考点34、离散型随机变量及其分布列

1、温馨提示:高考题库为 Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的 观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点34】离散型随机变量及其分布列2009年考题X-1012Pabc1121、( 2009广东高考)已知离散型随机变量X的分布列如右表.若 EX =0 , DX =1，则 a 二, b=.111【解析】由题知a b c ,- a c 01262221511 a 1 c 21，解得 a , b .12124答案：a 5 , b1242、(2009上海高考)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者,若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E (结果用

2、最简分数表示)【解析】可取0, 1, 2，因此P ( = 0)1021c5c2 10C； _21P (= 2)C|1h101014E = 0X-亠1 2c；21，21212177答案：73次；在A处每投进一球3、(2009山东高考)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投得3分，在B处每投进一球得 2分；如果前两次得分之和超过 3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q 1为0.25,在B处的命中率为q 2，该同学选择先在 A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为02345w.w.p0.03P1P2P3P4(1) 求 q 2 的值； w.

3、w.w.k.s.5.u.c.o.m(2) 求随机变量的数学期望E ;(3) 试比较该同学选择都在 B处投篮得分超过 3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。【解析】(1)设该同 学在 A处投中为事件 A,在B处投中 为事件 B,则事件 A,B相互独立,且P(A)=0.25, P(A) =0.75, P(B)= q 2 , P(B) =1 - q?.根据分布列知：=0 时 P(ABB) =P(A)P(B)P(B) =0.75(仁 q2)=0.03,所以 1-q0.2，q 2 =0.8.(2)当 =2 时，Pi= P(ABB ABB)二 P(ABB) P(ABB) w.w.w.k.s.5.

4、u.c.o.m=P(A)P(B)P(B) P(A)P(B)P(B) =0.75 q 2 ( 1 -q2) 2=1.5 q 2 ( 1 - q2)=0.24当=3 时,P2 = P(ABB)二 P(A)P(B)P(B) =0.25(1-q2)2 =0.01,2当=4 时,P3= P(ABB)二 P(A)P(B)P(B) =0.75q2 =0.48,当 =5 时,P4= P(ABB AB)二 P(ABB) P(AB)-P(A)P(B)P(B) P(A)P(B) =0.25q2(1-q2)0.25q2=0.24所以随机变量的分布列为02345p0.030.240.010.480.24随机变量的数学期

5、望 E =0 0.03 2 0.24 3 0.01 4 0.48 5 0.24 =3.63(3)该同学选择都在 B处投篮得分超过3分的概率为P(BBB - BBB - BB)二 P(BBB) P(BBB) P(BB) =2(Vq2)q22 q2= 0.896;该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.4、( 2009天津高考)在10件产品中，有 3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取 3 件，求：(I)取出的3件产品中一等品件数 X的分布列和数学期望；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(

6、II )取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3【解析】(I)由于从10件产品中任取3件的结果为 C10，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等 品的结果数为 C3C产，那么从10件产品中任取 3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X= k)=C3(C ,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123P72421407401120X的数学期望EX= 07 1 -21 27 ：；32440401120910(n)设 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ,恰好取出1件一等品和2件三等品为事件Ai恰好取出2件一等品为事件A2,

7、”恰好取出3件一等品”为事件As由于事件Ai, A2,C1 C237IAs彼此互斥，且 A=AiU A2U A3而 P(A)=：, P(A2)=P(X=2)= 石,p(As)=P(X=3)=1 ,C1040120所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A i)+P(A 2)+P(A 3)=37131+ + =40401201205、( 2009浙江高考)在1,2.3JH.9这9个自然数中，任取3个数.(I)求这3个数中恰有1个是偶数的概率；(II )设为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为 1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时匕的值是2 ).求随机

8、变量 匕的分布列及其数学期望E .1 2【解析】(I )记 这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则PD-CC510 ; w.w.w.k.s.5.u.c.o.mCg 21(II )随机变量的取值为0,1,2,的分布列为匕012511P122125112所以的数学期望为 E = 01-2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m1221236、(2009辽宁高考)1某人向一目射击 4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积3之比为1: 3: 6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。(I)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；(n)若目标被击中 2次，A表示事

