均值不等式（不等式简史）

1、均值不等式 均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，同学们，你想知道对于两个正数a,b，在什么条件下，a+b取得最小值？在什么条件下，ab取得最大值吗？让我们从均值不等式基础知识开始我们的求知之旅吧.数学史话不等式理论简史数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 东欧国家有一个较大的研究群体, 特别是原南斯拉夫国家.目前,对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家.在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事件,分别是: Chebycheff 在 1882 年发表的论文和 1928

2、 年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲；Hardy,Littlewood和 Plya的著作 Inequalities的前言中对不等式的哲学 (philosophy) 给出了有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明.A MFink认为, 人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式 Hardy认为, 基本的不等式是初等的自从著名数学家 G H Hardy,J E Littlewood和G Plya的著作 Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以来, 数学不等式理论及其应用的研究正

3、式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论.20 世纪 70 年代以来 , 国际上每四年在德国召开一次一般不等式 ( General Inequalities) 国际学术会议 , 并出版专门的会议论文集.不等式理论也是 2000 年在意大利召开的第三届世界非线性分析学家大会 (“The ThirdWorld Congress of Nonlinear Analyst s” ( WCNA - 2000) )的主题之一.2000 年和 2001 年在韩国召开的第六届和第七届非线性泛函分析和应用国际会议 ( Interna

4、tionalConference on Nonlinear Functional Analysis andApplications) 与 2000 年在我国大连理工大学召开的ISAAC都将数学不等式理论作为主要的议题安排在会议日程之中.2001 年的不等式国际会议 IN EQUAL IT IES于 2001 年 7 月 9 日至 14 日在罗马尼亚 University of t heWest 召开.历史上 , 华人数学家在不等式领域做出过重要贡献，包括华罗庚、樊畿、林东坡、徐利治、王忠烈、王兴华等老一代数学家.最近几年我国有许多数学工作者始终活跃在国际数学不等式理论及其应用的领域，他们在相关

5、方面做出了独特的贡献，引起国内外同行的注意和重视.例如王挽澜教授、石焕南教授、杨必成教授、高明哲教授、张晗方教授、杨国胜教授等.20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮. 20世纪80年代杨路等教授对几何不等式研究的一系列开创性工作，将我国几何不等式的研究推向高潮；在代数不等式方面，王挽澜教授对Fan ky不等式的深人研究达到国际领先水平.祁锋教授及其所领导的研究群体在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系统的前沿研究成果；对分析不等式，胡克教授于1981年发表在中国科学上的论文一个不等式及其若干应用，针对Holder不等式的缺陷提出一个全新的不等式，被美国数学评论称之

6、为一个杰出的非凡的新的不等式，现在称之为胡克(HK)不等式.胡克教授对这个不等式及其应用作了系统而深刻的研究.目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也有较丰富的成果.例如匡继昌先生的专著常用不等式一书由于供不应求 , 在短短的几年内已经出版了第二版 ,重印过多次.对于数学专著来讲 , 这是少有的现象.第二本较有影响的专著是王松桂和贾忠贞合著的矩阵论中不等式.另外 , 国内还有一个不等式研究小组比较活跃 , 主办一个不等式研究通讯的内部交流刊物 , 数学家杨路先生任顾问.对Hilbert不等式，是由Hilbert 在他的积分方程的讲座中提出. 此后，许多著名数学家如Feier(1921)，Fr

7、amcis，Littlewood (1928)，Hardy (1920)，Hardy-Littlewood-Polya(1926)，Mulhoand(1928，1931)，Owen(1930)，Polya和Szegb，Schur(1911)，F Wiener (1910)等都做出过贡献.为此，Hardy等在文献1中的第9x章中专门讨论Hilbert不等式及其类似情形和推广.20世纪90年代以来，我国一大批学者如徐利治，杨必成教授等对Hilbert不等式及其类似情形和推广的研究取得了举世瞩目的成果.由于这些结果在理论和实际运用方面都有重要意义，引起一系列广泛研究，当中取得各式各样的进展，成果在众

8、多报刊杂志上被发表.综上所述 , 数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达.摘自互联网百度百科欧拉欧拉是数学史上著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就.不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学生.事情是因为星星而引起的. 当时，小欧拉在一个教会学校里读书.有一次，他向老师提问，天上有多少颗星星.老师是个神学的信徒，他不知道天上究竟有多少颗星，圣经上也没有回答过.其实，天上的星星数不清，是无限的.我们的肉眼可见的星星也有几千颗.这个老师不懂装懂，回答欧拉说：“天上有多少颗星星，这无关紧要，只要知道天上的星星是上

