第3章多自由度线性振动

1、第三章 多自由度系统的线性振动 3.1 多自由度系统振动方程的建立 3.2 多自由度系统的自由振动 3.3 多自由度系统的受迫振动 3.1 多自由度系统振动方程的建立 一、力学模型的简化 工程中大多为多构件多部件的弹性系统，自由度往往为无限多， 但研究这种情况比较困难，因此要对其建立近似的数学模型。变无限 为有限，将无限多自由度系统离散为有限多自由度系统。有集中参数 法和有限单元法两种方法。 机械系统中有两类构件，一类是有较大的惯性和刚度，我们可以 视其为质量块而忽略其弹性；另一类视惯性较小柔度较大，可以视其 为无质量的弹簧。 把连续弹性体的分布质量用若干个集中质量代替，得到另一类集 中参数系

2、统。 第三章 多自由度系统的振动 如图给出了弹簧连接的两个质量块组成的振动系统。系统在x轴向 运动，其质量分布为m1、m2，弹簧刚度分别为k1、k2、k3，作用于两 质量块上的激振力为F1（t）和F2（t）。设立两个广义坐标。不考虑阻 尼，用牛顿第二运动定律可建立运动方程 二、动力学方程的建立 将振动系统的力学模型简化后，就要建立系统的运动微分方程。最 常用的方法有：根据牛顿定律建立振动方程和用拉格朗日方程来导出振动 方程。本章介绍根据牛顿定律来建立方程的方法。首先看一个二自由度的 例子。 1 11 12121 22322122 ()( ) ()( ) m xk xkxxF t m xk xk

3、xxF t 1221111 2232222 0( ) 0( ) kkkmxxF t kkkmxxF t （3.1.1） 或写成： ( )MxKxF t （3.1.2） 这就是这个二自由度系统的受迫振动方程。式中 x系统的广义矩阵 12 T xxx 经整理写成矩阵形式： 11121 21222 0 0 mmm M mmm K系统的刚度矩阵 1221112 2232122 kkkkk K kkkkk F（t）系统的广义力矩阵 12 ( )( )( ) T F tF tF t 当F1（t）F2（t）0时，(3.1.2）式成为 0MxKx （3.1.3） (3.1.3）式即为系统的自由振动方程 M系统

4、的质量矩阵 1 11 12121 22322122 ()( ) ()( ) JkkT t JkkT t 若不考虑阻尼，也可以用牛顿定律建立其振动方程。 如图所示为一个扭转振动系统。两圆盘转动惯量分别为J1、J2，各段 轴的扭转刚度分别为k1、k2、k3，在两个圆盘上作用有激振力矩T1 （t）、T2（t）。设立1、2两个广义坐标。 122111 1 223222 2 0( ) 0( ) kkkJT t kkkJT t 或写为 ( )MKT t 这就是这个二自由度系统的受迫振动的方程。式中 系统的广义坐标列阵 12 T （3.1.4） （3.1.5） M系统的质量矩阵 11121 21222 0

5、0 mmJ M mmJ 经整理后写成矩阵的形式 K系统的刚度矩阵 1221112 2232122 kkkkk K kkkkk T（t）系统的广义力列阵 12 ( )( )( ) T T tT tT t 当T1（t）T2（t）0时，(3.1.5）式成为 0MK (3.1.6）式即为系统的自由振动方程 （3.1.6） 设车体的质量为m，对其质心的转动惯量为J，前后车轮的刚度分为k1、 如图所示为汽车车体振动的简化 力学模型。在这里，不考虑零部 件的振动和车体的左右振动，只 研究车体在其对称平面内的振动。 将车体视为一刚体，将车轮部件 （包括轮胎和悬挂弹簧）视为无 质量弹簧。车体作上下垂直振动 和绕

6、其质心的前后俯仰振动。 根据牛顿定律和转动方程式，可写出自由振动方程如下： 1122 1 112 22 ()() ()() mxk xlkxl Jk l xlk lxl 经整理后写成矩阵的形式 0MUKU （3.1.7） （3.1.8） T Ux k2，质心与前后车轮的距离分别为l1和l2。以质心垂直位移x和车体绕质 心的角位移为两个独立坐标。 0 0 m M J 121 12 2 22 1 12 21 12 2 kkk lk l K k lk lk lk l 式中： U系统的广义坐标列阵 M系统的质量矩阵 K系统的刚度矩阵 二自由度广义坐标由一个增加到两个，其振动方程写成矩阵形 式后与单自由