9、件 第一部分至少被击中1次或第二部分被击中 2次”，求P (A)【解析】(I )依题意X的分列为(H)设Ai表示事件 第一次击中目标时，击中第 i部分”，i=1, 2.Bi表示事件 第二次击中目标时，击中第 i部分”，i=1 , 2.依题意知 P (Ai) =P(Bi)=0.1 , P(A2)=P(B2)=o.3, A=ABi 一 AB 一 AiBi _ A2B2,所求的概率为 P(A)二 P(AiB1) P(A1b)P(ABi) P(A2b)P(AB) P(A1)P(E) P( A)P(B) P(A2)P(B2)0. 10. 90. 90. 10. 10. 10. 30 12分7、(2009

10、福建高考)从集合11,2,3,4,5 的所有非.空.子集 中，等可能地取出一个。(1)记性质r：集合中的所有元素之和为10,求所取出的非空子集满足性质r的概率;(2)记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列和数学期望 E【解析】(1)记”所取出的非空子集满足性质 r ”为事件A基本事件总数 n= C； C； C； C： C； =31事件A包含的基本事件是1,4,5、2, 3, 5、1, 2, 3, 4事件A包含的基本事件数 m=3所以 p(A) = m 3n 31(II )依题意，的所有可能取值为1, 2, 3, 4, 5C1又 p( T3t5可，P( =2)CL,卩点=3)=幺313131

11、_ 1031p(：-4)二C;3131510105180一 +2 +3 +4 +5 = 31313131313112345p_510_5丄3131313131故的分布列为:从而E=18 ( 2009安徽高考)某地有 A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有 A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C,因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受 A和受B感1 1染的概率都是 一.同样也假定 D受A、B和C感染的概率都是在这种假定之下，B、C、D中直接2 3受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值(即数学期望).【解析】随机变量X的分布列

12、是X123111P326X的均值为EX=1 - 2丄1=口3 266附：X的分布列的一种求法共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是A B C DA B ClDA B ClDA B DLCAC DlBAElD在情形和之下，A直接感染了一个人；在情形 、之下，A直接感染了两个人；在情形 之下,A直接感染了三个人。9、(2009全国I)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立，已知前 2局中，甲、乙各胜1局。(I) 求甲获得这次比赛胜利的概率；(II )设表示从第3局开始到比赛

13、结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。【解析】(1)记A表示事件：第i局甲获胜，i =3,4,5 ； Bj表示事件：第j局乙获胜，j - 3,4B表示事件：甲获胜，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中， 甲获胜2局，从而B = AjAt B3AA5 A3B4A5，由于各局比赛结果相互独立，故 P(B)二 P(AA) P(B3AA) P(ABtA5)二 P(A3)P(AJ P(BJP(A4)P(A5)卩(人)卩假)卩(人)= 0.6 0.6 0.4 0.6 0.6 0.6 0.4 0.6 =0.648(2) 的取值可以为2, 3,由于各局比赛结果相互独立，故

14、p( =2)=P(AA B3B4) =P(AAO P(BsB4)= P(A)P(A) P(BJP(B4)= 0.6 0.60.4 0.4 =0.52P( =3) J - P( =2) -0.52 =0.48所以随机变量的分布列为23P0.520.48随机变量的数学期望 E =2P( =2)3P( = 3)=2 0.52 3 0.48 = 2.4810、( 2009北京高考)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇1到红灯的概率都是丄，遇到红灯时停留的时间都是2min.3(I)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o

15、.m(H)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.【解析】(I)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件 A等于事件这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，(1) f 1)14所以事件A的概率为p A = 11.I 3 八 3)327(H)由题意，可得可能取的值为0, 2, 4, 6, 8 (单位：min).事件2k ”等价于事件该学生在路上遇到k次红灯” (k =0, 1, 2, 3, 4),乂 (2 曾二 P(E=2k)=C： - 一 (k=0,1,2,3,4 ), w.w.w.k.s.5.u.c.o.m即.的分布列是024

16、68P16328818181278181的期望是e丸862 ?!4 276 818 *11、(2009湖北高考)一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2, 3, 4, 5;另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3, 4, 5, 6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x;再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y,记随机变量=x + y，求 的分布列和数学期望。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】依题意，可分别取=5、611取，则有16p(二二+冷, =6)p( =7) =14x4161616p( =8)4, p( =9)3, p( =10)2