9、帝镶嵌上去的就够了.” 欧拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上没有扶梯，上帝是怎么把星星一颗一颗镶嵌到天幕上的呢？上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么忘记了星星的数目呢？上帝会不会太粗心了呢？” 他向老师提出了心中的疑问，老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好.老师的心中顿时升起一股怒气，这不仅是因为一个才上小学的孩子向老师问出了这样的问题，使老师下不了台，更主要的是，老师把上帝看得高于一切.小欧拉居然责怪上帝为什么没有记住星星的数目，言外之意是对万能的上帝提出了怀疑.在老师的心目中，这可是一个严重的问题.在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自

10、由思考.小欧拉没有与教会、与上帝保持一致，老师就让他离开学校回家.但是，在小欧拉心中，上帝神圣的光环消失了.他想，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星也记不住？他又想，上帝是个独裁者，连提出问题都成了罪.他又想，上帝也许是个别人编造出来的家伙，根本就不存在.回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童.他一面放羊，一面读书.他读的书中，有不少数学书.爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只.原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈.他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米.正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用

11、.若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米（15+15+40+40=110），父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米.小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划.他有办法.父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他.小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了.父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美. 父亲终于同意让儿子试试看.小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁.他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米.父

12、亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了.”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米.经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形（25+25+25+25=100）.然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了.”父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光.面积也足够了，而且还稍稍大了一些.父亲心里感到非常高兴.孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息.父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是可惜了.后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利.通过这位数学家的

13、推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生.这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生.摘自互联网百度百科思维导航运用均值不等式的八类拼凑方法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点.在运用均值不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形.均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能.以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法.笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类.一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系

14、数，拼凑定和，求积的最大值例已知，求函数的最大值解：当且仅当，即时，上式取“=”,故.评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值.例2 求函数的最大值.解：因为，当且仅当，即时，上式取“=”,故.评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件例3 已知，求函数的最大值.解：,.当且仅当，即时，上式取“=”.故，又.二、 拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 设，求函数的最小值.解：.当且仅当

15、时，上式取“=”.故.评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的.例5 已知，求函数的最大值.解：，.当且仅当时，上式取“=”.故.评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”.例6 已知，求函数的最小值.解：因为，所以，令，则.所以.当且仅当，即时，上式取“=”.故.评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境.三、 拼凑常数降幂例7 若，求证：.分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它

16、能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径.本题已知与要求证的条件是，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化.证明：.当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证.评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了.例8 若，求的最大值.解：.当且仅当时，上述各式取“=”，故的最大值为7.例9 已知，求证：.证明：，又，.当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证.四、 拼凑常数升幂例10 若，且，求证.分析：已知与要求证的不等式都是关于的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是，故应拼凑，巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的

17、辩证转化. 当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证.例11 若，求证：.证明：.又.当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证.五、 约分配凑通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次.例12 已知，求的最小值. 解：.当且仅当时，即，上式取“=”，故.例13 已知，求函数的最小值.解：因为，所以.所以.当且仅当时，即，上式取“=”，故.例14 若，求证.分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于的轮换对称式，当时，等式成立.此时，设，解得，所以应拼凑辅助式为拼凑的需要而添，经此一添，解题可见眉目.当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证.六、 引入参数拼凑某些复杂的问题

18、难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解得待定系数，可开辟解题捷径.例15 已知，且，求的最小值.解：设，故有.当且仅当同时成立时上述不等式取“=”，即，代入，解得，此时.故的最小值为36.七、 引入对偶式拼凑 根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件.例16 设为互不相等的正整数，求证.证明：记，构造对偶式，则，当且仅当时，等号成立.又因为为互不相等的正整数，所以，因此.评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式.八、 确立主元拼凑 在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件

19、和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式.例17 在中，证明.分析：为轮换对称式，即的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉.证明：当时，原不等式显然成立. 当时，.当且仅当，即为正三角形时，原不等式等号成立. 综上所述，原不等式成立.评注：变形后选择A为主元，先把A看作常量，B、C看作变量，把B、C这两个变量集中到，然后利用的最大值为1将其整体消元，最后再回到A这个主元，变中求定.综上可见，许多貌似繁难的最值问题或不等式证明问题，运用均值不等式等号成立条件，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式，轻松获解.这种运用等