7、度系统的振动方程在形式上相类似，只是广义坐标和 广义力由一维扩展到多维，用质量矩阵和刚度矩阵代替了单自由度 方程中的质量和刚度系数。 但是，也有一个重要区别：二自由度系统的振动方程是一个微分方 程组，它由两个微分方程组成。一般情况下，在第一个方程中也含有第 二个广义坐标，在第二个方程中也含有第一个广义坐标。这种情况我们 称之为方程耦合。方程的耦合使我们无法利用单自由度系统的公式直接 地来求解多自由度系统的振动方程组中的每一个方程。 三、多自由度系统振动方程的特点 用牛顿定律建立二自由度振动系统微分方程的上述方法完全可以 推广到多自由度系统。其中的广义坐标列阵和广义力列阵均为n维列 阵，质量矩阵

8、和刚度矩阵均为nn矩阵。对于具有微小位移的线性弹 性系统，刚度矩阵和质量矩阵总是对称的。 例例1：用牛顿第二定理建立下图所示的系统的振动方程：用牛顿第二定理建立下图所示的系统的振动方程 解：针对每一个集中质量，依据牛顿第二定理，可建立其平衡方程为：解：针对每一个集中质量，依据牛顿第二定理，可建立其平衡方程为： 111 111 ()() ()()( ) iiiiiiii iiiiiii m xk xxkxx c xxcxxF t 写成矩阵形式为：写成矩阵形式为： ( )MxCxKxF t 例例2：用拉格朗日方程建立下图所示的热力发动机组的振动方程：用拉格朗日方程建立下图所示的热力发动机组的振动方

9、程 0MXKX （3.2.1） 式中 X广义坐标列阵 12 T n Xxxx M、K系统的质量矩阵和刚度矩阵，均为对称矩阵，质量矩 阵为正定矩阵，刚度矩阵为正定矩阵或半正定矩阵。 3.2 多自由度系统的自由振动 一、固有频率和主振型 上节得到了二自由度系统的自由振动方程式（3.1.3）、式 （3.1.6）。实际上，对于具有微小位移的n自由度线性弹性系统，其自由 振动方程都具有这一形式 sin()XAt （a） 式中A为振幅列阵，将式（a）对时间求两次导数，得到广义加速 度列阵 2 sin()XAt （b） 将式（a）、（b）代人式(3.2.1），得到 2 0KM A（3.2.2） 这里导出的式

10、(3.2.2）是一个以振幅列阵A为未知数的齐次线性 代数方程组，它在振动理论中有着重要的意义。其中矩阵K、M均为 已知矩阵。根据线性代数理论，方程(3.2.2）有非零解的条件是系统 矩阵的行列式等于零，即 2 det0KM （3.2.3） 设方程(3.3.1）具有如下形式的解 式（式（3.2.33.2.3）称为特征方程或频率方程。将其展开，）称为特征方程或频率方程。将其展开， 得到一个关于得到一个关于 2 2的的n n次代数方程，它的根称为特征值。次代数方程，它的根称为特征值。 特征值开平方即得到特征值开平方即得到 系统的固有频率。在质系统的固有频率。在质 量矩阵为正定矩阵，刚度矩阵为正定矩阵

11、或半正定矩阵量矩阵为正定矩阵，刚度矩阵为正定矩阵或半正定矩阵 的情况下，的情况下，n n个特征值均为非负实数个特征值均为非负实数。在大多数情况下，在大多数情况下， 这这n n个特征值互不相等，将其按大小排列起来个特征值互不相等，将其按大小排列起来 12n 称为一阶固有频率、二阶固有颁率称为一阶固有频率、二阶固有颁率n n阶固有频率。将阶固有频率。将 i i（i i 1 1，2 2，。），。）代回式（代回式（3.2.23.2.2）就得到）就得到A A的非零解，记的非零解，记 之为之为A A(i) (i)， ，A A(i) (i)就是与 就是与 i i对应的特征矢量，它是一组振幅的相对应的特征矢量