17、, p( =11)116 16 16 16二口的分布列为n567891011p1234321161616161616161234321EH =5 汉一+6 汉一+ 7 汉一+8 汉一+9 汉一+10汉一+11 汉一=81616161616161612、（ 2009湖南高考）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和111产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、，现在3名工人独立地从中任236选一个项目参与建设。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II ）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程

18、和产业建设工程的人数， 求.的分布列及数学期望。【解析】记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A , B , Ci , i=1， 2，3.由题意知AA2A3相互独立，B1 BzBs相互独立，G C2C3相互独立，A, Bj, Ck（i，j，k=1，2，3,1 11且i, j，k互不相同）相互独立，且 P（ A）=一，P（ B1）=，P（ C1）=-2 36（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率1111 P=3 ！ P（ A B2 C3）=6P（ A）P（ B2）P（ C3）=6=72 366 方法1设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为H ,由已知，n

19、 -B（ 3，-），且E =3川。31 1 12 2所以 P（ =0）=P （ =3）= C；3 （ ）3 =， P（ =1）=P（ =2）= C3 （ ）3 （ ） =w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3 27339=-一1 12 2 4P( =2)=P( J)= C3(3) (3) = 9賈“o 238P( =3)=P( =0)= C3 (? = 27故的分布是0123P1248279927BB 1248的数学期望E =0+1+2+3=2279927方法2第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件Di ,i=1,2,3，由此已知，Di，D2, D3相互独立，且1 1 2 P

20、( Di) =p ( A + Ci) = p( A) +p ( Ci) = + = 2 63所以-B(3,2)，既 P( = K) = C3 (2)k (1)3， k = 0,1,2,3. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3 33故的分布列是匕0123P124827992713、（ 2009江西高考）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业一 一 1 方案进行评审假设评审结果为 支持”或 不支持”的概率都是一.若某人获得两个 支持”则给予10万元2的创业资助；若只获得一个支持”则给予5万元的资助；若未获得 支持”则不予资助，令匕表示该公司的资助总额.写出的

21、分布列;(2)求数学期望 E . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】（1）的所有取值为0,5,10,15,20,25,30P（）匚卩（=5）卩（，10）今P（15）；|64326416m15 工1P（ =20）P（ =25）P（ =30） 643264.31551531（2） E =5101520253015.32641664326414、（ 2009陕西高考）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，据统计，随机变量的概率分布如下:0123P0.10.32aa（I ）求a的值和的数学期望;（H）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次

22、的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解答a=0.2-的概率分布为0123P0.10.30.40.2.E =0 0.1 1 0.3 2 0.4 3 0.2 =1.7(2) 设事件A表示 两个月内共被投诉 2次”事件A表示 两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A表示 两个月内每月均被投诉 1次” 则由事件的独立性得P(AJ =C；P( =0) =2 0.4 0.1 =0.08P(A2) =P(F： =1)2 =0.32 =0.09.P(A)二P(AJ P(A2) -0.08 0.09 =0.17故该企业在这

23、两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.1715、( 2009四川高考)为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)。某旅游公司组织了一3 1个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有-持金4 32卡，在省内游客中有持银卡。3(I)在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；(II )在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望E 。【解析】(I )由题意得，省外游客有 27人，其中9

24、人持金卡；省内游客有 9人，其中6人持银卡。设事件B为采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于 2人”事件A为 采访该团3人中，1人持金卡,0人持银卡”，事件A2为采访该团3人中，1人持金卡,1 人持银卡 ”。w.w.w.k.s.5.u.c.o.mPW wCTCF 晋4 益 85363所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是O85(n)的可能取值为0, 1, 2, 3p(二 o)=CC； 84 丿C：P( =2)=警C915C6=28 , P( =3)唱1521 ,4州 x3 吃-i5 332841 4282 12株设甲、乙两种大树移栽的成活匕0123P13155