20、号成立条件的拼凑方法，既开拓了学生的思路，又活跃了学生的思维，培养了学生的数学能力.摘自互联网百度文库数学应用有趣的不等式一、2005年10月12日，我国“神舟”六号飞船在甘肃酒泉卫星发射中心成功发射，千年飞天梦，今朝又成真.这一伟大成就庄严地载入了中华民族的光辉史册，豪情满怀之后，你可曾知道，飞船是必须由火箭运载上天的，并且只有当火箭的速度大于112104米/秒时，飞船才能脱离地球的引力束缚，飞入太空.二、把看似枯燥的数学问题用朗朗上口的诗歌形式表达出来或编成有趣的小故事，让人们耳目一新，备受喜欢，不少的问题还涉及不等式.请看以下几例.1、诗歌与不等式诗歌曰：六丈六尺布，裁成两种裤，长的七尺

21、二，短的二尺五，布要全用尽，规格要相等，各样有几条，请问大师傅？解：设长裤裁出条，短裤裁出条，根据题意，得,转化为.显然，必是正整数，即，解得.所以为1至9的整数.由可知，必须是5的倍数，否则就不是整数.所以，代入得.即长裤裁5条，短裤裁12条.2、建筑物与不等式一位意大利数学家游玩了比萨斜塔后，提出了一道有趣的问题.他说：比萨斜塔共有8层，其中顶层有12根石柱，中间6层，每层的石柱一样多，底层石柱只有中间每层石柱的一半，而且中间每层和底层的石柱数都是5的倍数.告诉你比萨斜塔是由200多根石柱构成，但不会超过250根.请问比萨斜塔由多少根石柱构成？解：设比萨斜塔的底层有根石柱，那么中间6层各有

22、根，则比萨斜塔共有根石柱.由于中间每层和底层的石柱数都是5的倍数，即是5的倍数，因此可取5，10，15，20，取5，10时，总石柱数少于200；取20时，也不符合题意；当时, ，符合要求.因此比萨斜塔由207根石柱构成.摘自互联网百度文库均值不等式在实际生活中的应用在日常生活中遇到的土地利用、机械制造、广告投资等问题可用均值不等式来解决这节主要介绍均值不等式在以上三个方面中的应用例1 利用已有足够长的一面围墙和米的篱笆围成一个矩形场地，问如何围才能使围成的场地面积最大？解设围墙的邻边长为米，则围墙对边长为米，那么所围场地面积为，当且仅当，即米时，围成的面积最大，最大值为平方米机械制造业是各行业

23、技术装备的主要提供者，为其它行业的发展提供必不可少的基础条件，市场需要工厂生产不同规格的零件去满足不同的需求，如果要利用同样的材料制造不同特点的产品，那么此时会用到均值不等式例2 用一块钢锭铸造一个厚度均匀，且全面积为的正四棱锥形有盖容器，设容器高为米，盖子的边长为米，容器的容积为，问当为何值时，最大，并求最大值解:因为底面积为，四个侧面积均为，所以全面积为，整理得 ，而容积，由均值不等式，得，当且仅当时，取等号，即，时，容器的容积最大，其最大值为立方米近年来广告业一场突起，可以说为企业的生存和发展劈荆斩棘，在一定条件下，销售量是广告费的增函数，但销售应有极限，盲目加大投入，企业必将亏损，所以

24、企业在策划这方面时，应该运用均值不等式检测是否合理例3 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量（万件）与广告费（万元）之间的函数关系式为 ，已知生产此产品的年固定投入为万元，每生产万件此产品仍需再投入万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之差，求年广告费投入多少时，企业年利润最大？解设企业年利润为万元，由已知条件，知年成本为万元，年收入为万元，则年利润，整理得 由于，因此当且仅当，即时，有最大值，最大值为万元摘自互联网百度文库拓展延伸著名不等式荟萃在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加

25、丰富多彩下面择要介绍一些著名的不等式一、平均不等式（均值不等式）设 是个实数，叫做这个实数的算术平均数.当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数.当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数.设 为个正数时，对如下的平均不等式： ，当且仅当时等号成立.平均不等式 是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一.设 是个正的变数，则（1）当积 是定值时，和有最小值，且 ；（2）当和 是定值时，积 有最大值，且 两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即 时，才能取得最大值或最小值.在 中，当 时，分别有 ，平均不等式 经常用到的几个特例是（下面出现的 时等号成立

26、；（3） ，当且仅当 时等号成立；（4） ，当且仅当 时等号成立.二、柯西不等式（柯西许瓦兹不等式或柯西布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数 ，有 ，其中等号当且仅当时成立.柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的都表示实数）是：（1） ， ，则 （2） （3） 柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位.三、闵可夫斯基不等式设是两组正数， ，则当且仅当 时等号成立.闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式： 右图给出了对上式的一个直观理解.若记 ， ，则上式为四、贝努利不等式（1）设,且同号