12、，它是一组振幅的相 对值，称为第对值，称为第i阶固有振型，也称为第阶固有振型，也称为第i i阶主振型。阶主振型。 （2 2）求固有频率）求固有频率 设方程的特解：设方程的特解： 11 22 ( )sin() ( )sin() y tYt y tYt （1）两质量的振动方程两质量的振动方程 0 0 22212122 21211111 ykykym ykykym 例例1 1 在图示悬臂梁中，有在图示悬臂梁中，有 集中质量集中质量m m1 1和和m m2 2，不计梁不计梁 的质量，试求系统的固有的质量，试求系统的固有 频率与振型。频率与振型。 （3.2.4） （3.2.5） 2 1111122 2

13、21 12222 ()0 ()0 km Yk Y k Ykm Y 整理得频率方程 2 11112 2 21222 () 0 () kmk D kkm 解频率方程得 两个根： ，规定 2 12 , 12 1 2 第一频率或基本频率， 第二频率 即两质量作简谐振动代入振动方程（即两质量作简谐振动代入振动方程（3.2.43.2.4）得位移幅值方程）得位移幅值方程 （3.2.6） （3.2.7） （3 3）求振型）求振型 将将 代入式（代入式（3.2.63.2.6），得），得 12 1112 2 211111 Yk Ykm 质点质点 的振动方程为的振动方程为 12 ,m m 1111 2211 ( )

14、sin() ( )sin() y tYt y tYt 体系按体系按 振动有如下特点：振动有如下特点： 1 两质量同频同步两质量同频同步 定义：体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动定义：体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动 形状称体系的主振型。这形状称体系的主振型。这n n个主振型线性无关个主振型线性无关 按第一振型自由振动的条件按第一振型自由振动的条件 111111 22121 2 (0)(0) , (0) (0) yYyY yYY y 振型与频率一样是体系本身固有的属性，与外界因素振型与频率一样是体系本身固有的属性，与外界因素 无关。无关。 同理，将同理，将 代入式得到代入式得到

15、 12 1212 2 221121 Yk Ykm 即第二振型即第二振型 21 11 2 1 )0( )0( Y Y y y 图示两个振型图示两个振型 第一主振型第一主振型 1 2 第二主振型第二主振型 圆盘扭转系统，假定k1k2 k3k，J1J2J，求其 固有频牢和主振型，并解释 其物理意义。 解：由上述假定，其自由振动方程成为 例2 1 1 2 2 020 020 Jkk Jkk 其特征方程为 2 2 2 0 2 kJk kkJ 可求出 12 3kk JJ ， sin()At 将此式和固有频率代入振动方程，即可得到与两固有频率相应的主振 型。将1回代 (1) 1 (1) 2 0 0 kkA

16、kkA (1)(1) 12 AA 于是有 或 (1) 1 1 A 令令1 1、 2 2具有如下形式的解具有如下形式的解 (2) 1 (2) 2 0 0 kkA kkA (2)(2) 12 AA 于是有 或 (2) 1 1 A 如图中给出了主振型的图解。每个振型的两个元意之比即为两个四盘在 这一扳型申的振幅比。在第一振型中，两个回盘连同中间的轴段一起总 是向同一方向运动，并保持相同的位移。在第二振型中，两个圆盘总是 向相反方向运动，并保持相同的位移。 二自由度扭转振动系统主振型图解 将2回代 1 1 2 2 00 00 Jkk Jkk 2 2 0 kJk kkJ 12 2 0 k J ， 其特征

17、方程为 可求出 这里，出现了一个零值固有频率。用与上题相同的方法可求出1 0相对应的主振型： 。即两个圆盘连同整个轴向同一方 向运动，并保持相同的位移。换言之，系统存在零值回有频率说明存 在着未被约束的刚体运动。 (1)(1) 12 AA 若轴两端为自由端，则可认定若轴两端为自由端，则可认定k k1 1k k3 30 0，其自由振动方程成其自由振动方程成 为为 例3 已知图示两层刚架，横梁为无 限刚性。该质量集中在楼层上，分 别为m1，m2。层间侧移刚度（层间 产生单位相对侧移时所需施加得力） 分别为k1， k2。 求刚架水平振动时固有频率和主振 型。 m1 m2 k1 k2 解：解： （1）