25、84142821所以的分布列为12所以E =0丄16、( 2009重庆高考)某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2 1率分别为一和一，且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中:3 2(I)两种大树各成活 1株的概率;(n)成活的株数的分布列与期望.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】设A表示甲种大树成活 k株，k = 0, 1, 2B表示乙种大树成活I株，1= 0, 1, 2则a , B独立.由独立重复试验中事件发生的概率公式有m , P(B)d(扒尹if (-)1P(Ao)匚1P(Bo 厂据此算得4 4P(A)U , P(A)U1 1P(B1), P(B2)=2 4(I)

26、所求概率为P(A=P(A)P(B1)=彳-(n)方法一:的所有可能值为0, 1, 2,3, 4,且1 KJP( =0)52和映9 436,1 - 6-1 - 4X4 - 9+1 - 2X1 - 9-P( =1) = P(AoP(A B)11 4 1 4 1 P( =2) =P(Aq B2) P(A 耳)P(A2 B0)=9 4 9 2 9 4 _ 1336，4 1411P ( =3) = P(A1B2)，P(A2B1).9 49 234 11P ( =4) = P( A2 B2).9 49综上知有分布列匕01234P1/361/613/361/31/9从而，的期望为1 113117E = 01

27、234 -36636393方法二：分布列的求法同上令“2分别表示甲乙两种树成活的株数，则2 11： B(2, 3)，2： B(2,J匕c 2 4 匕 c 1 故有 E 1=2=，E 2 =213 32从而知E =E E32008年考题1、（2008山东高考）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一2 2 2 1分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，士，丄且各人正确3 3 3 2与否相互之间没有影响用表示甲队的总得分.（I）求随机变量分布列和数学期望;B表示甲队总得分大于乙队总得分”这一（n）用A表示 甲、乙两个队总得分之和等于

28、3”这一事件，用事件，求P(AB) 【解析】）解法一：由题意知,的可能取值为0, 1, 2, 3,且P(二0)P(二 2)寺卩代1）弋丫。送）2 y（自2 d为3訂（W（2）98所以的分布列为0123P12482799271248的数学期望为E =0 27 1 9 2 i 3八2解法二：根据题设可知B(3,)3P(小C3k (3)k(Y尸-0,1,2,3.=222因为 B(3,-),所以E =3 -3 3(n )方法一：用C表示 甲得2分乙得1分”这一事件，用 D表示 甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=CU D,且C、D互斥，又2P(C)二C31()2 (1-)-33331.12 1丄3

29、3 2 3p(d)二(中3 (-1 由互斥事件的概率公式得1043434P(AB)=P(C) P(D)4飞5343535243方法二：用Ak表示 甲队得k分”这一事件，用Bk表示 已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件AgBo,A2Bi为互斥事件，故事件P(AB)= P(A3Bo U A2Bi)= P(A3Bo)+ P(A2Bi).(3)3222111(32 32342432、(2008广东高考)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1

30、件产品的利润(单位：万元)为 .(1)求.的分布列;(2)求1件产品的平均利润(即的数学期望);(3) 经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%, 一等品率提高为 70%如果此时要求1件产品的平均利润不小于 4. 73万元，则三等品率最多是多少?【解析】的所有可能取值有 6, 2, 1, -2; P( =6)0.63 , P( =2)0.25200 200204P( =1)0.1 , P(2)0.02200200故的分布列为：6 2 1 -20. 630. 250. 1 0. 02(2) EF：=6 0.63 2 0.25 1 0.1(-2) 0.02 =4.34(3)设技术革新后的

31、三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(x)=6 0.72 (1 0.7 0.01 x) x (-2) 0.01 =4.76 - x(0 空 x 乞 0.29)依题意，E(x) _4.73，即4.76 -X _ 4.73，解得x _ 0.03所以三等品率最多为 3%3、(2008海南宁夏高考) A, B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%0. 80. 2X22%8%12%P0. 20. 50. 3(I)在A, B两个项目上各投资100万元，丫勺和丫2分别表示投资项目 A和B所获得的利润，求方差DY1,DY2；(n)将x(0乞x空

32、100)万元投资A项目，100-x万元投资B项目，f (x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f (x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值.(注:2D(aX b)二 a DX ) 【解析】(I)由题设可知 Y和的分布列分别为丫1510P0. 80. 2丫22812P0. 20 50. 3i x )f(x)=D 五裕 D归Y210000y2 DX-00卩+2 :001EY =5x0.8 十 10x0.2 = 6,2 2DY1=(5-6)0.8 (10-6)0.2 二 4 ,E% =2 0.2 8 0.5 12 0.3=8,2 2 2DY2=(2-8)0.2