27、，则 （2）设,则（）当 时，有 ；（）当 或 时，有 ，上两式当且仅当时等号成立.不等式（1）的一个重要特例是 ,五、赫尔德不等式已知是个正实数，,则 上式中若令 ,则此赫尔德不等式即为柯西不等式.六、契比雪夫不等式（1）若,则 ；（2）若 ，则 下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解. 如图，矩形中， ，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段向上翻折比较即知）.于是有 ，也即 七、排序不等式设有两组数 满足,则有，式中的 是的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立.以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它

28、使不少困难问题迎刃而解.八、含有绝对值的不等式为复数，则 ，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是 ，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得较多.九、琴生不等式设是内的凸函数，则对于内任意的几个实数有 ，等号当且仅当时取得.琴生不等式是丹麦数学家琴生于1905年到1906年间建立的.利用琴生不等式我们可以得到一系列不等式，比如“幂平均不等式”，“加权的琴生不等式”等等.十、艾尔多斯莫迪尔不等式设为内部或边界上一点，到三边距离分别为，则 ，当且仅当为正三角形，且为三角形中心时上式取等号.这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的

29、一个重要不等式.以上这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，如果它们已变成了我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具.数学竞赛中使用的几个不等式几个变元的均值不等式.设则此不等式的变形为：设 ，则有柯西不等式设，则等号成立当且仅当 时成立.（约定 时，）排序不等式设有两个有序数组 及，则 （顺序和）（乱序和）（反序和）其中 的任一排列，当且仅当 或 时等号成立.利用排序不等式可得切比雪夫不等式：若 ， ，则柯西不等式的拓展设同号，则当且仅当 时取等号.若，且，则.不等式 的推广及应用利用不等式可以简捷巧妙地解答其它一些不等式问题,本文简单介绍它的应用及推广，供大家在教学中

30、参考. 一、不等式 的应用例1 设是直角三角形斜边的长，两直角边长为和,求证. 证明： ,. 例2 填空：设 的最小值为 . 当且仅当. 例3 设、为空间中的四点，求证： 证明：如图，取的中点，连结和，则在和中，根据中线的性质，有 二、不等式的推广及应用不等式 可以推广成如下命题：如果 ：证明： 例4 （外森比克不等式）已知三角形的边长为其面积为，求证 ，并指出何时等号成立证明：由海伦公式，例5 试确定 的所有实数解解：由，得，取“=”号 所以，原方程组有唯一实数解 三、不等式 的再推广及应用不等式 还可以再推广，这就是著名的Holder不等式如果 （当且仅当时取“=”号）证明从略例6 求证：

31、 证明：由Holder不等式，得例7 设为的三个内角，为自然数，求证 证明：由Holder不等式，得 .当且仅当时取“=”号.例8 已知 ，求证证明：由H lder不等式，得事实上，我们称为个正数的次幂平均关于幂平均有下面的定理：如果 为正数， 那么（当且仅当时取“=”号）证明从略据定理，有（当且仅当时取“=”号），即 时取“=”号），即为H lder不等式.摘自互联网百度文库数学欣赏不等式的趣味应用题赏析赵先举 不等式不仅是数学的基础,在现实生活中也有着广泛的应用,灵活应用不等式知识可以帮助我们化解困难,使得生活更加美好下面给出几个例子供大家欣赏.一、交通问题中的基本不等式问题繁华都市中,人

32、们的生活节奏在不断加快,交通的压力越来越大为了解决交通拥挤问题,政府想了很多办法,对车辆的行驶速度等进行了调查,试图通过对数据的分析,来减轻交通的压力下面给出的是一个城市的数据模型,我们来帮政府分析一下吧.案例：2012年伦敦奥运会进行期间,为了缓解交通压力,在一交通要道交通部门规定:在此段内的车距d正比于车速v(km/h)的平方与车身长s(m)的乘积,且最小车距不得少于半个车身长假设车身长均为s(m),且车速为50(km/h)时,车距恰为车身长s问交通繁忙时,应规定怎样的车速,才能使此地段的车流量Q最大?探究：这一问题可以利用均值不等式求最值的方法进行解决车身长s为常量,设d=kv2s,把v