18、系统的质量矩阵和刚度矩阵 2111 kkk 21221 kkk 222 kk 111222 mmmm （2）求固有频率 由频率方程 0 2 2 2221 121 2 11 mkk kmk 当 时，mmmkkk 2121 , 有0)(2( 222 kmkmk 所以 m k 618. 0 1 m k 618. 1 2 （3 3）求主振型）求主振型 两个主振型图： 第一主振型第一主振型 第二主振型第二主振型 第一主振型 618. 1 1 1 2 111 12 21 11 mk k Y Y 618. 1 1 )1( Y 第二主振型 618. 0 1 2 211 12 22 12 mk k Y Y 61

19、8. 0 1 )2( Y 1 1.618 1 0.618 例例4 4 求等截面简支梁的自振频率和主振型求等截面简支梁的自振频率和主振型 解：方法一解：方法一 （1 1）求柔度系数）求柔度系数 由由 图图 21,M M 图图 1 M 2 M mm 12 L/3L/3 L/3 图图 EI l 243 4 3 2211 EI l 486 7 3 2112 利用图乘法求得利用图乘法求得 1 11 2L/9 21 12 1 2L/9 由频率方程由频率方程 0 1 1 2 2221 12 2 11 mm mm 3 1 692. 5 ml EI 3 2 045.22 ml EI 求得求得 （2 2）求固有频

20、率）求固有频率 两个主振型图：两个主振型图： 第一主振型第一主振型 第二主振型第二主振型 11 1 -1 1 1 1 2 1 11 12 21 11 m m Y Y 1 1 )1( Y 1 1 1 2 2 11 12 22 12 m m Y Y 1 1 )2( Y 第一主振型第一主振型 第二主振型第二主振型 （3 3）求固有振型）求固有振型 例例5 试求如图所示的两个耦合振子的振动频率。试求如图所示的两个耦合振子的振动频率。 解：自由度为解：自由度为2，以位移，以位移 21,x x为广义坐标，则为广义坐标，则 )( 2 1 )( 2 1 2 2 2 12 2 1 2 2 2 1 xxxxkV

21、xxmT （1） 将（将（1）代入拉格朗日方程得）代入拉格朗日方程得 211 2kxkxxm （2） 212 2kxkxxm （3） 引进两个新的坐标引进两个新的坐标 , 212211 xxqxxq 分别将（分别将（2）和（）和（3）相加减，得）相加减，得 0 11 q m k q 0 3 22 q m k q 1 q 2 q 由此得由此得和和振动模式的频率分别为振动模式的频率分别为 mk / 1 mk /3 2 和和 二、多自由度系统自由振动的通解 将第i组特征对代回原假设的解的形式（a）式，就得到原方程 （3.2.1）的一个特解。 ( )( ) sin() ii ii XAt (3.2.8

22、) 由线性代数知识可知原方程的通解 ( ) 1 ( )sin() n i ii i X tAt 该通解中含有n个振型A（1）、A（2）、A（n）。方程中有2n个待定 常量由2n个初始条件来确定： (3.2.9) 12 12 (0)(0)(0)(0) (0)(0)(0)(0) T n T n Xxxx Xxxx 在某些特殊的初始条件下，系统只按其中的某一个固有频率i在自由 振动，这时式（3.2.1）通解形式就变为如下特殊形式： ( ) sin() i ii XAt 这时系统的运动形态称为第i阶主振动，在一般情况下系统的运 动形态是各阶主振动的叠加。至于每阶主振动所占的比重，那要由初 始条件来确定

23、。 三、主振型的正交牲和正则化 振型是多自由度系统振动中的一个非常重要的慨念。在本章第 一节中我们曾指出，多自由度系统的振动可以转化为单自由度系统振 动的叠加。之所以能这样处理，其基础恰在于主振型的性质。 从式(3.2.2）可得到关系式 1、主振型的正交性 ( )( )2( )( ) ( )( )2( )( ) j Tjj Tj i j Tij Ti j AKAAMA AKAAMA （e） （f） 两式相减，有 从式（g）和式（e）可得出 ( )( ) ( )( ) 0 0 j Ti j Ti AMA AKA 22( )( ) 0 j Ti ij AMA （g） （3.2.10） （3.2.1