33、 (8-8)0.5 (12-8)0.3=12 10 000 元的概率为 1 - O.99910 50 000元，为保证盈利的期望不小于0,求每位p，记投保的10 000人中出险的人数为 ，则A发生当且仅当=0,，故 p = 0.001 4 - 224222 x 3(100-x)2 (4x -600x 3 100 ),100 - 100当x二空 75时，f(x)=3为最小值.44、(2008全国n)购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000元的赔偿金假定在一年度内有 10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知

34、保险公司在一年度内至少支付赔偿金(I) 求一投保人在一年度内出险的概率p ;(n)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 投保人应交纳的最低保费(单位：元)【解析】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是B(104, p) (I )记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则P(A) =1 -P(A) =1 -P( =0) =1 -(1 - P)10，又 P(A) N-O.99910(n )该险种总收入为10 000a元，支出是赔偿金总额与成本的和.支出10 00050 000,盈利=10000a-(10 00050 000),盈利的期望为E=1 0 0 00 1 0

35、 0B0 050 0由 B(104,0冷知，-10000 10 ,?-44-4444-34E =104a-104E -5 104 =10 a-101010 -5 10 s444E 0= 10 a -1010 -5 10 A 0 =a -10 _5 A 0 a A 15 (元)故每位投保人应交纳的最低保费为15元.A, B, C, D四个不同的岗位服务，每个岗5、( 2008北京高考)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 位至少有一名志愿者.(I) 求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(H)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(川)设随机变量为这五名志愿者中参加 A岗位服务的人数，求的分布列.

36、【解析】I )记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件 EA，那么P(Ea)CfA4140即甲、乙两人同时参加 A岗位服务的概率是 40(n)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P(E)a4cIa4i10，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9p(E)ep(Ey .(川)随机变量可能取的值为1, 2事件“ =2 ”是指有两人同时参加 A岗位服务,c2a3CA43所以P( =1)=1-P( =2),的分布列是4匕1231p446、( 2008四川高考)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为 0.6 ,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买

37、商品也是相互独立的。(I)求进入商场的 1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(n)求进入商场的 1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(川)记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。【解析】记A表示事件：进入商场的记B表示事件：进入商场的记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，1位顾客购买乙种商品，1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,记D表示事件：进入商场的 1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种,(I ) C = A B A BP C 严 P AB A B P A B P A BP A P B P A P B=0.5 0.4 0.5

38、 0.6 = 0.5(n) D = A BP D =P A B =P A P B =0.5 0.4 =0.2P- pD =0. 8(川)Lb 3,0.8 ,P =0i=0.23 =0.008P = V-C1 0.8 o.22 =0.096P =2i=C； 0.82 0.2 =0.384P =-0.3 0. 51 2故的分布列0123P0.00.00.30.508968412所以上二=0 XJ.008+1 区096+2 8.384+3 区512=2.4p，且乙投17、(2008天津高考)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为-与1球2次均未命中的概率为16(I)求乙投球的命中

39、率p ;(n)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(川)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中 2次的概率.【解析】(I )方法一：设 甲投球一次命中”为事件A,乙投球一次命中为事件B.由题意得1 - P B 2 = 1 - p 21163 53解得p 或 (舍去)，所以乙投球的命中率为 一.4 44方法二：设设 甲投球一次命中”为事件A,乙投球一次命中”为事件B.1 113由题意得P(B)P(B)，于是P(B) 或P(B)(舍去)，故p=1-P(B)二16444所以乙投球的命中率为 3 .41 - 1(n )方法一：由题设和(I )知P A ,P A A3故甲投球2次至少命中1次的概率为1 -

40、P A A = 一41 - 1方法二：由题设和(I)知P A ,P A二一2 2故甲投球2次至少命中1次的概率为C；P A P A P A P A；=341131(川)由题设和(I)知，P A , P A ,P B , P B =-2 244甲、乙两人各投球 2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为3 1 一 一9C；P(A F(A )Q；P(B P(B )= , P(A A)P(B B)= , P(AAp(B B)= 1664643 1911所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为16 64 64328 ( 2008安徽高考