33、=50,d=s代入可得,把代入,可得所以于是,车流量当时,Q为v的增函数,所以,时,Q最大为;当时,当且仅当,即时,等号成立,又,所以,v=50km/h时,车流量最大.二、市场经营中的不等式证明问题市场经济给世界带来了竞争,也带来了活力,在市场经济下,我们更应该学会灵活应用数学知识,只有这样才能使我们的成本最低,盈利最大,进而使得我们的实力更强大,下面来看一个例子,来分析数学知识在市场经营中的灵活应用.案例：国际上钻石的重量计量单位为克拉已知某种钻石的价值v(美元)与其重量w(克拉)的平方成正比,且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.(1)写出v关于w的的函数关系式;(2)若把一颗

34、钻石切割成重量为1:3的两颗钻石,求价值损失的百分率;(3)试用你所学的数学知识证明:把一颗钻石切割成两颗钻石时,按重量之比1:1切割,价值损失的百分率最大. (注:价值损失的百分率=,在切割过程中的重量损耗忽略不计).探究：(1)依题意设:,又当时, 故; (2)设这颗钻石的重量为a克拉,由(1)可知,按重量为1:3切割后的价值为:价值损失为:价值损失的百分率为:答:价值损失的百分率为375%;(3)(理)若把一颗钻石按重量m:n切割成两颗,价值损失的百分率为:,又.当且仅当时等号成立即重量为1:1切割时,价值损失的百分率达到最大.三、交通纠纷与解不等式问题生活中总会有些意外让我们无法预料,

35、交通纠纷就是很常见的事情教训是惨痛的,但事后责任的划分也是比较麻烦的其实,交警在对事故现场进行取证分析时也离不开数学知识,有时候一个不等式的正确求解就成为化解纠纷的关键下面看一个生活实例,加以分析:案例：汽车行驶中,由于惯性作用刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称之为“刹车距离”,刹车距离是分析事故的一个重要因素一天某电视台就报到了一件交通事故的新闻在一个限速40km/h以内的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了,双方当事人互不相让,都在指责对方,要求对方负责这时,交警来了,经过现场勘测可知:甲车刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m,又知甲

36、、乙两种车型的刹车距离sm与车速xkm/h之间分别有如下关系:问:超速行驶应负主要责任的是谁?探究：本题可以利用解不等式的方法来判断是谁超速应负主要责任,只要根据刹车距离计算各自行驶的超速程度比较即可.,这是常见的一元二次不等式,分别求解可得或;或.由于,从而可得km/h,km/h,比较可知乙车明显超过限速,应负主要责任 .趣味练习:1、随着社会的发展,物流公司的重要性越来月明显在奥运会期间,某物流公司为了顺利完成某大型运送任务,使用了17列货车从郑州市以v km/h匀速直达目的地阜阳的一个小镇,已知两地铁路线长为400 km,为了安全,两列货车的间距不得小于()2 km,那么这批货物全部运到

37、阜阳的目的地,怎样才能使得运送时间最短?最短时间是多少?答案:这批货物从郑州市全部运到阜阳目的地的时间可以表示为：当且仅当,即(km/h)时,等号成立,即车速为100km/h时,所用时间最短,最短时间为8小时.2、某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机3600台,每批都购入x台(x是自然数),且每批均需付运费400元贮存购入的电视机全年所需保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比若每批购入400台,则全年需用去运输和保管总费用43600元现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用请证明:只要适当安排每批购入电视机数量,这批资金恰好够用.答案:依题意,当每批购入x台时,

38、全年需用保管费可设为,所以,全年需用去运输和保管总费用为因为时,所以,所以,所以,只要安排每批进货120台,便可使资金够用.3、酒后驾车是非常危险的因此法律规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过008ml/ml已知甲在上午11:00喝150ml酒后,血液中的酒精含量上升到048mg/ml,乙在上午9:00喝了300ml酒后,血液中的酒精含量迅速上升到096mg/ml,又已知:对于甲、乙在停止喝酒后,血液中的酒精含量每小时减少为原来的一半下午2:00时,两人开车相遇,发生碰撞请据此判断,两人是否属于酒后驾驶?能否以酒后驾驶对这起事故进行判罚?答案: 对于甲,设经过小时后才能驾驶汽车,则此人喝了15

39、0ml啤酒后,经过小时的酒精含量为,根据题意有,即,由于,所以,因甲至少3小时后此人才能驾驶汽车,甲上午9:00喝酒,下午2:00已经可以正常驾驶汽车;对于乙,设经过y小时,可以驾驶汽车,同理,由,即,由于,所以,乙至少需要4个小时才能驾驶汽车,上午9:00喝酒,下午2:00也属于正常驾驶,因此,两人的纠纷不应当以酒后驾驶进行判罚.摘自互联网百度文库推荐阅读数学家的眼光作者：张景中.不等式的应用不等式的应用非常广泛，它贯穿整个高中数学的始末，诸如函数的定义域，值域的求法，最值问题的求法，数学应用问题的解法等等，它和高中数学的内容结合非常广泛，同学们，你想知道不等式应用有哪些吗？如何使用不等式去

