线性代数试题及答案3详解

1、、单项选择题（本大题共 一个是符合题目要求的,线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。A. m+na11a12a13a11=m,a21a22a23 a211设行列式=n,C. n- mB.-(m+n)020则行列式D. m-2.设矩阵A=则A-1等于（a11a21a12a22+a13+a23等于（qfIz .q001003100002113100B00C010D0022A3001001001001、3/k2丿JA.003.丿103.设矩阵,z31-2B. 6-1012-1的伴随矩阵,

2、中位于（2）的元素是（ B ）4丿C. 2A. -64.设A是方阵，如有矩阵关系式A. A = 0B. B =C 时 A= 0D. -2AB=AC,则必有（C. A =0 时 B=C5. 已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A. 1 B. 26. 设两个向量组A. 有不全为B. 有不全为C. 有不全为D. 有不全为入s aD )D. |A| = 0 时 B=CAT)等于(C )C. 3a 2,， 【入1 ,入2, 入1 ,入2 ,入1 ,入2,2 ,a 1,0的数0的数0的数0的数入1,入D. 4a s和 3 1, 3 2,，入s使入1 a什，入s使入1 （ a 1+ 3 1），入s使入

3、1 （ a 1- 3 1） ，入s和不全为0的数 s=0 禾口卩 1 3 1+ （1 2 3 2+ +7. 设矩阵A的秩为r,则A中（CA.所有r- 1阶子式都不为0 C.至少有一个r阶子式不等于08. 设Ax=b是一非齐次线性方程组，A. n什n 2是Ax=0的一个解,3 s均线性相关，则(入 2 a 2+ 入 s a s=0 禾口入 1 3 1+ 入 2 3 2+入 s 3 s=0 2+ 3 2)+ + 入 s ( a s+ 3 s) =0 )+ + 入 s ( a s- 3 s) =0 卩s使入1 a 1+入2 a 2+ 入 2 ( a+ 入 2 ( a 2- 3 2)卩1 ,卩2,B.

4、所有D.所有2是其任意11r-1阶子式全为r阶子式都不为2个解，则下列结论错误的是（ A ）是Ax=b的一个解B. n 1+n 222D.2 n 1- n 2 是 Ax=b 的一个解C. n 1-n 2是Ax=0的一个解9. 设n阶方阵A不可逆，则必有（A.秩（A）nB.秩（A）=n - 110. 设A旦A. 如存在数入和向量a使A a =入aB. 如存在数入和非零向量C. A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A的3个互不相同的特征值，a 1, a 2, a 3依次是A的属于入1,入2,入3的特征向量，贝U a 1, a 2, a 3有可能线性相关） D.方程组A

5、x=0只有零解 是一个n（3）阶方阵，下列陈述中正确的是（B ），则a是A的属于特征值入的特征向量 a ,使（入E - A） a =0，则入是A的特征值AC.A=011设入o是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于入的线性无关的特征向量的个数为k，则必有(A )A. k w 3 B. k312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是(B )A.| A|2必为1B.|A必为1C.A-1=ATD. A的行(列)向量组是正交单位向量组13设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC .则(D )A. A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为(C)

6、23f34、100、111 1 A飞4叫6.丿(C.02-3D.12 0-35丿-10 2丿第二部分非选择题(共72分)、填空题(本大题共 10小题，每小题2分，共20分)不写解答过程，将正确的答案写在每 小题的空格内。错填或不填均无分。1 1 115. 3569 25 3616.设 A=12-2、34.丿.则 A+2 B=17. 设 A =(aj)3 x 3 , |A|=2 , Aj表示|A |中元素 內 的代数余子式(i,j=1,2,3 ),则2 2 2(a11A21+a12A22+a13A23)+(a21A21 +a22A22+a23A 23)+(a31A 21+a32A22+a33A2

7、3)=4.18. 设向量(2, -3, 5)与向量(-4, 6, a)线性相关，贝ya=_辺0_.19. 设A是3x 4矩阵，其秩为3，若n 1，n 2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为n 1+c( n 2- n 1)(或n 2+c( n 2- n 1), c为任意常数20. 设A是m x n矩阵，A的秩为r(求(1) ABT； (2) |4A|.0，求矩阵B使其满足矩阵方程 AB =A+2B3丿3广1、31-30-128.给定向量组a 1=,a 2=,a 3=, a 4=02243;4丿9;试判断a 4是否为a 1,a 2,a 3的线性组合；若是，则求出组合系数。广1-2

8、-102、-2426-629.设矩阵A=2-102333334丿求：(1 )秩(A); (2) A的列向量组的一个最大线性无关组。 0 -2 2】30.设矩阵A= /：4的全部特征值为1 ,和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.2431. 试用配方法化下列二次型为标准形f(xi,X2,x3)= x1 2x2 -3x3 4xx2 -4XX3-4x2x3,并写出所用的满秩线性变换。四、证明题(本大题共 2小题，每小题5分，共10分)32. 设方阵A满足A3=0，试证明E- A可逆，且(E- A)- 1= E+A+A233. 设n o是非齐次线性方程组 Ax=b的一个特解，E 1, E

9、 2是其导出组 Ax=0的一个基础解系 试证明(1) n 1= n o+ E 1, n 2= n 0+ E 2均是Ax=b的解；(2) n 0, n 1, n 2线性无关。答案：一、单项选择题(本大题共 14小题，每小题2分，共28 分)1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D7.C 8.A 9.A 10.B11.A二、填空题(本大题共10空，每空2分，共20分)15. 616. “37 17. 418. -0V1-3 7 丿19. n 1+c( n 2-12.B 13.D14.Cn 1)(或 n 2+c( n 2- n 1),c为任意常数20. n- r 21. -22. -23. 1

10、三、计算题(本大题共64 jf1-4广423、z3/ -6所以B=(A- 2E)-1A=1-51 10=2-9-664丿j123丿l2129130、0-53-2i(1035、f1028.解一130-110-1011201022401120088000328-3*0328-3=B0328-20006-270003-196300-217丿0000丿(1 )秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3.(2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一30.解2V5/5(r y2J5/15经正交标准化，得

11、n 1=-45/5,n 2=4亦/15 0丿卫/3丿个最大线性无关组。(A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是)A的属于特征值 入=1的2个线性无关的特征向量为 E 1= (2, - 1, 0) T, E 2= (2, 0, 1) T.3筲12丿1/3/ 厂2,5152/15/151/3经单位化得n 3=2/3.所求正交矩阵为T =-J5/54J5/152/3-2/3/、 0亦/3-2/3；.入=-8的一个特征向量为对角矩阵0A0 .(也可取T =加5/50f（Xi,四、证明题（本大题共 2小题，每小题5分，共2332.证 由于（E- A）（ E+A +A）=E- A =E， 所以E- A可逆，且（E - A） -1= E+A+A2 .2 2 2X2，X3)的标准形 yi - 2y2 - 5y3 . 10分)33证 由假设 A n 0= b, AE 1=0, A E 2=0.(1) An i=A ( n o+ E i) = An o+A E i = b,同理 An 2= b, 所以n