41、)为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p,设为成活沙柳的株数，数学期望E，= 3 ,标准差二为 一。2(I)求n,p的值并写出的分布列;(n)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率231【解析】 由 E；，= np =3,(二)=np(1 - p),得 1 - p ,2 21从而n = 6, p =2P(A)61520642 1:或 P(A)=1-P( 3)=13 215 6 1216432的分布列为01234561615201561P64646464646464记”需要补种沙柳

42、”为事件A, 则P(A)二P乞3),得9、(2008江西高考)某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方1.0 倍、0.9 倍、案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的0.8倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4;第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是 0.2、0.5、0.5.若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的0.3、0.5 ；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案,第二年与第一年相互独立。令i

43、(i =1,2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数.(1) .写出、J的分布列；(2) .实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？(3) .不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？【解析】(1)：的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.252 的所有取值为 0.8、0.96、1.0、1.2、1.44 ,1、2的分布列分别为：_10.80.91.01.12551.2P0.20.150.35

44、0.1550.120.80.961.01.21.44P0.30.20.180.240.08(2) 令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件,P(A) =0.15 0.15 =0.3, P(B) =0.24 0.08 = 0.32可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大(3) 令i表示方案i所带来的效益，则1101520P0.350.350.3101520P0.50.180.32所以 E 1 =14.75,E 2 =14.1可见，方案一所带来的平均效益更大。10、( 2008湖北高考)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有门个(n =1,2

45、,3,4). 现从袋中任取一球.表示所取球的标号.(I)求的分布列，期望和方差；(n)若 二a：b, E =1, D =11，试求 a,b 的值.【解析】(I)的分布列为：匕01234P111312201020511 131 E =012341.5.220102052121212321D =(0-1.5)(1-1.5)(21.5)(31.5)(41.5)2.75. (n)由010205DH=a2D，得 a2x2.75= 11,即卩 a =2.又 EH = aE+b,所以当 a=2 时，由 1= 2X1.5+b,得 b=-2;当 a=-2 时，由 1 = -2 1.5+b,得 b=4.La =

46、2,Xa = -2,-或即为所求.b = -2b = 411、(2008湖南高考)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率1都是一，且面试是否合格互不影响.求：2(I)至少有1人面试合格的概率；(n)签约人数的分布列和数学期望.【解析】用A, B, C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A, B, C相互独立，且 P (A)= P ( B)= P ( C)= 1.2(I )至少有1人面试合格的概率是1 371 _P(ABC) =1 _P(A)P(B)P(C) =1

47、-$)(H) 的可能取值为0, 1, 2, 3.P(匕=O)=pABC)+ P(ABC帀A B)C1 31 31 33=P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)=(；)()().2 2 2 8PC： =1) =P (ABC ) P(AbC 匝 ABC1313133=P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)=(-)(-)(-)二.P( =2)=P(ABC P(A)P(B)P(c) .8P( =3)=P (ABC P(A)P(B)P(C)8所以，的分布列是01233311p88883311的期望 E =012 31.888 8

48、12、( 2008陕西高考)某射击测试规则为：每人最多射击 3次，击中目标即终止射击，第 i次击中目标得 4 i (i =1,2,3)分，3次均未击中目标得 0分.已知某射手每次击中目标的概率为 0.8,其各次射击结果互 不影响.(I)求该射手恰好射击两次的概率；(H)该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望.【解析】(I)设该射手第i次击中目标的事件为 A(i=1,2,3)，贝U P(A) = 0.8, P(A)=02 , 该射手恰好设计两次的概率：P(AA) =P(A)P(A) =0.298 = 0.16 .(H )可能取的值为0, 1, 2, 3.的分布列为0123P0000.008.032.16.8E$：=0 0.008 1 0.032 2 0.16 3 0.8=2.752 .13、( 2008重庆高考)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以.比赛按这种规则一直进行到其中1，且各局胜负相互独立.求：2后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空 一人连胜两局或打满 6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为(I) 打满3局比赛还未停止的概率；(n)比赛停止时已打局数-的分别列与期望 E .【解析】令Ak,Bk,Ck分别表示甲、乙、丙在第 k局中获胜.(I )由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发