40、解决实际问题吗？让我们从阅读不等式的应用开始我们的求知之旅吧.数学史话数学界名人以华人数学家命名的研究成果中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族，在灿烂的文化瑰宝中数学在世界上也同样具有许多耀眼的光环，我国古代算术的许多研究成果里面就早已孕育了后来西方数学才涉及的思想方法，这不仅反映了中华民族文化的博大精深，也说明了我们的民族是一个聪明智慧的民族，有不少数学人才和在世界领先的数学研究成果，我们应该引以为荣，更应该发扬和光大数学前辈的治学精神，爱好数学，学好数学，用好数学.我们希望能看到更多的华人数学家诞生！希望有更多的以华人数学家命名的研究成果载入世界数学史册，扬我中华民族之威！下面就是收

41、集到的以华人数学家命名的研究成果.李氏恒等式：数学家李善兰在级数求和方面的研究成果，在国际上被命名为“李氏恒等式”.华氏定理：数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”；另外他与数学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华王方法”.苏氏锥面：数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“苏氏锥面”.熊氏无穷级：数学家熊庆来关于整函数与无穷级的亚纯函数的研究成果被国际数学界誉为“熊氏无穷级”.陈示性类：数学家陈省身关于示性类的研究成果被国际上称为“陈示性类”.周氏坐标：数学家周炜良在代数几何学方面的研究成果被国际数学界称为“周氏坐标；另外还有以他命名的

42、周氏定理和周氏环.吴氏方法：数学家吴文俊关于几何定理机器证明的方法被国际上誉为“吴氏方法”；另外还有以他命名的“吴氏公式”.王氏悖论：数学家王浩关于数理逻辑的一个命题被国际上定为“王氏悖论”.柯氏定理：数学家柯召关于卡特兰问题的研究成果被国际数学界称为“柯氏定理”；另外他与数学家孙琦在数论方面的研究成果被国际上称为“柯孙猜测”.陈氏定理：数学家陈景润在哥德巴赫猜想研究中提出的命题被国际数学界誉为“陈氏定理”.杨张定理：数学家杨乐和张广厚在函数论方面的研究成果被国际上称为“杨张定理”.陆氏猜想：数学家陆启铿关于常曲率流形的研究成果被国际上称为“陆氏猜想”.夏氏不等式：数学家夏道行在泛函积分和不变

43、测度论方面的研究成果被国际数学界称为“夏氏不等式”.姜氏空间：数学家姜伯驹关于尼尔森数计算的研究成果被国际上命名为“姜氏空间”；另外还有以他命名的“姜氏子群”.侯氏定理：数学家侯振挺关于马尔可夫过程的研究成果被国际上命名为“侯氏定理”.周氏猜测：数学家周海中关于梅森素数分布的研究成果被国际上命名为“周氏猜测”.王氏定理：数学家王戌堂关于点集拓扑学的研究成果被国际数学界誉为“王氏定理”.袁氏引理：数学家袁亚湘在非线性规划方面的研究成果被国际上命名为“袁氏引理”.景氏算子：数学家景乃桓在对称函数方面的研究成果被国际上命名为“景氏算子”.陈氏文法：数学家陈永川在组合数学方面的研究成果被国际上命名为“

44、陈氏文法”.摘自互联网百度文库有关不等式数学符号的起源数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量多得多现在常用的有200多个，初中数学书里就不下20多种它们都有一段有趣的经历例如加号曾经有好几种，现在通用“”“”是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的十六世纪，意大利科学家塔尔塔利亚用意大利文“pi”（加的意思）的第一个字母表示加，最后都变成了“”减号是从拉丁文“minus”（“减”的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了“”了也有人说，卖酒的商人用“”表示酒桶里的酒卖了多少以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个“”等等16世纪法国数学家维叶特用

45、“”表示两个量的差别可是英国牛津大学数学、修辞学教授雷科德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号“”就从1540年开始使用起来1591年，法国数学家韦达在文中大量使用这个符号，才逐渐为人们接受十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了“”号，他还在几何学中用“”表示相似，用“”表示全等大于号“”和小于号“”，是1631年英国著名代数学家哈里奥特创用至于“”“”、“”这三个符号的出现，是很晚很晚的事了大括号“”和中括号“”是代数创始人之一韦达创造的摘自互联网百度文库阿拉伯数字的由来小明是个喜欢提问的孩子.一天，他对09这几个数字产生兴趣：为什么它们被称为“阿拉伯数字”呢？

