情况下找到了精确解。所以，人们除了在理论研究方面继续不断努力外，还进行了大量实验研究。 在进行实验研究时，首先要解决在什么条件下绕模型的流动能模拟绕实物的流动，其次要解决如何把实验测得的数据用来预计绕实物流动时的各参数值。要解决这两个问题，就得讨论无量纲相似参数和无量纲系数的问题。 这里附带指出，量纲分析对理论研究也是很有用处的。它不但可以帮助我们在还没有确定的数学模型的时候认识变量之间的关系,而且在有确定的数学模型时能够借助它选定变量形式以及进行计算结果的整理和分析.尤其在后面讲到湍流时我们就会看到,几乎几乎每一步的进展都离不开它.1.从动量方程得来的无量纲参数首先考虑二维定常粘性可压缩流动.x方向的动量方程如(2-28)所示,为了说明问题清晰起