24、1） ( )2( ) ( )2( ) ji i ij j KAMA KAMA （c） （d） 用A（j）T左乘式（c），用A（i）右乘式（d）的转置，由于K和M是 对称矩阵，有 上两式表明，不同阶的主振型之间存在着对质量矩阵M的正交性， 也存在着对刚度矩阵K的正交性，统称为主振型的正交性。 3.主振型的正则化 在ij的情况下，从式（e）或式（f）可得出 ( )( )2( )( )i Tii Ti i AKAAMA （h） 因为质量矩阵M是正定矩阵，所以A（i）TMA（i）为是正定二次型。 令 ( )( ) 0(1,2,3, ) i Ti i AMAMin （3.2.12） Mi称为第I阶主质量

25、。 对于正定系统，刚度矩阵K也是正定矩阵，令 ( )( ) 0(1,2,3, ) i Ti i AKAKin （3.2.13） ( )( ) 2 ( )( ) (1,2,3, ) i Ti i i i Ti i KAKA in AMAM （3.2.14） 这就是说，第i阶固有频率的平方2等于第i阶主刚度Ki和第i阶 主质量Mi之比。 引入振型矩阵 (1)(2)( ) 111 (1)(2)( ) (1)(2)( )222 (1)(2)( ) n n n n nnn AAA AAA AAAA AAA （3.2.15） 根据（3.2.10）和（3.2.11）有 Ki称为第i价主刚度。同时由式（h）可

26、得到如下关系 1 2 00 00 00 T P n M M A MAM M （3.2.16） 同样地，式(3.2.12）、式(3.2.14)合并起来可以写成 1 2 00 00 00 T P n K K A KAK K （3.2.17） 因为振型矢量各元素间可以任意改变比例，所以可将某一阶 任意选定的主振型矢量除以一个常数Ci，将其正则化，即令 ()() 1 ii i A C （i） （3.2.18） 使得 ()() 1 iTi M （i）为正则振型，正则振型是满足条件(3.2.18）的一组特定的主振型。 Ci称为正则化因子，将式（i）代入式(3.2.18），则可导出 12 111 12 (1

27、)( 2 )()222 12 n n n n nnn ()()iTi i CAM A （3.2.19） 对各阶主振型依次进行上述处理，可求得n个正则振型矢量，它们 构成的矩阵称为正则振型矩阵记为，即 （3.2.20） T MI（3.2.21） 将式（3.2.21）代入式（3.2.22），得 2 1, 2 , ii Kin 于是（3.2.17）化为 2 1 2 2 2 0 0 T n K （3.2.22） 矩阵称为特征值矩阵。 引入正则振型矩阵后，由式（3.2.16）得主质量矩阵变成一个单位矩阵， 即 四、多自由度振动方程的耦合与解耦 由线性代数知识可知，n个n维的线性无关矢量构戚n维线性空间

28、的一组基底，该空间的任意一个矢量都可以用这组基底的线性组合来 表示： (1)(2)( ) 12 n n X （3.2.23） 式中 12 T n 称为振型坐标矢量，1 ，2 ，n称为振型坐标，而原来选定的广 义坐标x1，x2，xn称为物理坐标。从式(3.2.23）可得 X 利用正则振型矩阵，可以把质量矩阵演化成单位矩阵，把刚度矩阵演化成 对角形的特征值矩阵。这是解决多自由度系统振动方程耦合问题的理论基 础。 0 TT MK 根据正则振型矩阵的正交性质，即式（3.2.21）、（3.2.22），上 式可化为 0 （3.2.24） 因为是对角形的特征值矩阵，所以式（3.2.24）是n个互不耦合的独立

29、 方程，其展开形式力： 2 111 2 222 2 0 0 0 nnn （3.2.25） 将上式和式（3.2.23）代入系统的振动方程（3.2.1），并前乘T，得到 方程组（3.2.25）可以看成是n个单自由度的振动方程。这样， 实现了原方程（3.2.1）的解耦，将n个自由度的振动问题转化为n个 单自由度的振动问题，即以各阶固有频率为振动频率，以各阶主振型 为振幅比的振动。反过来说，原来用物理坐标描述的运动状态可以认 为是各阶主振动的叠加。这种方法就是所谓振型叠加法。 五、振型截断法 从理论上说，各个振型对系统的振动都有贡献。但是，各价振型的 贡献并不相同。在实际工程问题中，常常是固有频率较低