46、于是，他就去问妈妈:“09既然叫阿拉伯数字，那肯定是阿拉伯人发明的了，对吗，妈妈？”，妈妈摇摇头说：“阿拉伯数字实际上是印度人发明的.大约在1500年前，印度人就用一种特殊的字来表示数目，这些字有10个，只要一笔两笔就能写成.后来，这些数字传入阿拉伯，阿拉伯人觉得这些数字简单、实用，就在自己的国家广泛使用，并又传到了欧洲.就这样，慢慢变成了我们今天使用的数字.因为阿拉伯人在传播这些数字上发挥了很大的作用，人们就习惯了称这种数字为阿拉伯数字” .小明听了说：“原来是这样.妈妈，这可不可以叫做将错就错呢？”妈妈笑了.、和的本领很久以前，数学王国比较混乱.09十个兄弟不仅在王国称霸，而且彼此吹嘘自己

47、的本领最大.数学天使看到这种情况很生气，派、和三个小天使到数学王国建立次序，避免混乱.三个小天使来到数学王国，09十个兄弟轻蔑地看着它们.9问道：“你们三个来数学王国干什么，我们不欢迎你们！” 笑着说：“我们是天使派到你们王国的法官，帮你们治理好你们国家.我是等号，这两位是大于号和小于号，它们开口朝谁，谁就大；它们尖尖朝谁，谁就小.”09十个兄弟听说它们是天使派来的法官，就乖乖地服从、和的命令.从此，数学王国有了严格的次序，任何人不会违反.数学家华罗庚华罗庚是一位只有初中文凭的世界一流数学家.他1910年11月12日出生于江苏省金坛县.他小时候学习很刻苦，初中毕业升入上海中华职业学校后，由于缴

48、不起学费而失学，失学后他在小杂货店做记账员.与此同时，他坚持自学数学，到处借书、抄书，并养成了“啃”数学难题的习惯.他用五年时间自学了高中的课程，又用两年时间自学了大学的全部课程.他先后在国内外几所大学任教，19岁时开始发表论文，先后发表了几十篇论文，成为著名的数学家.华罗庚爷爷于1985年6月在访问日本时不幸逝世.摘自互联网百度文库日记本引他走向成才路雅各布伯努利是欧洲著名的数学家，他于1654年出生在瑞士的巴塞尔.从13岁开始，雅各布悄悄地写起了日记，他把自己在学习中所取得的收获及遇到的难题，统统记了下来.翻开他的日记，有阅读书报杂志的体会，有与别人讨论数学问题时得到的启发，有解决数学难题

49、突发的奇想日记成了雅各布学习数学的问题集，解决问题的思路集、办法集，研究数学问题的收获集、成果集.雅各布对数学的执著追求，终于使他走上了研究数学的道路.他33岁就成为巴塞尔大学数学教授.摘自互联网百度文库数学家陈景润的故事（1）一本读了20多遍的书堆垒素数论陈景润读书的方法很特别，他成名之后在一篇文章中谈到：“我读书不只满足于读懂，而是要把读懂的东西背得滚瓜烂熟，熟能生巧嘛！”.我国著名的文学家鲁迅先生把他搞文学创作的经验总结成四句话：“静观默察，烂熟于心，凝思结想，然后一挥而就.”当时我走的就是这样一条路子！当时我能把数、理、化的许多概念、公式、定理，一一装在自己的脑海里，随手拈来应用.拆开

50、书一页页地读，堆垒素数论读了20多遍.要把书读到滚瓜烂熟，是需要极大的毅力的，尤其是数学方面的书，没有故事情节，只有抽象的数学公式和符号.但是在陈景润眼中，却闪烁着幽远、神奇的异彩.不少数学著作又大又厚，携带十分不便，陈景润就把它一页页拆开来，随时带在身上，走到哪里读到哪里.这位可爱的“书痴”奇怪的读书方法，曾引起了一场小小的误会：数学系的老师时常看到陈景润拿着一页页散开的书在苦读，以为他把资料室的书拆掉了.后来，经过查实，陈景润拆的书全是自己的，对于公家的书，他惜之如金，从不去拆.公私分明，数学家的逻辑同样是毫不含糊.我们不得不佩服陈景润脚踏实地的精神，他把鲁迅先生的做学问的经验融入到了数学