30、的几个振型 的贡献占了压倒地位，尤其是在激振力中高频成分较少，或系统自由 度数甚高的情况下更是这样。因而，在实际计算中，常取前r（rn） 阶主振动之和作为系统响应的近似值，也能满足精度要求，这就是振 型截断法。 ( ) 1 ( )( ) r i i i X tt （3.2.26） 引入截断正则振型矩阵，它由前r（rn）个主振型构成： (1)(2)( ) 111 (1)(2)( ) (1)(2)( )222 (1)(2)( ) r r r r nnn （3.2.27） 由截断正则振型矩阵 求得的截断正则质量矩阵是rr阶的单位矩阵， 即 T r r MI （3.2.28） 这时，式（3.2.23）

31、成为 2 1 2 2 2 0 0 T r K 截断正则刚度矩阵为 （3.2.29） 同时，式(3.2.26）可以写为 X （3.2.30） 式中 12 T n （3.2.31） 把式（3.2.30）代人系统振动方程（3.2.1），前乘 ，并注意到 T 式（3.2.28）和式（3.2.29），则原方程变成了r个独立的单自由 度振动方程： 2 111 2 222 2 0 0 0 rrr （3.2.32） 一、阻尼假定 各种弹性结构在振动时总要受到各种阻尼的作用。但是可以根据对 系统不同的影响来决定是否计入阻尼。阻尼对系统的影响的大小与激 振力的性质有关。一般来说，加于系统的激振力可能很复杂，所以阻

32、 尼的影响效应是事先不知道的，故在计算结构的动态响应时，必须考 虑阻尼。 产生阻尼的原因是多方面的。这些阻尼的机理比较复杂，通常将 各种阻尼都简化为与速度成正比的粘性阻尼。对于一个考虑粘性阻 尼的多自由度系统，在激振力的作用下，其运动方程为 MXCXKXF （3.3.1） 3.3 多自由度系统的有阻尼受迫振动 X 将其代入式（3.3.1）并前乘 ，于是式（3.3.1）化为 T CN （3.3.2） 式中 T T CC NF （3.3.3） （3.3.4） N称为正则振型激振力列阵。 在大多数情况下，阻尼的机制是不能确切地知道的，从而阻尼矩阵 C的形式也是不知道的。所以常对阻力矩阵的形式作某种假

33、设。常用的 阻尼假定有两种：振型阻厄和比例阻尼。下面主要介绍振型阻尼。在振 型阻尼假定中，认为阻尼矩阵能使正则振型矩阵对其为加权正交，即 式中C为阻尼矩阵，引入线性变换 2 11 2 22 2 20 2 02 T nn CC （3.3.5） 作出这种振型阻尼的假设考虑有三： 1）假设C为对角矩阵可使方程成为非耦合的，此时（3.3.2）成为下 列展开式 1 2 1111 2N 矩阵C称为正则振型阻尼矩阵。其中i（il，2，n）称为正则阻尼比。 （3.3.6） nnnnnn N 2 1 2 2）如前所述，阻尼矩阵C中诸元素很难确定，但式（3.3.5）中的 各阶振型阻尼比i则可以用实测或假设的方法确

34、定。 3）在阻尼比较小的情况下（0 i 02），来用振型阻尼假设 对于分析不会引起很大误差。 还有一种比例阻尼假定，即认为阻尼矩阵可以表示为质量矩阵和刚度 矩阵的加权和。 CMK （3.3.7） 式中和为正常数。不难证明这种形式的阻尼矩阵也能使正则振型矩 阵对其为加权正交。 式(3.3.6）相当于n个有阻尼的单自由度振动方程。这样作大大简化了 有阻尼的多自由度系统振动的分析计算工作。 通过引入线性变换和振型阻尼假设，已将具有粘性阻尼的多自由度 振动系统的振动微分分方程（3.3.l）转化为以振型坐标为基本未知量 的非耦合的微分方程组（3.3.6）。 二、用振型叠加法求系统的自由响应 （3.3.8