51、研究之中.他在资料室工作期间，读过多少书，很难计算，也无法计算.陈景润知道知识的积累，需要有一个循序渐进的过程，科学高峰的攀登，更需要打下坚实而深厚的功底.他这一段时间的钻研苦读，是为日后的腾飞一搏奠定了的坚实基础，是非常关键的. 刻苦研读华罗庚的堆垒素数论20多遍 ,陈景润回厦大后，他曾问厦大的教授李文清，我应该读什么书？李文清告诉他应读华罗庚的堆垒素数论.李文清说，陈景润将华罗庚的这本书读了近20遍，反复演算，并写出了第一篇论文他利问题. 据陈景润自己回忆：“堆垒素数论我一共读了二十多遍，重要的章节甚至阅读过四十遍以上，华先生著作中的每一个定理我都记在脑子里了.”当时陈景润口袋了经常装有纸

52、片和拆成几页的书，以便随时拿出来看，他开会前念，吃饭后念，空袭报警时在防空壕念，甚至走着路也念，反复揣摩、钻研，直到烂熟于胸.像一块砖那么厚的华罗庚的数学名著堆垒素数论，被陈景润一页页拆开了.他一个字一个字地研究，整整读了20多遍，几乎达到了滚瓜烂熟的地步.华氏的这本专著，是当代数论精萃汇聚的结晶.对于其中的每一个公式、定理，陈景润都进行反复的计算、核实.住在勤业斋的人们，只看到陈景润的门一天到晚都关着，偶尔，看到他出来买饭，人影一闪，又进了那间只有七平方米的小屋.生活被陈景润简化得只剩下二个字：数论.他日夜兼程地驰骋于数论的天地里.睡眠很少.陈景润有一套独特的作息理论，在他的头脑里，没有失眠

53、二字，他多次对人说过：失眠，就意味着不需要睡觉，那就爬起来工作吧！他困了，和衣一躺，一醒来，又继续工作.人们出于关心或好奇，有时也到陈景润的小屋中去看看，遍地都是草稿纸.数论的许多领域，是靠极为抽象的推理演算的，演算了多少道题，连他自己也没法计算了.只有陈景润，才能领略其中的苦涩和乐趣. 对于陈景润的研究方法他自己曾这样总结：“白天拆书，晚上装书，我就像玩钟表那样，白天把它拆开，晚上在一个原件一个原件地装回去，装上了，你才懂了.” “做研究就像登山，很多人沿着一条山路爬上去，到了最高点就满足了.可我常常要试10条山路，然后比较那条山路爬得最高.凡是别人走过的路，我都试过了，所以我知道每条路能爬

54、多高.” 说到这里，你就会明白，为什么能够改进华罗庚的方法的是陈景润，为什么他能够攀上攻克哥德巴赫猜想高峰的第二阶梯. 对马克思“在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点”的格言，陈景润是有亲身体验的. 李文清老师家里至今还珍藏着一本数学系的科学研究题目登记本，第一页便是陈景润报的他利问题，他用蓝色钢笔工整地写着“研究三角和方法，改进华罗庚先生结果”，至于目的，他写的是“论文”，时间是1956年. （2）陈景润叔叔是我国有名的数学家.他不爱玩公园，不爱逛马路，就爱学习.学习起来，常常忘记了吃饭睡觉. 有一天，陈景润叔叔吃中饭的时候，摸摸脑袋，哎呀，头发太

55、长了，应该快去理一理，要不，人家看见了，还当是个姑娘呢.于是，他放下饭碗，就跑到理发店去了. 理发店里人很多，大家挨着次序理发.陈景润叔叔拿的牌子是三十八号的小牌子.他想：轮到我还早着哩.时间是多么宝贵啊，我可不能白白浪费掉.他赶忙走出理发店，找了个安静的地方坐下来，然后从口袋里掏出个小本子，背起外文生字来.他背了一会，忽然想起上午读外文的时候，有个地方没看懂.不懂的东西，一定要把它弄懂，这是陈景润叔叔的脾气.他看了看手表，才十二点半.他想：先到图书馆去查一查，再回来理发还来得及，站起来就走了.谁知道，他走了不多久，就轮到他理发了.理发员叔叔大声地叫：“三十八号！谁是三十八号？快来理发！”你想想，陈景润叔叔正在图书馆里看书，他能听见理发员叔叔喊三十八号吗？ 过了好些时间，陈景润叔叔在图书馆里，把不懂的东西弄懂了，这才高高兴兴地往理发店走