35、） 2 1111 20 2 1 20 nnnnn 00 (0),(0)XXXX 首先利用线性变换的逆变换将其转换到振型坐标上去 11 0000 ,XX 若初始条件是按物理坐标给出的 00 2 ( )cossin 1 i t ii idiidi di i tett （3.3.9） 式中 2 2 1 arctan 1 i diiii i 根据式（3.2.23）和式（3.3.8）中的每个方程的解可以写为 式（3.39）就是振型坐标对初始条件的响应。原来选定的物 理坐标的响应即可求得 ( ) 1 ( )( ) n i i i X tt （3.3.10） 1 运动方程运动方程 tFyKyM P 2P F

36、 (t)F (t) P1 AB 1 mm2 AB 2 mm1 1 m m2 BA B1 mm2 A 1 2 y1 2 y Y21 11 Y Y12 22 Y y2 1 y 2P F (t)F (t) P1 AB 1 mm2 AB 2 mm1 1 m m2 BA B1 mm2 A 1 2 y1 2 y Y21 11 Y Y12 22 Y y2 1 y 对于两个自由度体系对于两个自由度体系, 即即 P1 1111112 2212222 P2 0 0 Ftyymkk mkkyyFt 2 解耦解耦 设设 1、 2为两个新的坐标，并为两个新的坐标，并 使新旧坐标之间有如下关系：使新旧坐标之间有如下关系：

37、 2 1 2221 1211 2 1 YY YY y y 三、用振型叠加法求系统对任意激励的响应 写成矩阵形式为写成矩阵形式为 Yy 式中式中 y是物理坐标，实际位移；是物理坐标，实际位移； 是正则坐标，把是正则坐标，把y按按Y 分解时的组合系数；分解时的组合系数； Y是主振型矩阵，新旧坐标之是主振型矩阵，新旧坐标之 间的转换矩阵。间的转换矩阵。Y是非奇异矩是非奇异矩 阵，因而能保证新旧坐标间存阵，因而能保证新旧坐标间存 在确定的单值关系。在确定的单值关系。 2P F (t)F (t) P1 AB 1 mm2 AB 2 mm1 1 m m2 BA B1 mm2 A 1 2 y1 2 y Y21

38、 11 Y Y12 22 Y y2 1 y 2P F (t)F (t) P1 AB 1 mm2 AB 2 mm1 1 m m2 BA B1 mm2 A 1 2 y1 2 y Y21 11 Y Y12 22 Y y2 1 y 第一主振型第一主振型 第二主振型第二主振型 任一瞬时的动位移任一瞬时的动位移 3 主振型矩阵分块主振型矩阵分块 主振型矩阵可表达为主振型矩阵可表达为 21 2221 1211 YY YY YY Y 2 2 1 1 YYy 这是将各振型分量沿动位移这是将各振型分量沿动位移1、2 方向加以叠加，从而得出质点的方向加以叠加，从而得出质点的 总位移。因此，总位移。因此，hi就是把实

39、际位移就是把实际位移 y按主振型分解时的组合系数。按主振型分解时的组合系数。 也可以写成展开式也可以写成展开式 2P F (t)F (t) P1 AB 1 mm2 AB 2 mm1 1 m m2 BA B1 mm2 A 1 2 y1 2 y Y21 11 Y Y12 22 Y y2 1 y 第一主振型第一主振型 第二主振型第二主振型 任一瞬时的动位移任一瞬时的动位移 4 广义质量、广义刚度和广义荷载广义质量、广义刚度和广义荷载 将将 及及 代入方程代入方程 ，进行正则坐标变换：，进行正则坐标变换： y y tFyKyM P YyYy, 利用主振型的正交性，简化式利用主振型的正交性，简化式(b)

40、的计算：的计算： )( P tFYKYM (b) 将式将式(b)前乘以前乘以 ，则，则 2111 1 YYY T )( P 111 tFYYKYYMY TTT 于是有于是有 tF T K T M T tFYYKYYMY 111 P 1 1 11 1 11 此方程只含一个变量此方程只含一个变量 1及其对时间的导数。及其对时间的导数。 同理，第二项同理，第二项 1121 2 1112 12 T TT YKYY YKYYKY 第二正交条件为第二正交条件为0 其中，第一项其中，第一项 2 0 21 1 11 2 2 1 11 2 1211 第一正交条件为 YMYYMY YYMYYYMY TT TT )

41、( P 111 tFYYKYYMY TTT 同样，将式同样，将式 前乘以前乘以 ，则，则 )( P tFYKYM 2212 2 YYY T tFKM 22222 对应于第二主振型。对应于第二主振型。 11 1 11 1 1 1P T T T MYMY KYKY F tYFt 广义质量广义质量 广义刚度广义刚度 广义荷载广义荷载 则则 tFKM 11111 对应于第一主振型。这里，把联立方程变成了独立方程。对应于第一主振型。这里，把联立方程变成了独立方程。 引入符号引入符号 注意：由注意：由Mi组成的广义质量矩阵以及由组成的广义质量矩阵以及由Ki组成的广义组成的广义 刚度矩阵都是对角矩阵，即刚度

42、矩阵都是对角矩阵，即 n M M M M 2 1 n K K K K 2 1 i i iii M tF tt 2 ni, 2 , 1 5 解耦后运动方程的一般形式解耦后运动方程的一般形式 tFtKtM iiiii ni, 2 , 1 上式两边同时除以上式两边同时除以Mi，再考虑自振频率的平方再考虑自振频率的平方 则得则得 i i i M K 2 关于正则坐标的运动方程，对于关于正则坐标的运动方程，对于n个自由度体系，这是彼此个自由度体系，这是彼此 独立的独立的n个一元方程。个一元方程。 写为写为 t ii ii i tF M t 0 dsin 1 6 运动方程的解运动方程的解 可参照杜哈梅积分

43、可参照杜哈梅积分 i i iii M tF tt 2 ni, 2 , 1 杜哈梅积分ttt i i i iii sin 0 cos0 i T i i i T i i M yMY M yMY 0 0 0 0 式中式中 即即 22 ii i i M tF t 若考虑不为零的初始条件，则若考虑不为零的初始条件，则 7 特例：对于简谐干扰力特例：对于简谐干扰力 st 222 1 sin 1 i ii iii F t tyt M 故故 1 1 1 1 1 1 t t M tyMY M tyMY T T 11 1 MyMY T 即即 【补证】【补证】 对式对式 两边前乘以，则可得两边前乘以，则可得 Yy

44、2 0 21 1 11 2 2 1 11 2 121111 第一正交条件为 YMYYMYYYMY YYMYYMYyMY TTT TTT 11 M 8 原运动方程的解原运动方程的解 Yy 必须指出：此法基于叠加原理，不能用于分析非线性必须指出：此法基于叠加原理，不能用于分析非线性 振动体系。振动体系。 故对于第故对于第i个振型，若个振型，若t=0时有初位移时有初位移 和初速度和初速度 ，则有，则有 0y 0 y i T i i i T i i M yMY M yMY 0 0 0 0 证毕。证毕。 例例1 1. . 用振型分解法计算一般力的强迫响应用振型分解法计算一般力的强迫响应 例：求图示结构在

45、突加荷载例：求图示结构在突加荷载 作用下的位移作用下的位移 )(tFp 已知：已知： 0, 0 0, )( 1 1 t tF tF p p 1.1.确定体系的自振频率和主振型；确定体系的自振频率和主振型； 3.3.求广义质量，广义荷载；求广义质量，广义荷载； 3.3.求广义坐标；求广义坐标； 4.4.求质点位移。求质点位移。 L/ 3 y( t ) 1 L/ 3L/ 3 m =m 1 12 m =m y( t ) 2 解解 可求得可求得 12 33 5.69222.045 EIEI mlml （1 1）确定自振频率和主振型）确定自振频率和主振型 主振型主振型 (1)(2) 11 11 YY （2 2）求广义质量、广义荷载）求广义质量、广义荷载 (1)(1) 1 (2)(2) 2 2 2 T T MYMYm MYMYm （3 3）求广义坐标）求广义坐标 11111 1 1111 2 0 111 22222 1 1122 2 0 222 ( ) 1 ( )( )sin